2025年演化博弈論考試題及答案一、選擇題（每題3分，共30分）1.演化穩(wěn)定策略（ESS）的核心特征是：A.對任何突變策略具有嚴(yán)格支付優(yōu)勢B.當(dāng)群體中幾乎全為該策略時，突變策略無法入侵C.與納什均衡完全等價D.僅適用于對稱博弈2.在雙策略對稱演化博弈中，復(fù)制動態(tài)方程的一般形式為：A.$\dot{x}=x(1-x)[u(x)-u(1-x)]$B.$\dot{x}=x[u(x)-\bar{u}]$C.$\dot{x}=(1-x)[u(1-x)-\bar{u}]$D.$\dot{x}=x(1-x)[u(x)-\bar{u}]$3.隨機演化博弈中，“固定概率”（FixationProbability）指的是：A.某策略在群體中永遠(yuǎn)保持的概率B.單個突變策略最終占據(jù)整個群體的概率C.群體策略分布不變的概率D.自然選擇強度為0時的均衡概率4.以下哪項不是有限理性假設(shè)對演化博弈的影響？A.策略更新規(guī)則更依賴經(jīng)驗而非完全理性計算B.均衡可能偏離納什均衡C.演化過程可能出現(xiàn)循環(huán)或多態(tài)穩(wěn)定D.群體規(guī)模必須為無限大5.在鷹鴿博弈中，若爭斗收益$V=6$，爭斗成本$C=8$，則演化穩(wěn)定策略為：A.全選鷹策略B.全選鴿策略C.混合策略（鷹的比例為$V/(2C)$）D.混合策略（鷹的比例為$V/C$）6.非對稱演化博弈與對稱博弈的關(guān)鍵區(qū)別在于：A.參與者的策略集不同B.支付矩陣不對稱C.群體分為不同角色（如捕食者與獵物）D.演化穩(wěn)定策略的定義不需要考慮對稱條件7.復(fù)制動態(tài)方程的穩(wěn)定點滿足$\dot{x}=0$，其中漸近穩(wěn)定的條件是：A.該點處支付函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于0B.該點處支付函數(shù)的導(dǎo)數(shù)小于0C.該點處復(fù)制動態(tài)的雅可比矩陣特征值為正D.該點處復(fù)制動態(tài)的雅可比矩陣特征值為負(fù)8.演化博弈中“慣例形成”（ConventionFormation）通常用以下哪種模型解釋？A.協(xié)調(diào)博弈的演化B.囚徒困境的演化C.鷹鴿博弈的演化D.最后通牒博弈的演化9.在莫蘭過程（MoranProcess）中，策略替換的概率與：A.策略的適應(yīng)度成反比B.策略的適應(yīng)度成正比C.群體規(guī)模無關(guān)D.突變率無關(guān)10.以下哪項是演化博弈區(qū)別于傳統(tǒng)博弈論的核心特征？A.強調(diào)完全理性假設(shè)B.關(guān)注策略隨時間的動態(tài)演化C.僅分析靜態(tài)均衡D.參與者具有完美信息二、簡答題（每題8分，共40分）1.簡述演化穩(wěn)定策略（ESS）的嚴(yán)格定義，并說明其與納什均衡的聯(lián)系與區(qū)別。2.復(fù)制動態(tài)方程的構(gòu)建邏輯是什么？為什么說它反映了“策略傳播速度與策略優(yōu)勢正相關(guān)”的演化機制？3.隨機演化博弈與確定性演化博弈的主要差異是什么？在群體規(guī)模較小的場景中，為何隨機因素不可忽略？4.有限理性假設(shè)下，演化博弈中的策略更新規(guī)則通常有哪些形式？舉例說明其中一種規(guī)則的具體機制。5.以“公共資源困境”為例，說明如何通過演化博弈模型分析合作行為的涌現(xiàn)條件。三、計算題（每題15分，共30分）1.考慮一個雙策略對稱演化博弈，參與者可選擇策略A或策略B。當(dāng)群體中選擇A的比例為$x$時，A的支付為$u_A(x)=3x+1$，B的支付為$u_B(x)=-2x+5$。（1）寫出復(fù)制動態(tài)方程$\dot{x}$的表達(dá)式；（2）計算所有穩(wěn)定點，并判斷其穩(wěn)定性；（3）若初始群體中$x_0=0.3$，描述演化路徑的最終趨勢。2.考慮一個兩群體非對稱演化博弈：群體1（企業(yè)）選擇策略“創(chuàng)新”（I）或“模仿”（M），群體2（消費者）選擇“購買創(chuàng)新產(chǎn)品”（B）或“購買模仿產(chǎn)品”（C）。支付矩陣如下：-企業(yè)與消費者的交互支付：企業(yè)選I時，若消費者選B，企業(yè)收益4，消費者收益3；若消費者選C，企業(yè)收益-1，消費者收益2。企業(yè)選M時，若消費者選B，企業(yè)收益2，消費者收益1；若消費者選C，企業(yè)收益3，消費者收益4。（1）設(shè)群體1中選擇I的比例為$x$，群體2中選擇B的比例為$y$，寫出兩群體的復(fù)制動態(tài)方程$\dot{x}$和$\dot{y}$；（2）找出所有可能的演化穩(wěn)定均衡點（ESS），并分析其穩(wěn)定性。四、論述題（20分）結(jié)合生物演化或社會經(jīng)濟中的具體案例，論述演化博弈論如何解釋“合作行為在自私個體中穩(wěn)定存在”這一現(xiàn)象。要求：（1）明確案例背景；（2）構(gòu)建簡化的演化博弈模型；（3）分析模型的演化穩(wěn)定策略；（4）得出結(jié)論。一、選擇題答案1.B（ESS要求當(dāng)群體幾乎全為該策略時，突變策略無法入侵，即滿足$u(s,s)\gequ(t,s)$，且若$u(s,s)=u(t,s)$，則$u(s,t)>u(t,t)$）2.B（復(fù)制動態(tài)的核心是策略增長率等于其支付與平均支付的差，即$\dot{x}=x[u(x)-\bar{u}]$，其中$\bar{u}=xu(x)+(1-x)u(1-x)$）3.B（固定概率指單個突變策略通過隨機漂移或選擇最終占據(jù)整個群體的概率，常見于有限群體隨機演化模型）4.D（有限理性允許群體規(guī)模有限，且策略更新基于經(jīng)驗而非完全理性，因此D錯誤）5.C（鷹鴿博弈的混合ESS比例為$p=V/(2C)$，此處$V=6,C=8$，故$p=6/(2×8)=3/8$）6.C（非對稱博弈的關(guān)鍵是參與者屬于不同角色，如“進入者-在位者”，策略集可能相同但支付矩陣因角色而異）7.D（漸近穩(wěn)定要求該點處復(fù)制動態(tài)的導(dǎo)數(shù)為負(fù)，即雅可比矩陣特征值為負(fù)，系統(tǒng)受擾動后會回到該點）8.A（協(xié)調(diào)博弈中，參與者需選擇相同策略以最大化收益，演化過程會收斂到某種慣例，如交通靠左或靠右）9.B（莫蘭過程中，個體被復(fù)制的概率與其適應(yīng)度成正比，死亡個體隨機選擇，因此策略替換概率與適應(yīng)度正相關(guān)）10.B（演化博弈關(guān)注策略隨時間的動態(tài)調(diào)整，而非靜態(tài)均衡，有限理性是其核心假設(shè)之一）二、簡答題答案1.ESS定義：策略$s$是演化穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)對任意突變策略$t\neqs$，滿足：（1）$u(s,s)>u(t,s)$；或（2）$u(s,s)=u(t,s)$且$u(s,t)>u(t,t)$。聯(lián)系：ESS一定是納什均衡（NE），因為若$s$是ESS，則對任意$t$，$u(s,s)\gequ(t,s)$，符合NE的定義。區(qū)別：ESS是NE的精煉，要求更強的穩(wěn)定性——不僅自身是均衡，還能抵御突變策略的入侵；而NE可能是不穩(wěn)定的（如混合NE可能被突變破壞）。2.構(gòu)建邏輯：復(fù)制動態(tài)假設(shè)策略傳播速度與該策略的支付優(yōu)勢正相關(guān)。設(shè)群體中選擇策略$i$的比例為$x_i$，其支付為$u_i$，平均支付為$\bar{u}=\sumx_ju_j$，則復(fù)制動態(tài)方程為$\dot{x}_i=x_i(u_i-\bar{u})$。機制解釋：若$u_i>\bar{u}$，則$x_i$增長（正優(yōu)勢導(dǎo)致策略傳播）；若$u_i<\bar{u}$，則$x_i$下降（劣勢策略被淘汰）。因此，方程直接反映了“優(yōu)勢策略擴散，劣勢策略收縮”的演化邏輯。3.主要差異：確定性演化（如復(fù)制動態(tài)）假設(shè)群體無限大，忽略隨機波動，演化路徑由支付差唯一決定；隨機演化（如莫蘭過程）考慮有限群體中的隨機漂移（如個體隨機死亡/復(fù)制），演化結(jié)果具有概率性。小群體不可忽略隨機因素：小群體中，偶然的策略頻率波動（如某策略個體因隨機死亡減少）可能顯著改變演化路徑，甚至導(dǎo)致劣勢策略固定（fixation），而大群體中隨機波動會被平均化，確定性趨勢占主導(dǎo)。4.策略更新規(guī)則形式：常見規(guī)則包括（1）模仿最優(yōu)：個體復(fù)制當(dāng)前群體中支付最高的策略；（2）模仿鄰居：個體以概率與鄰居支付成比例模仿其策略；（3）強化學(xué)習(xí)：個體根據(jù)歷史收益調(diào)整策略選擇概率。舉例：模仿鄰居規(guī)則中，個體$i$選擇策略$s$的概率為$\frac{\exp(\betau_i(s))}{\sum_t\exp(\betau_i(t))}$，其中$\beta$為選擇強度（$\beta$越大，越傾向于高支付策略）。該規(guī)則反映了有限理性下，個體通過局部觀察（鄰居）而非全局信息更新策略。5.公共資源困境模型：假設(shè)群體中個體可選擇“合作”（限制資源使用，收益$R$）或“背叛”（過度使用，收益$T$，但導(dǎo)致公共資源減少，全體收益下降）。設(shè)合作比例為$x$，則合作者支付$u_C=R-c(1-x)$（$c$為背叛者對合作者的負(fù)外部性），背叛者支付$u_D=T-cx$（$x$越大，資源剩余越多，背叛者成本越低）。合作涌現(xiàn)條件：當(dāng)$u_C>u_D$時，$x$增長。演化穩(wěn)定時，若存在$x^$使得$u_C(x^)=u_D(x^)$，則需滿足復(fù)制動態(tài)在$x^$處穩(wěn)定（導(dǎo)數(shù)為負(fù)）。例如，若$R-c(1-x)>T-cx$，即$R-c>T$，則全合作（$x=1$）是ESS；否則可能出現(xiàn)混合均衡。三、計算題答案1.（1）平均支付$\bar{u}=xu_A(x)+(1-x)u_B(x)=x(3x+1)+(1-x)(-2x+5)=3x^2+x-2x+2x^2+5-5x=5x^2-6x+5$。復(fù)制動態(tài)方程：$\dot{x}=x(u_A-\bar{u})=x[(3x+1)-(5x^2-6x+5)]=x(-5x^2+9x-4)=-5x^3+9x^2-4x$。（2）穩(wěn)定點滿足$\dot{x}=0$，解得$x=0$，$x=1$，或$-5x^2+9x-4=0$（即$x=(9\pm\sqrt{81-80})/10=(9\pm1)/10$，故$x=1$或$x=0.8$）。但$x=1$是重根，實際穩(wěn)定點為$x=0$，$x=0.8$，$x=1$。計算導(dǎo)數(shù)判斷穩(wěn)定性：$\frac{d\dot{x}}{dx}=-15x^2+18x-4$。-當(dāng)$x=0$時，導(dǎo)數(shù)為$-4<0$，故$x=0$是漸近穩(wěn)定點；-當(dāng)$x=0.8$時，導(dǎo)數(shù)為$-15×0.64+18×0.8-4=-9.6+14.4-4=0.8>0$，故$x=0.8$是不穩(wěn)定點；-當(dāng)$x=1$時，導(dǎo)數(shù)為$-15×1+18×1-4=-1<0$，故$x=1$是漸近穩(wěn)定點。（3）初始$x_0=0.3$，位于$x=0$和$x=0.8$之間。由于$x=0.8$是不穩(wěn)定點，當(dāng)$x<0.8$時，$\dot{x}=x(-5x^2+9x-4)$。代入$x=0.3$，計算$-5×0.027+9×0.09-4=-0.135+0.81-4=-3.325<0$，故$\dot{x}<0$，$x$向$x=0$演化，最終收斂到全選B策略。2.（1）群體1（企業(yè)）的平均支付$\bar{u}_1=x[4y+(-1)(1-y)]+(1-x)[2y+3(1-y)]=x(5y-1)+(1-x)(-y+3)$。企業(yè)選擇I的支付$u_I=4y-1(1-y)=5y-1$，故復(fù)制動態(tài)$\dot{x}=x(u_I-\bar{u}_1)=x[(5y-1)-(x(5y-1)+(1-x)(-y+3))]=x(1-x)[(5y-1)-(-y+3)]=x(1-x)(6y-4)$。群體2（消費者）的平均支付$\bar{u}_2=y[3x+1(1-x)]+(1-y)[2x+4(1-x)]=y(2x+1)+(1-y)(-2x+4)$。消費者選擇B的支付$u_B=3x+1(1-x)=2x+1$，故復(fù)制動態(tài)$\dot{y}=y(u_B-\bar{u}_2)=y[(2x+1)-(y(2x+1)+(1-y)(-2x+4))]=y(1-y)[(2x+1)-(-2x+4)]=y(1-y)(4x-3)$。（2）演化穩(wěn)定均衡點需滿足$\dot{x}=0$且$\dot{y}=0$，即：-$x=0$或$x=1$或$6y-4=0$（$y=2/3$）；-$y=0$或$y=1$或$4x-3=0$（$x=3/4$）?？赡艿木恻c：$(0,0)$，$(0,1)$，$(1,0)$，$(1,1)$，$(3/4,2/3)$。穩(wěn)定性分析：-$(0,0)$：$\dot{x}=0(1-0)(6×0-4)=0$，$\dot{y}=0(1-0)(4×0-3)=0$。計算雅可比矩陣：$J=\begin{bmatrix}(1-2x)(6y-4)&6x(1-x)\\4y(1-y)&(1-2y)(4x-3)\end{bmatrix}$，代入$(0,0)$得$J=\begin{bmatrix}(-1)(-4)&0\\0&(1)(-3)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4&0\\0&-3\end{bmatrix}$，特征值為4（正）和-3（負(fù)），鞍點，不穩(wěn)定。-$(0,1)$：$J=\begin{bmatrix}(1-0)(6×1-4)&0\\4×1×0&(1-2×1)(4×0-3)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$，特征值均為正，不穩(wěn)定。-$(1,0)$：$J=\begin{bmatrix}(1-2×1)(6×0-4)&0\\0&(1-0)(4×1-3)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}(-1)(-4)&0\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4&0\\0&1\end{bmatrix}$，特征值均為正，不穩(wěn)定。-$(1,1)$：$J=\begin{bmatrix}(1-2×1)(6×1-4)&0\\0&(1-2×1)(4×1-3)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}(-1)(2)&0\\0&(-1)(1)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&0\\0&-1\end{bmatrix}$，特征值均為負(fù)，漸近穩(wěn)定（ESS）。-$(3/4,2/3)$：此時$\dot{x}=0$且$\dot{y}=0$，但雅可比矩陣在該點的特征值需計算：$J=\begin{bmatrix}(1-2×3/4)(6×2/3-4)&6×3/4×1/4\\4×2/3×1/3&(1-2×2/3)(4×3/4-3)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}(-1/2)(0)&9/8\\8/9&(-1/3)(0)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&9/8\\8/9&0\end{bmatrix}$，特征值為$\pm\sqrt{(9/8)(8/9)}=\pm1$，一正一負(fù)，鞍點，不穩(wěn)定。綜上，唯一的演化穩(wěn)定均衡點是$(1,1)$，即企業(yè)全選創(chuàng)新、消費者全選購買創(chuàng)新產(chǎn)品。四、論述題答案案例背景：生物界中，吸血蝙蝠的“血液共享”行為——饑餓的蝙蝠會接受其他蝙蝠反芻的血液，而共享者未來可能獲得回報。這種合作行為在自私個體中穩(wěn)定存在，傳統(tǒng)自利模型難以解釋，需用演化博弈分析。模型構(gòu)建：假設(shè)蝙蝠群體中存在兩種策略：“合作”（C，共享血液）和“背叛”（D，拒絕共享）。設(shè)群體中選擇C的比例為$x$。-當(dāng)兩個C相遇時，雙方因共享獲得收益$b$（避免饑餓死亡），但需支付成本$c$（失去部分血液），故支付$u(C,C)=b-c$；-當(dāng)C與D相遇時，C支付成本$c$但無回報，D不支付成本但獲得收益$b$，故$u(C,D)=-c$，$u(D,C)=b$；-當(dāng)兩個D相遇時，雙方無收益無成本，支付$u(D,D)=0$。演化穩(wěn)定策略分析：復(fù)制動態(tài)方程為$\dot{x}=x(u_C-\bar{u})$，其中$u_C=x(b-c)+(1-x)(-c)=xb-c$，$\bar{u}=xu_C+(1-x)u_D=x(xb-c)+(1-x)(xb)=x^2b-xc+xb-x^2b=xb-xc$。因此，$\dot{x}=x[(xb-c)-(xb-xc)]=x(-c+xc)=xc(x-1)$。穩(wěn)定點滿足$\dot{x}=0$，即$x=0$或$x=1$。-當(dāng)$x=0$（全背叛）時，$\frac{d\dot{x}}{dx}=c(0-1)+c×0=-c<0$（$c>0$），故$x=0$是漸近穩(wěn)定點？但這與現(xiàn)實矛盾，說明模型需修正。修正模型：引入“聲譽機制”——個體記住曾背叛者，未來拒絕與其合作。設(shè)合作策略C僅與C合作，D與所有人合作（或被C排斥）。此時，C的支付為$u_C=x(b-c)+(1-x)(0)$（被D排斥，無收益），D的支付為$u_D=xb+(1-x)0=xb$（從C處獲取收