指數(shù)與指數(shù)函數(shù)錯(cuò)題歸納專題練

2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考

類型梳理

易錯(cuò)點(diǎn)：運(yùn)算中出現(xiàn)問(wèn)題

類型一：指數(shù)運(yùn)算辯錯(cuò)因：不熟悉指數(shù)函數(shù)的計(jì)算

補(bǔ)措施：加強(qiáng)對(duì)公式的記憶和練習(xí)

類型二：指數(shù)函數(shù)中易錯(cuò)點(diǎn)）底數(shù)用邈導(dǎo)致出錯(cuò)

忽視對(duì)底數(shù)的討論辯錯(cuò)因'忽略對(duì)底數(shù)的討論

指

補(bǔ)措施：注變底數(shù)的分類討論

數(shù)

與易錯(cuò)點(diǎn)：比較大小

辯然因：不會(huì)利用中間

指類型三：比較指數(shù)幕的大小

值比較大小

數(shù)補(bǔ)措施：把握中間值

函

身錯(cuò)點(diǎn)：求不等式時(shí)出錯(cuò)

數(shù)

類型四：指數(shù)函數(shù)不等式辯錯(cuò)因:指數(shù)的大小關(guān)系與兩

個(gè)數(shù)的大小關(guān)系不一定相同

補(bǔ)措施：理解性質(zhì)，加強(qiáng)練習(xí)

易錯(cuò)點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)換元后錯(cuò)誤

類型五：復(fù)合函數(shù)換元問(wèn)題辯錯(cuò)因：換元遺漏范圍

補(bǔ)措施：換元后計(jì)算新自變量范圍

針對(duì)性訓(xùn)練

一、單選題

1.集合用=卜,2-31<0},N={電>2卜則用p|N=（）

A.（0,+a）B.（0,3）C.（l,+oo）D.（1,3）

2.若函數(shù)2〃?-2）?加是指數(shù)函數(shù)，則相等于（）

A.-1或3B.—1C.3D.-

3

3.下列各式正確的是（）

A.值=-2B.'^3/=^

/\2|

C.獷萬(wàn)="+排D.—二〃。層

2

4.已知集合A={x|3Y2*},B={x\x+2x-3<6}t則A(J8=()

A.(-1,01B.[1,3)C.(-3,0]D.y,l)

5.已知函數(shù)?）=>：：：『的值域?yàn)镽，其中。>。且"I,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.(1,2JB.(1,3JC.(2,3JD.(2,4]

6.設(shè)y=/（x）為指數(shù)函數(shù)），="（a>0且awl）,函數(shù)y=g"）的圖象與y=/（力的圖象關(guān)于直線

y=x對(duì)稱.在尸(1,1),0(1,2),“(2,3),四點(diǎn)中，函數(shù))，="*與丁=&(力的圖象的公共

點(diǎn)只可能是()

A.點(diǎn)PB.點(diǎn)。C.點(diǎn)MD.點(diǎn)N

7.函數(shù)/(x)=(g1J的值域?yàn)?)

A.卜8,；B.(0,；]C.g,+8D.[2,-Ko)

8.已知'是定義在R上的偶函數(shù)，則利-〃=()

2—2,A,<0

A.-4B.0C.2D.4

9.已知a=306,/?=0.6',<?=ln0.3,則()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b

10.若關(guān)于x的不等式9制-4.3第-々20的解集為R，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是（）

A.[Y，。]B.4]C.[-3,0]D.(Y,-3]

11.已知函數(shù)"”=4'-23+4,1目-1』，則函數(shù)），=/"）的值域?yàn)椋ǎ?

13.

A.[3,+oo)B.[34]C.吟D.小

二、多選題

12.已知?jiǎng)t下列結(jié)論正確的是（)

A.a5>b5C.a2+b2>2\ab\D.|3〃+。以3〃一切

13.已知實(shí)數(shù)4人滿足a>|h+l|,則下列不等關(guān)系一定成立的是()

A.2">2’川B.a~>4bC.a2>b2+\D.a2>b\b+\\

14.已知b>a>l>c>0,貝JI()

「aa-\nc,cc

A.c“>dB.b'>a'C.->-----D.b+—>a+—

bb-Incha

三、填空題

5已知八與1,函數(shù)尸心若實(shí)數(shù)叫〃滿足則〃…的關(guān)系為.

16.若x＞0時(shí)，指數(shù)函數(shù)），=（，/-3）,的值總大于1,則實(shí)數(shù)小的取值范圍是

17.若〃v〃?v0，則y/f/i2+2nvi+n2-\Jm2-2mn+n2=----

18.若〃蚱!＜，（力=?；；"之；，則滿足/（，7-2）2/（〃7+3）的〃?的最大值為

四、解答題

19.已知函數(shù)"Mx）的表達(dá)式/（力=為—-

⑴若函數(shù)）=/（x）是奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)〃的值；

⑵對(duì)任意實(shí)數(shù)X?TJ],不等式f（x）＜（）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

20.已知函數(shù)/⑺=2，：”4（〃）（）且是定義在R上的奇函數(shù).

⑴求〃的值.

⑵求函數(shù).“X）的值域.

（3）當(dāng)xw（0,U時(shí),/⑶-2*+2?0恒成立,求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

=是增函數(shù)，且工=0時(shí)，)=1,

???原不等式的解集為：{-v|x<0},

A={x|x<0},

?.?B={X|X2+2X-3<0}={X|-3<X<1},

/.AUB={X|X<1},

故選：D.

5.A

【分析】分別計(jì)算分段函數(shù)在每段上的值域，再取并集，根據(jù)并集為R即可求出范圍.

【詳解】因y=log5]在(0/上單調(diào)遞增，故1。&工?-8,0],

若Ovavl,貝iJ_y-cJ-2在(1,*)上單調(diào)遞減，

因/故/-2w(-2,〃-2),

此時(shí)不滿足/(“值域?yàn)镽；

若a〉l,則尸優(yōu)-2在(1,+司上單調(diào)遞增，

因"￡,故"—2￡(a-2,+<X?),

若〃力值域?yàn)镽,則1—240,即1<。42,

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍是(1,2].

故選：A

【分析】求出g(x)=log.x,將四個(gè)選項(xiàng)逐一代入檢驗(yàn)，得到正確答案.

【詳解】由題意,知g(x)=log/.逐一代入驗(yàn)證,

點(diǎn)P(l,l)代入〉，=，中，求得：a=l,不合要求，舍去：

點(diǎn)Q(l,2)代入y=優(yōu)中，解得：”=2,將x=l代入g(x)=log/中，log“l(fā)=0,Q點(diǎn)不在g(/)=log“x

上，不合要求，舍去；

點(diǎn)M(2,3)代入中，解得：a=6將“(2,3)代入g(x)=log“x中，log2x=3,解得：〃=8,

故與〃=石矛盾，舍去；

、佶，?］代入］，中,)=!，解得：。二［將'1口代入g("=log,戶中,log1=A解得：

I，4741O\24724

?滿足題意.

16

故僅點(diǎn)N可能同時(shí)在兩條曲線上.

故選：D.

7.C

【分析】令1=-/+2必先求出，的取值范圍，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求的值域即可.

<2/

【詳解】令/=一/+2一則］=_"—1)2+14,

因?yàn)?,=，■［在R上單調(diào)遞減,

12J

故函數(shù)〃X)=(g)””的值域?yàn)間，+8.

故選：C.

8.A

【分析】利用偶函數(shù)和0處函數(shù)值列方程求解即可.

【詳解】因?yàn)?。)是定義在R上的偶函數(shù)，所以/⑴=/(-】)，即2〃［+］=-3,

又/(0)=2,+0-2>°=0,所以/(0)=m+?=0,

2〃”=-3

聯(lián)立，2,解得〃?=-2,n=2,

in+/1=0

經(jīng)檢驗(yàn)，m--2,〃=2滿足要求，

故〃?一〃=-4.

故選：A.

9.A

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小.

【詳解】依題意，a=306>3°=1=0.6°>0.63>0=In1>ln0.3=c，

所以a

故選：A

10.D

【分析】設(shè)/=3用，由換元法轉(zhuǎn)化為產(chǎn)-4/-攵20在區(qū)間（0』上恒成立，進(jìn)而可得.

【詳解】設(shè)/=3/，當(dāng)x€R時(shí)，0</?1,

故由題意可得關(guān)于［的不等式20在區(qū)間（0川上恒成立，

設(shè)/（，）=/-射-Z,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知〃/）在區(qū)間（0』上單調(diào)遞減，

故=4—420,得RW-3,

故選：D

11.B

【分析】根據(jù)給定條件換元，借助二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值即可作答.

【詳解】依題意，函數(shù)/（"=（2'）2—2X2，+4,不￡卜1』，令則f=2*在xe［T,l］上單調(diào)遞

增，即;WY2,

于是有尸尸-2/+4=（.1）2+3,當(dāng)1=1時(shí)，）嬴=3,此時(shí)x=0,/U）min=3,

當(dāng)f=2時(shí)，Ng=4,此時(shí)x=l,/3皿=4,

所以函數(shù)丁="力的值域?yàn)椋?,4］.

故選：B

12.AC

【分析】利用.y=V的單調(diào)性判斷A；利用），=（：［的單調(diào)性判斷B；利用重要不等式判斷C；舉出

反例判斷D.

【詳解】選項(xiàng)A,函數(shù)），=丁在R上單調(diào)遞增，又a>〃，所以/>//,故A正確；

選項(xiàng)B,y=（；J在R上單調(diào)遞減，又a>b,所以故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,/+從=,+時(shí)之2同四=2|曲，故C正確；

選項(xiàng)D,取。=1,。=一2時(shí)，得|3〃十勿<|3a—例，故D錯(cuò)誤.

故選；AC.

13.ABD

【分析】根據(jù)己知有空|人+1|2（）,貝卜＞〃+1,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷A；兩側(cè)平方有

片＞/+孫+1，結(jié)合基本不等式、不等式性質(zhì)判斷B；特殊值。=2/=-2判斷C；討論〃W0、〃＞0,

結(jié)合不等式性質(zhì)判斷D.

【詳解】因?yàn)橹?1,所以所以2"＞2〃"，故A對(duì)；

因?yàn)?+1）2—4/2=（〃-1）2之0,所以（6+1）2N4Z?,

由所以/故B對(duì)；

若〃=2,力=-2,滿足。＞弧+1],顯然々2＞從+]不成立，故c錯(cuò)；

當(dāng)b+」Wl,則bWO,必有/＞0之他+1|,

當(dāng)匕+1＞1,貝故4＞方+1＞。＞0,必有/＞6歸+1],

故D對(duì).

故選：ABD

14.ABD

【分析】由指數(shù)函數(shù)'單調(diào)性可判斷A項(xiàng)，由基函數(shù)），=f單調(diào)性可判斷B項(xiàng)，運(yùn)用作差法及對(duì)

數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判斷C頂，運(yùn)用作差法及不等式性質(zhì)可判斷DJ■頁(yè).

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋?不（（）＜。＜1）是減函數(shù)，而b〉a,所以c"＞cJ故A項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)閥=/（（）＜c＜l）在（0,+8）上單調(diào)遞增，而。＞。＞0,所以//＞/,故B項(xiàng)正確；

aa-\nc（b-a）\nc（b-a）\nc八〃-lnc

對(duì)于C項(xiàng)，----■—=—r~~:~~;，因?yàn)閆?＞0,IncvO,所以/--＜0,gp-a＜-_.—,

bb-\ncp（p-lnc）O（O-lnc）bb-\nc

故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng),斗。+9」因?yàn)椤荆ǎ?而“＞（）,"＞（）,所以（j）（加c）＞0,

kb）Ia）ahab

即匕+￡＞〃+￡,故D項(xiàng)正確.

ha

故選：ABD.

15.m＜n

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，比較大小.

【詳解】因?yàn)?=史二!■,月1以用一1二正二一1二避二3=4亞<0,同［以Uvavl,

2222

所以函數(shù))，=廢在R上單調(diào)遞減，

又所以機(jī)<〃，

故答案為："?<〃.

16.〃?<一2或〃?>2

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性，即可得到關(guān)于加的不等式，求解不等式即可得到結(jié)果.

【詳解】由己知可得，加且加一3/1.

又x>0時(shí)，y>i,

即("P-3)'>1=(〃，-3)°,

所以有即W+2)(〃L2)>0,

解得〃?<-2或〃?>2.

故答案為：加<-2或〃>2.

17.-2m

【分析】根據(jù)題意結(jié)合根式的運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)閥jin1+2mn+n2--Jin2-2inn+n2=+-3(〃?-〃)"=\m+>

又因?yàn)閯tm+〃<0/〃一〃>0,

所以+2mn+n2-yjnr-2nm+n2=-(m+n)=-2/n.

故答案為：-2m.

18.一1/-0.5

2

【分析】首先得出/(力的奇偶性、單調(diào)性，進(jìn)一步結(jié)合已知列出關(guān)于〃?的不等式即可求解.

【詳解】顯然/(X)的定義域是全體實(shí)數(shù)，所以它的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

當(dāng)x>0時(shí)，/(—刈=3+、)=3'=/(刈，當(dāng)x<0時(shí)，f(-x)=3-x=f(x),

當(dāng)彳=0時(shí)，/(x)=/(-x)=/(0)=l,

所以/(x)是偶函數(shù)，

當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=3'單調(diào)遞增，所以當(dāng)xWO時(shí)，/(x)單調(diào)遞減，

所以/(/zz-2)>/(/??+3)<=>|/?7-2|>|/zz+3|<=>(?n-2)2_(〃i+3/=-1Om-5>0<=>A?<-^,

所以滿足>/(〃?+3)的m的最大值為-;.

故答案為：-g.

19.⑴a=g

e+1

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義，即可求解答案；

(2)根據(jù)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，即可求解答案.

【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)尸/卜)是奇函數(shù)，尸/⑺的定義域(7，也)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

IpTI

=-?=----a,則+/("="；-+---2a=\-2a=0,

e*+11+el+e7er+1

所以a=g.

(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)不等式〃x)40恒成立，即〃之為恒成立，

設(shè)g(加告，

對(duì)任意實(shí)數(shù)多,七e［T,l］且％<x2t

g(6g(?”-%(二；)小川，

因?yàn)閮?nèi)<赴，所以爐<記，所以g(x)-g(w)>o

所以函數(shù)y=g(x)在［-1,1］上單調(diào)遞減；

g(x)Kg(-l)=-^7，所以a之名.

e+le+1

20.(l)a=2

⑵(Tl)