高級中學名校試卷PAGEPAGE1吉林省松原市五校2024-2025學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.不存在【答案】A【解析】因為直線方程為：，與軸平行，所以直線的傾斜角為.故選：A.2.已知等差數(shù)列中，，則（）A.13 B.16 C.15 D.14【答案】D【解析】由，得，故，所以.故選：D.3.若兩條直線與垂直，則實數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】直線與直線垂直，則，解得.故選：B.4.三棱錐中，點分別是的中點，點為線段上靠近的三等分點，記，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可作圖如下：由為上靠近的三等分點，則，.故選：C.5.已知橢圓的左、右焦點分別為，過左焦點作直線交于兩點，則三角形的周長為（）A.14 B.12 C.10 D.8【答案】D【解析】由橢圓的定義得，則的周長為.故選：D.6.圓與圓的公切線條數(shù)是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】因為，所以，化簡得圓的標準方程為，圓心，半徑，由題意得圓的圓心為，半徑，由兩點間距離公式得，而因為，所以兩圓外切，所以圓與圓的公切線有3條，故B正確.故選：B.7.正三棱柱的所有棱長都為2，則到平面的距離是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設分別是的中點，連接，根據(jù)正三棱柱的幾何性質(zhì)可知，兩兩相互垂直，建立如圖所示空間直角坐標系，則，.設平面的法向量為，則，令，則，故可得.由于平面平面，所以平面.所以到平面的距離即到平面的距離，即.故選：C.8.在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右頂點分別為、，若該雙曲線上存在點，使得的斜率之和為1，則該雙曲線離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知，設0），則，所以，又，所以，即，所以，即直線與雙曲線有公共點.聯(lián)立與雙曲線方程，有，消去得：，則要使方程有根，需使故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知空間向量，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，由向量模的公式得，故B錯誤；對于C，因為，所以，，由向量夾角公式得，，故C正確，D錯誤.故選：AC.10.設公比為的等比數(shù)列的前項和為，若數(shù)列滿足，且，，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于B，當時，，，又，，或；當時，，，與矛盾，，B正確；對于A，，A錯誤；對于C，，，，，即，C正確；對于D，，又，，D錯誤.故選：BC.11.已知，分別為雙曲線的左、右頂點，離心率為，為雙曲線上位于第一象限內(nèi)任意一點，設，，的面積為，則下列說法正確的是（）A.的值隨著的增大而減小B.是定值C.D.若，則【答案】ABD【解析】雙曲線的左頂點為，右頂點為，漸近線為，在中，由正弦定理可知，顯然均為銳角且隨著的增大分別減小與增大，即隨著的增大分別減小與增大且均為正數(shù)，∴的值隨著的增大而減小，故A正確；因為，由于，∴，∴為定值，故B正確；因為，而，∴，故C錯誤；因為，，∴，又，∴，解得，則，又，∴，故D正確．故選：ABD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若拋物線上一點與焦點的距離等于2，則______.【答案】【解析】由得，所以準線方程為，因為點與焦點的距離等于2，所以點與準線的距離等于2，即，解得.13.已知定點，動點滿足.設點的軌跡為，則軌跡的方程為__________.【答案】【解析】設動點，因為點，則.又.化簡得，即，故動點的軌跡的方程為1.14.棱長為的正四面體中，點為平面內(nèi)的動點，且滿足，則直線與直線所成的角的余弦值的取值范圍為__________.【答案】【解析】首先，記在底面內(nèi)的投影為，則底面，因為平面，所以，因為正四面體，所以是等邊三角形，由題意得，是的中心，則，由題意得，則，所以的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，建立如下圖所示的空間直角坐標系：設與軸正半軸所成的角為，則，，所以，設直線與直線所成的角為，所以，因為，所以.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知圓心為的圓經(jīng)過和，且圓心在直線上.（1）求圓C的方程：（2）若直線與圓的交點為兩點，求.解：（1）因，所以，所以弦的垂直平分線的斜率為，又弦的中點坐標為，所以弦的垂直平分線的方程為，即，與直線聯(lián)立解得：，所以圓心坐標為所以圓的半徑，則圓的方程為：；（2）由（1）知，圓心到直線的距離為圓的半徑.16.記為正項數(shù)列的前項和，已知.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求其通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.（1）證明：由，得，解得或，又，所以，所以，當時，，兩式作差得，即時，，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故.（2）解：由（1）知，所以，則，兩式相減得.所以.17.如圖，四棱錐中，底面是正方形，是的中點，.（1）證明：平面平面；（2）若是棱上靠近點的三等分點，求直線與平面所成角的大小.（1）證明：因為四邊形為正方形，為的中點，，所以.在中，由余弦定理得，因為，所以，即.因為，所以，所以.又因為平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.（2）解：由（1）得兩兩垂直，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，于是.設平面的法向量為，則，即，令，可得.設直線與平面所成的角為，則，解得，故直線與平面所成的角為.18.已知是拋物線上三點，直線和均與拋物線相切.（1）若，求；（2）試判斷直線與的位置關系，并給出證明.解：（1）設經(jīng)過點與相切的直線方程為，由，得，由，得，因為直線都與拋物線相切，所以它們的斜率是方程的兩根.由已知得，因此.（2）直線與相切，證明如下：設，由點在上，得，所以，，于是切線的方程為，即，即，由，得，因為與相切，所以，即，同理，，又因為，所以，且，故直線的方程為，由得則，所以直線與拋物線相切.19.已知無窮數(shù)列中，，記.（1）若為，是一個周期為4的數(shù)列（即），直接寫出的值；（2）若為周期數(shù)列，證明：，使得當時，是常數(shù)；（3）設是非負整數(shù)，證明：的充分必要條件為為公差為的等差數(shù)列.解：（1）因為，，所以；，，所以；，，所以；，，所以.（2）不妨設的周期為（），記，，則當時，常數(shù).記，使得當時，是常數(shù)，結論正確.（3）先證充分性：因為是公差為（為非負整數(shù)）的等差數(shù)列，則.所以，，所以（）.再證必要性：因為，所以，因為，，所以，于是有：，，因此.故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.吉林省松原市五校2024-2025學年高二上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.不存在【答案】A【解析】因為直線方程為：，與軸平行，所以直線的傾斜角為.故選：A.2.已知等差數(shù)列中，，則（）A.13 B.16 C.15 D.14【答案】D【解析】由，得，故，所以.故選：D.3.若兩條直線與垂直，則實數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】直線與直線垂直，則，解得.故選：B.4.三棱錐中，點分別是的中點，點為線段上靠近的三等分點，記，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可作圖如下：由為上靠近的三等分點，則，.故選：C.5.已知橢圓的左、右焦點分別為，過左焦點作直線交于兩點，則三角形的周長為（）A.14 B.12 C.10 D.8【答案】D【解析】由橢圓的定義得，則的周長為.故選：D.6.圓與圓的公切線條數(shù)是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】因為，所以，化簡得圓的標準方程為，圓心，半徑，由題意得圓的圓心為，半徑，由兩點間距離公式得，而因為，所以兩圓外切，所以圓與圓的公切線有3條，故B正確.故選：B.7.正三棱柱的所有棱長都為2，則到平面的距離是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設分別是的中點，連接，根據(jù)正三棱柱的幾何性質(zhì)可知，兩兩相互垂直，建立如圖所示空間直角坐標系，則，.設平面的法向量為，則，令，則，故可得.由于平面平面，所以平面.所以到平面的距離即到平面的距離，即.故選：C.8.在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右頂點分別為、，若該雙曲線上存在點，使得的斜率之和為1，則該雙曲線離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知，設0），則，所以，又，所以，即，所以，即直線與雙曲線有公共點.聯(lián)立與雙曲線方程，有，消去得：，則要使方程有根，需使故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知空間向量，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，由向量模的公式得，故B錯誤；對于C，因為，所以，，由向量夾角公式得，，故C正確，D錯誤.故選：AC.10.設公比為的等比數(shù)列的前項和為，若數(shù)列滿足，且，，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于B，當時，，，又，，或；當時，，，與矛盾，，B正確；對于A，，A錯誤；對于C，，，，，即，C正確；對于D，，又，，D錯誤.故選：BC.11.已知，分別為雙曲線的左、右頂點，離心率為，為雙曲線上位于第一象限內(nèi)任意一點，設，，的面積為，則下列說法正確的是（）A.的值隨著的增大而減小B.是定值C.D.若，則【答案】ABD【解析】雙曲線的左頂點為，右頂點為，漸近線為，在中，由正弦定理可知，顯然均為銳角且隨著的增大分別減小與增大，即隨著的增大分別減小與增大且均為正數(shù)，∴的值隨著的增大而減小，故A正確；因為，由于，∴，∴為定值，故B正確；因為，而，∴，故C錯誤；因為，，∴，又，∴，解得，則，又，∴，故D正確．故選：ABD．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若拋物線上一點與焦點的距離等于2，則______.【答案】【解析】由得，所以準線方程為，因為點與焦點的距離等于2，所以點與準線的距離等于2，即，解得.13.已知定點，動點滿足.設點的軌跡為，則軌跡的方程為__________.【答案】【解析】設動點，因為點，則.又.化簡得，即，故動點的軌跡的方程為1.14.棱長為的正四面體中，點為平面內(nèi)的動點，且滿足，則直線與直線所成的角的余弦值的取值范圍為__________.【答案】【解析】首先，記在底面內(nèi)的投影為，則底面，因為平面，所以，因為正四面體，所以是等邊三角形，由題意得，是的中心，則，由題意得，則，所以的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，建立如下圖所示的空間直角坐標系：設與軸正半軸所成的角為，則，，所以，設直線與直線所成的角為，所以，因為，所以.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知圓心為的圓經(jīng)過和，且圓心在直線上.（1）求圓C的方程：（2）若直線與圓的交點為兩點，求.解：（1）因，所以，所以弦的垂直平分線的斜率為，又弦的中點坐標為，所以弦的垂直平分線的方程為，即，與直線聯(lián)立解得：，所以圓心坐標為所以圓的半徑，則圓的方程為：；（2）由（1）知，圓心到直線的距離為圓的半徑.16.記為正項數(shù)列的前項和，已知.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求其通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.（1）證明：由，得，解得或，又，所以，所以，當時，，兩式作差得，即時，，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故.（2）解：由（1）知，所以，則，兩式相減得.所以.17.如圖，四棱錐中，底面是正方形，是的中點，.（1）證明：平面平面；（2）若是棱上靠近點的三等分點，求直線與平面所成角的大小.（1）證明：因為四邊形為正方形，為的中點，，所以.在中，由余弦定理得，因為，所以，即.因為，所以，所以.又因為平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.（2）解：由（1）得兩兩垂直，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，于是.設平面的法向量為，則，即，令，可得.設直線與平面所成的角為，則，解得，故直線與平面所成的角為.18.已知是拋物線上三點，直線和均與拋物線相切.（1）若，求；（2）試判斷直線與的位置關系，并給出證明.解：（1）設經(jīng)過點與相切的直線方程為，由，得，由，得，因為直線都與拋物線相切，所以它們的斜率是方程的兩根.由已知得，因此.（2）直線與相切，證明如下：設，由點在上，得，所以，，于是切線的方程為，即，即，由，得，因