高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省無錫市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期終教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，可得故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.2.直線與直線平行，則的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，，，此時(shí)重合，舍去；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)滿足，故選：D.3.已知直線l的一個(gè)方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則l與的位置關(guān)系是（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，所以，所以，則或.故選：D.4.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且，，10成等差數(shù)列，則的值為（）A. B.18 C. D.24【答案】B【解析】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，設(shè)公比為，則，又，，10成等差數(shù)列，則，則，故，故選：B.5.已知正四面體的棱長為，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則用基底表示為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如下圖所示：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，，則，因此，.故選：C.6.已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，由題意可知，所以，又因?yàn)?，所以，化簡可得，所以的軌跡方程為，故選：A.7.已知圓：與圓：有兩條公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于圓：與圓：有兩條公切線，故兩圓相交，則，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：C.8.斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用．斐波那契數(shù)列滿足如下遞推關(guān)系：，．已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，…，，，以上各式相加得，，化簡得，由，即，所以，解得；因?yàn)椋?，，，，所以故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，，為的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A.為實(shí)數(shù) B.C.若，則 D.【答案】ABD【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，則，則，為實(shí)數(shù)，A正確；，，則，B正確；若，不妨取，則不成立，C錯(cuò)誤；，則，，則，則，D正確，故選：ABD.10.在長方體中，，底面是邊長為3正方形，，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.，三棱錐的體積是定值B.當(dāng)時(shí)，存在唯一的使得平面C.當(dāng)時(shí)，的周長取得最小值D.當(dāng)直線與所成角余弦值為時(shí)，的值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由于平面，故E到平面的距離為定值3，而的面積為，故三棱錐的體積為，為定值，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，若平面，而平面，故，設(shè)，則，，即，，即，解得，即當(dāng)時(shí)，上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)E，使得平面，由于，即存在不同的使得平面，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，將四邊形展開到一個(gè)平面上，連接，交于E點(diǎn)，由于，故為三角形的中位線，即E為的中點(diǎn)，則，此時(shí)的值最小，即的周長取得最小值，C正確；對(duì)于D，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，由于，故，則，故，則，解得（負(fù)值舍去），D正確，故選：ACD.11.已知拋物線E：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2，過點(diǎn)作一條直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)O作，垂足為H，則下列說法正確的有（）A. B.C.拋物線E上的點(diǎn)到M距離的最小值為4 D.存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得線段長度為定值【答案】ABD【解析】對(duì)于A，拋物線E：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2，則，A正確；對(duì)于B，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，得，，則，故，則，故，B正確；對(duì)于C，設(shè)拋物線上的點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，取到最小值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，故H點(diǎn)在以O(shè)M為直徑的圓上（不含原點(diǎn)），而，故存在點(diǎn)，使得線段長度為定值2，D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則實(shí)數(shù)______．【答案】9【解析】記等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，即，解?13.過橢圓的右焦點(diǎn)作橢圓長軸的垂線，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，若為正三角形，則該橢圓的離心率為______.【答案】【解析】由題意知，為正三角形，且，則，所以，，由橢圓的定義知，即，解得.14.空間直角坐標(biāo)系中，表示經(jīng)過點(diǎn)，且法向量為平面的方程．已知平面的方程為，過點(diǎn)作直線，點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，則，滿足的關(guān)系式為______；點(diǎn)P到平面的距離為______．【答案】【解析】因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，則平面的法向量為，又過點(diǎn)作直線，點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，則又，所以，所以；因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，即，所以平面過點(diǎn)，所以，則點(diǎn)P到平面的距離為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為8，求直線的方程.解：（1）因?yàn)閳A心在直線上，所以設(shè)，因?yàn)閳A經(jīng)過兩點(diǎn)，所以，解得，即，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）因?yàn)檫^點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為8，所以到直線距離，當(dāng)直線斜率不存時(shí)，直線滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，所以，解得，此時(shí)直線方程為，即.綜上所述，直線的方程為或16.已知等比數(shù)列的公比為整數(shù)，其前n項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由題意，記等比數(shù)列的公比為，由得，解得或，因?yàn)楣葹檎麛?shù)，所以，所以，因此；（2）由（1）可得，，所以，因此①所以②①②得：，所以.17.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，E是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的大小；（3）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因?yàn)榈酌媸钦叫危瑐?cè)棱底面，如圖以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，.因?yàn)?，故，所?（2）解：設(shè)平面的法向量，因?yàn)?，所以，所以，令，得；又，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，所以，即直線與平面所成角為；（3）解：因?yàn)椋O(shè)平面的法向量，所以，所以，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：；（3）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以，即，所以，即，所以，，，，，，累乘可得，又，所以，當(dāng)時(shí)也成立，所以；（2）由（1）可得，所以；（3）因?yàn)閷?duì)恒成立，即對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，令，則，所以時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；19.已知雙曲線：的離心率為2，右焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．（1）求雙曲線的方程；（2）若雙曲線的右頂點(diǎn)為A，過焦點(diǎn)F的直線與的右支交于P，Q兩點(diǎn)，直線，分別與直線交于M，N兩點(diǎn)，記的面積為，的面積為．①求證：為定值；②求的取值范圍．解：（1）設(shè)雙曲線的半焦距為c，由題意得，漸近線方程不妨取，即，則，而，故雙曲線方程為；（2）①由題意知，設(shè)直線PQ的方程為，聯(lián)立方程組，得，因?yàn)檫^焦點(diǎn)F的直線與的右支交于P，Q兩點(diǎn)，故，則，則；當(dāng)直線PQ斜率不存在時(shí)，,故為定值；②由題意可得，直線AP的方程為，則，直線AQ的方程為，則，則，所以，由于。即，，故，當(dāng)直線PQ斜率不存在時(shí)，，直線AP方程為，直線AQ方程為，可得，綜上的取值范圍為.江蘇省無錫市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期終教學(xué)質(zhì)量調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，可得故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：B.2.直線與直線平行，則的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】因?yàn)椋?，解得或，?dāng)時(shí)，，，此時(shí)重合，舍去；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)滿足，故選：D.3.已知直線l的一個(gè)方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則l與的位置關(guān)系是（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，所以，所以，則或.故選：D.4.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且，，10成等差數(shù)列，則的值為（）A. B.18 C. D.24【答案】B【解析】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，設(shè)公比為，則，又，，10成等差數(shù)列，則，則，故，故選：B.5.已知正四面體的棱長為，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，則用基底表示為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如下圖所示：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，，則，因此，.故選：C.6.已知點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，由題意可知，所以，又因?yàn)?，所以，化簡可得，所以的軌跡方程為，故選：A.7.已知圓：與圓：有兩條公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于圓：與圓：有兩條公切線，故兩圓相交，則，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故選：C.8.斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用．斐波那契數(shù)列滿足如下遞推關(guān)系：，．已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，…，，，以上各式相加得，，化簡得，由，即，所以，解得；因?yàn)?，所以，，，，所以故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知復(fù)數(shù)，，為的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論中一定成立的是（）A.為實(shí)數(shù) B.C.若，則 D.【答案】ABD【解析】設(shè)復(fù)數(shù)，則，則，為實(shí)數(shù)，A正確；，，則，B正確；若，不妨取，則不成立，C錯(cuò)誤；，則，，則，則，D正確，故選：ABD.10.在長方體中，，底面是邊長為3正方形，，則下列選項(xiàng)正確的有（）A.，三棱錐的體積是定值B.當(dāng)時(shí)，存在唯一的使得平面C.當(dāng)時(shí)，的周長取得最小值D.當(dāng)直線與所成角余弦值為時(shí)，的值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由于平面，故E到平面的距離為定值3，而的面積為，故三棱錐的體積為，為定值，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，若平面，而平面，故，設(shè)，則，，即，，即，解得，即當(dāng)時(shí)，上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)E，使得平面，由于，即存在不同的使得平面，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，將四邊形展開到一個(gè)平面上，連接，交于E點(diǎn)，由于，故為三角形的中位線，即E為的中點(diǎn)，則，此時(shí)的值最小，即的周長取得最小值，C正確；對(duì)于D，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，由于，故，則，故，則，解得（負(fù)值舍去），D正確，故選：ACD.11.已知拋物線E：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2，過點(diǎn)作一條直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)O作，垂足為H，則下列說法正確的有（）A. B.C.拋物線E上的點(diǎn)到M距離的最小值為4 D.存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得線段長度為定值【答案】ABD【解析】對(duì)于A，拋物線E：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2，則，A正確；對(duì)于B，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，得，，則，故，則，故，B正確；對(duì)于C，設(shè)拋物線上的點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，取到最小值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，故H點(diǎn)在以O(shè)M為直徑的圓上（不含原點(diǎn)），而，故存在點(diǎn)，使得線段長度為定值2，D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則實(shí)數(shù)______．【答案】9【解析】記等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，即，解?13.過橢圓的右焦點(diǎn)作橢圓長軸的垂線，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，若為正三角形，則該橢圓的離心率為______.【答案】【解析】由題意知，為正三角形，且，則，所以，，由橢圓的定義知，即，解得.14.空間直角坐標(biāo)系中，表示經(jīng)過點(diǎn)，且法向量為平面的方程．已知平面的方程為，過點(diǎn)作直線，點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，則，滿足的關(guān)系式為______；點(diǎn)P到平面的距離為______．【答案】【解析】因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，則平面的法向量為，又過點(diǎn)作直線，點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，則又，所以，所以；因?yàn)槠矫娴姆匠虨?，即，所以平面過點(diǎn)，所以，則點(diǎn)P到平面的距離為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為8，求直線的方程.解：（1）因?yàn)閳A心在直線上，所以設(shè)，因?yàn)閳A經(jīng)過兩點(diǎn)，所以，解得，即，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）因?yàn)檫^點(diǎn)的直線被圓截得的弦長為8，所以到直線距離，當(dāng)直線斜率不存時(shí)，直線滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，所以，解得，此時(shí)直線方程為，即.綜上所述，直線的方程為或16.已知等比數(shù)列的公比為整數(shù)，其前n項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由題意，記等比數(shù)列的公比為，由得，解得或，因?yàn)楣葹檎麛?shù)，所以，所以，因此；（2）由（1）可得，，所以，因此①所以②①②得：，所以.17.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，E是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的大??；（3）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因?yàn)榈酌媸钦叫?，?cè)棱底面，如圖以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸