專題4.7由平行線截得的比例線段（知識(shí)講解）

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.掌握平行線等分線段及平行線分線段成比例定理的內(nèi)容

2.會(huì)運(yùn)用平行線分線段成比例定理解決問題

3.體會(huì)轉(zhuǎn)化、特殊到一般的數(shù)學(xué)思想

【要點(diǎn)梳理】

要點(diǎn)一：平行線等分線段定理：

如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.

幾何語言:

圖一

拓展:

1）.如果一組等距的平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的

線段也相等;

2）?經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線平分第三邊;

圖二

3）、經(jīng)過梯形一腰中點(diǎn)并平行于底邊的直線必過另一腰中點(diǎn)并等于兩底和的一半。

要點(diǎn)二：平行線分線段成比例定理1.平行于三角形一邊的直線與其它兩邊（或兩

邊的延長(zhǎng)線）相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

平行線分線段成比例定理2.平行于三角形一邊的直線與其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）

相交，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)線段成比例

圖六

【典型例題】

類型一、由平行線判斷比例線段

AD=2,DE=4,EF=7.5,求BC、BF的長(zhǎng).

【分析】由平行線分線段成比例解答即可.

解:?門|〃12〃13,

VAB=3,AD=2,DE=4,

解得：BC=6,

VAB=3,AD=2,DEM,EF=7.5,

解得：BF=2.5.

【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線分線段成比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由平行得到線段AB

與已知條件中的線段之間的關(guān)系.

【變式1】如圖所示，h//h//h,且48=2BC,。尸=5cm,AG=4cm.求GRAF,

所的長(zhǎng).

AD

產(chǎn)；

【答案】2cm、6cm、|crn

【分析】直接利用平行線分線段成比例定理計(jì)算即可.

解：;〃〃〃，

.AG_AB

而AG=4cm,AB=2BC,

??.生=2.

GF

GF=2cm.

.*.AF=AG+GF=44-2=6(cm).

??Z〃/2〃/3,

【點(diǎn)撥】本題考查了y行線分線段成比例定理，三條平行線被兩條直線所截得的對(duì)應(yīng)線

段成比例.

(I)求證：AH1.BC；

(2)求AG的長(zhǎng).

【分析】

(1)根據(jù)條件求出“/的長(zhǎng)，得出人序+"4二4》，證明△是直角三角形即可；

(2)利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，設(shè)AG為-則可用x表示CG的長(zhǎng)，利用平行線分

線段成比例列出比例式，即可求出羽即AG的長(zhǎng).

(1)證明：:A。是8c邊上的中線，

:.DC=BD=7,

,：DH+HC=DC=1,

A

解：，??FE〃CD,

VAD是線段AF與AB的比例中項(xiàng)，

ADE/7BC.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線分線段成比例定理及其逆定理，根據(jù)平行判斷成比例線

段是解題的關(guān)鍵.

證明：VAD//BC,

又：BE//CD,

【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線分線段成比例，準(zhǔn)確證明是解題的關(guān)鍵.

類型三、由平行線截線段長(zhǎng)或比值

【分析】利用勾股定理求出C。，利用中位線性質(zhì)求出8C,繼而求出8D,因?yàn)?。?4

中點(diǎn)，所以即求出AH的長(zhǎng).

解：'：DELDC,

???NCQE=90。，

?:DE=6,CE=2,

VDC1BC,DELDC,

:,DE〃BC,NOCB=90。，

???。為AB的中點(diǎn)且DE〃BC,

：,13C=2DE=2y[2，

???。為48的中點(diǎn)，

???A8=28￡>=2、伍.

【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股定理，平行線分線段成比例定理，熟練使用勾股定理求直

角三角形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

【變式1】如圖，在RAABCB,NAC8=90。，NBAC=60°,AC=6,AO平分NB4C,

交邊BC于點(diǎn)、D,過點(diǎn)。作C4的平行線，交邊AB于點(diǎn)、E.

⑴求線段OE的長(zhǎng)；

（2）取線段A。的中點(diǎn)M,連接8M,交線段?！暧邳c(diǎn)八延長(zhǎng)線段8M交邊AC于點(diǎn)G,

2

【答案】（1）4（9.）j

【分析】

（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可;

（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可.

⑴解：?.?AO平分N8AC,Z/MC=60°,

：.ZDAC=30\

在心△ACO中，NAC==9(T,

ZDAC=30°,AC=6,

:?CD=2?,

在R/AACB中，N4C8=90°,N8AC=60。，AC=6,

***BC=65/3?

:.BD=BC—CD=4超,

*：DE//CA,

：,DE=4i

(2)解：如圖.

???點(diǎn)M是線段A。的中點(diǎn)，

r.DM=AM,

'/DE/ZCA,

：.DF=AG.

*：DE//CAf

.EF_BFBFBD

‘?而一而‘~BG~~BC'

,EFBD

"AG'

":BD=48c=66，DF=AG,

【點(diǎn)撥】考查了平行線分線段成比例定理，注意線段之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

【變式2】如圖，在△ABC中，E,F分別是AC,BC的中點(diǎn)，A尸與BE交于點(diǎn)O,ED//AF,

交8c于點(diǎn)。，求8。：OE的值.

A

BFD

【答案】2：I

【分析】由E是AC的中點(diǎn)，ED//AF,得FADC,又尸是的中點(diǎn)，易得80：

OE=BF：FD=2：1.

解：???￡是AC的中點(diǎn)，ED//AF

：.FD=DC

乂???尸是6C的中點(diǎn)

???BF=FC=2FD

:.BO：OE=BF：產(chǎn)D=2：1.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)圖中相等的比例關(guān)系.

類型四、通過添加平行線求線段長(zhǎng)或比值

【分析】作EH//AC交BC于H,根據(jù)三角形的中位線定理得到即B”=3，C,

根據(jù)平行線分線段成比例定理證明結(jié)論.

證明：作EH〃AC交BC于〃，

???點(diǎn)￡為A。的中點(diǎn)，

:.DH=HC,

??,A。是△ABC的中線，

:,BD=DC,又DH=HC,

：.BH=3HC,

*：EH//AC,

：.EF=-BF.

4

【點(diǎn)撥】本題考查的是二角形中位線定理和平行線分線段成比例定埋，掌握二角形的中

位線平行于第三邊且等于第三邊的一半、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【分析】

（2）過點(diǎn)。作BE的平行線DG,利用平行線分線段成比例可推理得到EG=CG,EG=2AE,

從而得到答案.

BD=CD

圖2

:,EG=CG,EG=2AE

：.5AE=AC

【點(diǎn)撥】本題考查平行線段分線成比例，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是解此類題的關(guān)鍵.

【變式2】△ABC中，點(diǎn)。是邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)尸在A力上，連接并延長(zhǎng)交AC于

點(diǎn)E；

圖1圖2圖3

【分析】

(1)作交AC于G,列出比例式即可證明；

(2)作△ABC的中線AO,再作A。中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E即可；

(3)作DG〃8E交AC十G.根據(jù)平行得出比例式，根據(jù)尸為AD的中點(diǎn)，得出，小〃

之間的等量關(guān)系即可.

(1)證明：作。G〃BE交AC于G,

*：DG//BE,BD=CD,

.CDCG

..——=——=1,

BDEG

：.EG=CG,

?：EF〃DG,

tAFAE

'~DF~~EG'

?AE

,,訪i

???絲=1

DF

：.AF=FD；

(2)作△AHC的中線A。，再作A。中點(diǎn)，連接〃”并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)上，點(diǎn)上即是所求;

E

(3)作DG〃BE父AC于G.

■:DG//BE,

BD_EG

，IH,

BCCE

，：EF〃DG,

???尸為4。的中點(diǎn),

【點(diǎn)撥】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作平行線，利用比例式

解決問題

類型五、通過平行線成比例解決坐標(biāo)系中的幾何問題

1t3f3

(3)—nV-nV--

2-5

【分析】

故答案為：y.

③如圖，當(dāng)PA=PC=OC時(shí)，四邊形APCO是筆腰梯形，過點(diǎn)P作PEJ_OA于E,

過點(diǎn)C作CF_LOA于F.

綜上所述，滿足條件為,的值為g或|或（■.

【點(diǎn)撥】本題屬十三侑形綜合題，考查了解直角三角形，平行線分線段成比例定理，等

腰三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解

決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

（1）求直線。。的函數(shù)表達(dá)式；

②直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)

y

【分析】

（1）先求得A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出C、D的坐標(biāo)，代入y=kx+b

即可求得CD的解析式；

（3）分三種情況利用全等三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例即可確定出點(diǎn)P的坐標(biāo).

AA（3,0）,B（0,4）,

/.OA=3,OB=4,

/.CO=OA=3,O1^=OB=4,

AC(0,3),D(4,0),

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,

(2)①由坐標(biāo)軸知OBJ_OA,

AZEOF=ZAOB=90o,

AZCOF=ZAOE,

AOA=OC,ZOAB=ZOCD,

AACOF^AAOE(ASA),

.\OF=OE；

②過點(diǎn)F作FG1OD.過點(diǎn)E作EH1OB,

AZFGO=ZEHO,

由①可知△COF^AAOE,

/.OF-OE,ZCOF-ZAOE,

AZFOD=ZEOB,

/.△FOG^AEOH(AAS)

???GF=HE,OG=OH,

如下圖，

當(dāng)^P'Q'D^AOCD時(shí),

:.DP'=0D=4,

作PHJ_x軸,

???PH〃OC,

當(dāng)仆PQD/ZXCOD時(shí)，

.*.DQ=OD=4,PQ=OC=3,

???點(diǎn)P坐標(biāo)（8,3）；

當(dāng)4P"Q''D^AOCD時(shí)，

ADP"=OD=4,P"Q'=OC=3,

作P”G_Lx軸，即P”G〃OC,

【點(diǎn)撥】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，

平行線分線段成比例、一次函數(shù)與二元一次方程組.（2）中能正確作出輔助線構(gòu)造全等三

角形是解題關(guān)鍵：（3）注意分情況討論,正確作出圖形.

【變式2】在平面直角坐標(biāo)中，0A=4,04=8,直線y=-2x+〃交x軸和y軸于點(diǎn)。、

E.

（1）求直線A8的解析式；

Ar1

（2）若煞=：，試求〃的值；

oC3

【分析】

（1）設(shè)直線48的解析式為y=E+），把A、8兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可解決問題.

（2）根據(jù)題意求出點(diǎn)。坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問題.

（3）想辦法用〃表示點(diǎn)。坐標(biāo)，代入直線A8的解析式即可解決問題.

解：（1）??Q=4,08=8,

(0,4),B(8,0),

設(shè)直線AB的解析式為)，=丘+力,

:.直線AB的解析式為尸-；x+4.

(2)如圖，作CM_L05于M,CALL。。于N.

:?CN=2,CM=3,

???點(diǎn)。坐標(biāo)為(2,3),

把點(diǎn)。代入y=-2A+力，得3=-4+力，

.*./?=7.

(3)?「直線)，=-2A+力交文軸和1y軸于點(diǎn)。、E,

二。(0,/?),E(-,0),

2

b3

：.CN=~,CM=qb,

：?C(g,啰)，把點(diǎn)C坐標(biāo)代入y=-9+4得到，："=-仁+4,

..40

■?u—--?

7

【點(diǎn)撥】本題考杳一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平行線分線段成比例等內(nèi)容，掌握待定系數(shù)

法求解析式是解題的關(guān)鍵.

類型六、平線分線段成比例作圖題

06.閱讀下列材禮完成相關(guān)任務(wù)

我們知道，利用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線可以得到該線段的中點(diǎn)，四等分點(diǎn)，怎樣

得到線段的三等分點(diǎn)呢？

操作探究：

曉彤的作法是：

①作射線MK(點(diǎn)K不在直線MN上)；

②在射線MK上依次載取線段M4,/W,使4B=2/WA,連接8N；

③以A為頂點(diǎn)，MA為一邊,如圖，作NMAP,使/M4P=/M8M射線AP交MN于

點(diǎn)p.

所以點(diǎn)P為求作的點(diǎn).

曉彤作法的理由是：

?；NMAP=NMBN,

???AP〃朋V（同位角相等，兩直線平行）.

*：AB=2MA（已知），

數(shù)學(xué)思考：曉彤作法理由中所缺的依據(jù)是：—；

拓展應(yīng)用：如圖，已知線段4,h,C,

求作：線段“，使a：b=c：d.（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）

b

河N

【答案】數(shù)學(xué)思考：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；拓展應(yīng)用：

見分析.

【分析】

數(shù)學(xué)思考：由題意根據(jù)平行線分線段成比例，即可得到答案；

拓展應(yīng)用：根據(jù)題意由頂點(diǎn)A做兩條射線，在一條射線上截取=mBC=b,在另一

條射線上截取AQ=c,連接80,過點(diǎn)C作CE〃B。，交點(diǎn)為E,則。E=d即為所求線段.

解：數(shù)學(xué)思考：由題意可得：曉彤作法理由中所缺的依據(jù)是：兩條直線被一組平行線所

截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例；

拓展應(yīng)用：如圖，線段OE即為所求作的線段之

【點(diǎn)撥】本題考查的是作圖復(fù)雜作圖，熟練掌握平行線分線段成比例的作法是解答此題

的關(guān)鍵.

【變式1】如圖，已知AABC中，4B=8,