2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國(guó)際移民組織競(jìng)賽素養(yǎng)試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）數(shù)與代數(shù)：若正整數(shù)(a)、(b)滿足(a+b=2025)，且(a)、(b)的最大公約數(shù)為15，則(a)、(b)的最小公倍數(shù)是（）A.15×135B.15×134C.15×133D.15×132幾何圖形：在半徑為5的圓中，弦(AB)與弦(CD)交于點(diǎn)(O)，若(AO=2)，(BO=8)，(CO=4)，則(DO)的長(zhǎng)度為（）A.3B.4C.5D.6函數(shù)應(yīng)用：某移民安置點(diǎn)計(jì)劃修建一個(gè)矩形蓄水池，周長(zhǎng)固定為60米，設(shè)矩形的長(zhǎng)為(x)米，面積為(y)平方米，則(y)與(x)的函數(shù)關(guān)系及最大值分別為（）A.(y=-x^2+30x)，最大值225B.(y=x^2-30x)，最大值200C.(y=-x^2+60x)，最大值450D.(y=x^2-60x)，最大值300概率統(tǒng)計(jì)：從10名移民子女（6男4女）中隨機(jī)抽取3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，則至少有1名女生的概率為（）A.(\frac{5}{6})B.(\frac{11}{12})C.(\frac{23}{30})D.(\frac{4}{5})邏輯推理：已知(a)、(b)、(c)為實(shí)數(shù)，命題“若(a>b)，則(ac^2>bc^2)”的逆否命題是（）A.若(ac^2>bc^2)，則(a>b)B.若(ac^2\leqbc^2)，則(a\leqb)C.若(a\leqb)，則(ac^2\leqbc^2)D.若(ac^2<bc^2)，則(a<b)圖形變換：將△(ABC)繞點(diǎn)(A)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△(AB'C')，若(AB=3)，(AC=4)，∠(BAC=90°)，則(CC')的長(zhǎng)度為（）A.5B.(5\sqrt{2})C.(4\sqrt{2})D.(3\sqrt{2})方程與不等式：關(guān)于(x)的一元二次方程(x^2-(m+2)x+m=0)有兩個(gè)正根，則(m)的取值范圍是（）A.(m>0)B.(m\geq0)C.(m>2)D.(m\geq2)數(shù)據(jù)分析：某移民學(xué)校七年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的頻數(shù)分布表如下（滿分100分）：|分?jǐn)?shù)段|40-59|60-79|80-99|100||--------|-------|-------|-------|-----||頻數(shù)|5|20|30|5|則該年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)落在（）A.40-59B.60-79C.80-99D.100立體幾何：一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體，在頂點(diǎn)處挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體，則剩余幾何體的表面積為（）A.96B.98C.100D.102實(shí)際應(yīng)用：某國(guó)際移民組織向?yàn)?zāi)區(qū)運(yùn)送救援物資，原計(jì)劃每小時(shí)行駛60公里，12小時(shí)到達(dá)，實(shí)際提前2小時(shí)到達(dá)，則實(shí)際速度為（）A.72公里/小時(shí)B.75公里/小時(shí)C.80公里/小時(shí)D.85公里/小時(shí)二、填空題（共5題，每題6分，共30分）因式分解：分解因式(x^3-4x^2+4x=)__________。三角函數(shù)：在Rt△(ABC)中，∠(C=90°)，(\tanA=\frac{3}{4})，(AB=10)，則(BC=)__________。數(shù)列規(guī)律：觀察數(shù)列：(2)，(5)，(10)，(17)，(26)，…，則第(n)項(xiàng)的表達(dá)式為__________。圓與三角形：△(ABC)的外接圓半徑為5，∠(A=60°)，則(BC)的長(zhǎng)度為__________。綜合創(chuàng)新：若(a)、(b)為正整數(shù)，且(a+b+ab=2025)，則(a+b=)__________。三、解答題（共5題，共70分）代數(shù)計(jì)算（12分）已知(x+\frac{1}{x}=3)，求(x^3+\frac{1}{x^3})的值。解答步驟：由(x+\frac{1}{x}=3)，平方得(x^2+2+\frac{1}{x^2}=9)，即(x^2+\frac{1}{x^2}=7)；利用立方和公式：(x^3+\frac{1}{x^3}=(x+\frac{1}{x})(x^2-1+\frac{1}{x^2})=3×(7-1)=18)。幾何證明（14分）如圖，在平行四邊形(ABCD)中，(E)為(AD)中點(diǎn)，連接(BE)并延長(zhǎng)交(CD)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)(F)，求證：(CD=DF)。證明過(guò)程：∵四邊形(ABCD)為平行四邊形，∴(AB\parallelCD)，(AB=CD)，∠(ABE=∠DFE)；∵(E)為(AD)中點(diǎn)，∴(AE=DE)；在△(ABE)和△(DFE)中，∠(ABE=∠DFE)，∠(AEB=∠DEF)，(AE=DE)，∴△(ABE≌△DFE)（AAS）；∴(AB=DF)，又∵(AB=CD)，∴(CD=DF)。函數(shù)與不等式（14分）某移民社區(qū)計(jì)劃購(gòu)買(A)、(B)兩種樹苗共100棵綠化環(huán)境，(A)樹苗每棵30元，(B)樹苗每棵50元，且(A)樹苗數(shù)量不少于(B)樹苗的2倍。（1）設(shè)購(gòu)買(A)樹苗(x)棵，總費(fèi)用為(y)元，求(y)與(x)的函數(shù)關(guān)系及(x)的取值范圍；（2）如何購(gòu)買才能使總費(fèi)用最低？最低費(fèi)用是多少？解答：（1）(y=30x+50(100-x)=-20x+5000)，由(x\geq2(100-x))得(x\geq\frac{200}{3}\approx66.7)，又(x)為整數(shù)，∴(x)的取值范圍為(67\leqx\leq100)；（2）∵(y=-20x+5000)中(k=-20<0)，∴(y)隨(x)增大而減小，當(dāng)(x=100)時(shí)，(y)最小，此時(shí)(y=-20×100+5000=3000)元，即購(gòu)買100棵(A)樹苗，總費(fèi)用最低為3000元。幾何綜合（16分）如圖，在Rt△(ABC)中，∠(C=90°)，(AC=6)，(BC=8)，點(diǎn)(P)從點(diǎn)(A)出發(fā)沿(AC)向點(diǎn)(C)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)(Q)從點(diǎn)(C)出發(fā)沿(CB)向點(diǎn)(B)勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(t)秒（(0<t<4)）。（1）用含(t)的代數(shù)式表示線段(PC)和(CQ)的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)(t)為何值時(shí)，△(PCQ)與△(ACB)相似？解答：（1）(PC=AC-AP=6-t)，(CQ=2t)；（2）分兩種情況：若△(PCQ)∽△(ACB)，則(\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{CB})，即(\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{8})，解得(t=\frac{12}{5}=2.4)；若△(PCQ)∽△(BCA)，則(\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{AC})，即(\frac{6-t}{8}=\frac{2t}{6})，解得(t=\frac{18}{11}\approx1.64)；綜上，(t=2.4)或(t=\frac{18}{11})時(shí)，兩三角形相似。數(shù)學(xué)建模（16分）某國(guó)際移民組織計(jì)劃在安置點(diǎn)建立一個(gè)“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”，需購(gòu)買甲、乙兩種教具。已知購(gòu)買2件甲種教具和3件乙種教具共需120元；購(gòu)買3件甲種教具和5件乙種教具共需190元。（1）求甲、乙兩種教具的單價(jià)；（2）若實(shí)驗(yàn)室需購(gòu)買兩種教具共100件，且總費(fèi)用不超過(guò)2800元，求最多可購(gòu)買乙種教具的數(shù)量。解答：（1）設(shè)甲種教具單價(jià)為(x)元，乙種為(y)元，列方程組：[\begin{cases}2x+3y=120\3x+5y=190\end{cases}]解得(x=30)，(y=20)，即甲30元/件，乙20元/件；（2）設(shè)購(gòu)買乙種教具(m)件，則甲種((100-m))件，總費(fèi)用(y=30(100-m)+20m=-10m+3000)，由(-10m+3000\leq2800)得(m\geq20)，又(m)為非負(fù)整數(shù)，∴最多可購(gòu)買乙種教具80件（當(dāng)(m=80)時(shí)，(y=-10×80+3000=2200\leq2800)）。四、附加題（共2題，每題10分，共20分）數(shù)論探究：證明：對(duì)于任意正整數(shù)(n)，(n^3-n)能被6整除。幾何創(chuàng)新：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(A(0,3))，(B(4,0))，點(diǎn)(P)為線段(AB)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)(P)作(PD\perpx)軸于點(diǎn)(D)