第四章

指數(shù)與對數(shù)4.1.2指數(shù)冪的拓展

蘇教版2019必修第一冊·高一學(xué)習(xí)目標教學(xué)重點：指數(shù)冪的擴充過程；掌握分數(shù)指數(shù)冪的含義及其運算教學(xué)難點：分數(shù)指數(shù)冪的規(guī)定與根式的聯(lián)系；有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)了解根式運算與指數(shù)運算的內(nèi)在聯(lián)系;掌握有理數(shù)指數(shù)冪的含義;理解實數(shù)指數(shù)冪的含義;

掌握有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，能熟練利用法則進行相關(guān)運算；通過實數(shù)指數(shù)冪的擴充和相關(guān)運算，使學(xué)生了解指數(shù)冪運算的發(fā)展過程.教學(xué)目標學(xué)科素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象：通過整數(shù)指數(shù)冪到實數(shù)指數(shù)冪的擴充，抽象一般形式；邏輯推理：有理數(shù)指數(shù)冪運算規(guī)定的邏輯自洽，無理數(shù)指數(shù)冪的存在性；數(shù)學(xué)運算：有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)；新知引入情境1：薇甘菊危害熱帶、亞熱帶地區(qū)，是有害雜草之一，假設(shè)第一年它侵害土地的面積是S0(單位hm2)，且隨著薇甘菊的擴張，后一年的侵害總面積是前一年的1.057倍.問題1：第二年侵害總面積是多少？第三年？第四年？問題3：從第一年算起一年半之后侵害的總面積是多少？解：S1=S0·1.057，

S2=S0·1.0572問題2：你能提出薇甘菊侵害田地面積S與年數(shù)t(年)的關(guān)系式嗎？解：S

=S0·1.057t解：S

=S0·1.0571.51.5個1.057的乘積如何理解？指數(shù)不只限于整數(shù)！新知引入問題4：實數(shù)是如何分類的？學(xué)習(xí)的順序是什么？實數(shù)0無理數(shù)有理數(shù)分數(shù)整數(shù)負整數(shù)正整數(shù)整數(shù)分數(shù)有理數(shù)無理數(shù)實數(shù)a?(n∈N)a?(n∈Q)a?(n∈

?)新知探究

問題5：你有什么發(fā)現(xiàn)？你能找出規(guī)律嗎？

問題6：現(xiàn)在通過n次方根定義了指數(shù)為分數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪，這個定義是否合理呢？Tip：定義的合理性需要滿足推廣前的運算性質(zhì)，可以借助運算性質(zhì)來考察.新知探究整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：①a?·a?=a???；②(a?)?=a??；③(ab)?=a?b?

從運算性質(zhì)驗證了指數(shù)為分數(shù)的合理性！

將n次方根記為指數(shù)的分母；將乘方記為指數(shù)的分子.新知探究

指數(shù)能否是負分數(shù)呢？問題7：回顧所學(xué)，指數(shù)如何從正整數(shù)推廣到整數(shù)？

注意：0的正分數(shù)指數(shù)冪為0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.新知呈現(xiàn)a?(n∈Q)

注意：我們將底數(shù)規(guī)定為正數(shù)，即a>0，避免指數(shù)冪無意義的情況。舉例如下：

負數(shù)沒有偶次方根.有意義.有理數(shù)指數(shù)冪(1)

(2)(3)(4)典例精講例題1：求下列各式的值.

Tip：盡量使用有理數(shù)指數(shù)冪進行計算，將計算過程限制在指數(shù)上.消去分母.例題2：用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式(a>0).

典例精講典例精講變式訓(xùn)練

典例精講變式訓(xùn)練

變式2：化簡下列各式：

新知呈現(xiàn)a?(n∈Q)a?(n∈R)問題8：我們已經(jīng)將指數(shù)推廣到有理數(shù)，那么指數(shù)可以是無理數(shù)嗎？x2x計算器計算2x的值121.42.639015821…1.412.657371628…1.4142.664749650…1.41422.665119088…··················？？

典例精講

有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對無理數(shù)指數(shù)冪同樣適用.典例精講

最后，標準的分數(shù)指數(shù)冪的符號并不是在發(fā)現(xiàn)之初便設(shè)定的如此完美，就像進化論一樣，它的產(chǎn)生和演變同樣經(jīng)歷了漫長的過程。直到18世紀歐拉才給出了現(xiàn)在的定義，自此，人們開始普遍使用這一表示法。1360年法國數(shù)學(xué)家奧雷姆(N.Oresme)《比例算法》1P22

1585年比利時數(shù)學(xué)家斯蒂文(S.Stevin)《十進算術(shù)》

1629年荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉爾(A.Girard)《代數(shù)新發(fā)明》

1676年英國數(shù)學(xué)家牛頓(I.Newton)通信(1676)

反思總結(jié)問題9：在進行指數(shù)冪的拓展時我們保證了什么時不變的？

答：指數(shù)冪的運算性質(zhì)問題10：這節(jié)課按照什么順序?qū)χ笖?shù)冪進行了拓展？

整數(shù)指數(shù)冪分數(shù)指數(shù)冪有理數(shù)指數(shù)冪無理數(shù)指數(shù)冪實數(shù)指數(shù)冪感