2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)幾何直觀培養(yǎng)試卷一、選擇題（共10題，每題4分，共40分）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以點(diǎn)C為圓心作圓，使點(diǎn)A、B中有且只有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，則圓的半徑r的取值范圍是（）A.3<r≤4B.4<r≤5C.3≤r<4D.4≤r<5如圖2，在平行四邊形ABCD中，E是AD中點(diǎn)，連接BE并延長交CD延長線于點(diǎn)F，若△DEF的面積為1，則平行四邊形ABCD的面積為（）A.4B.6C.8D.12如圖3，將矩形ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，若AB=4，BC=8，則折痕EF的長度為（）A.2√5B.3√5C.4√5D.5√5如圖4，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D在AB上，將△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCE，若AD=2，BD=3，則DE的長為（）A.√5B.2√5C.3√5D.5√2如圖5，在半徑為5的⊙O中，弦AB=6，CD=8，且AB∥CD，則AB與CD之間的距離為（）A.1B.7C.1或7D.無法確定如圖6，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則線段EF長度的最小值是（）A.2.4B.2.5C.3D.4如圖7，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且AE=2，連接DE，則DE的長為（）A.√5B.√10C.√13D.4如圖8，在正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，且CF=1，連接AE、AF、EF，則△AEF的面積為（）A.5B.6C.7D.8如圖9，在△ABC中，∠B=60°，AB=4，BC=6，點(diǎn)D在AC上，且AD=2DC，則BD的長為（）A.2√3B.4C.2√7D.5如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2，0），B（0，3），C（3，0），點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AD，則AD長度的最小值是（）A.√13B.3C.2√2D.√5二、填空題（共6題，每題4分，共24分）如圖11，在△ABC中，DE是中位線，若△ADE的面積為3，則△ABC的面積為______。如圖12，在⊙O中，弦AB所對的圓心角∠AOB=120°，若⊙O的半徑為2，則弦AB的長為______。如圖13，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，點(diǎn)P是菱形內(nèi)一點(diǎn)，且PA=PB，則PC的最小值為______。如圖14，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，且BE=CF，當(dāng)△AEF的面積最小時(shí)，BE的長度為______。如圖15，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)P到三邊的距離相等，則這個(gè)距離為______。如圖16，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，3），B（4，0），點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，PE⊥y軸于E，則矩形PDOE面積的最大值為______。三、解答題（共6題，共86分）（12分）如圖17，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AC于F。（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若∠BAC=45°，AB=4，求DF的長。（14分）如圖18，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B'處，連接B'D、B'C。（1）求證：∠B'CB=∠B'DA；（2）若AB=4，BE=1，求B'D的長。（14分）如圖19，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N。（1）設(shè)PM=x，四邊形PMCN的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形PMCN的面積最大？最大面積是多少？（16分）如圖20，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），點(diǎn)C在y軸正半軸上，且OC=2√3。（1）求△ABC的外接圓的圓心坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P是△ABC外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線AC距離的最大值。（16分）如圖21，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=60°，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上一點(diǎn)，且AE=AF，連接EF并延長交CD的延長線于點(diǎn)G，連接BD交EF于點(diǎn)H。（1）求證：△AEF∽△CGF；（2）若AE=1，求DH的長；（3）當(dāng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與A、B重合），△DGH的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出其面積；若變化，說明理由。（20分）如圖22，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于D，交直線BC于點(diǎn)E，當(dāng)PE=2DE時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，連接PB，將△PBD沿直線PB翻折，得到△PB'D，判斷點(diǎn)B'是否在拋物線上，并說明理由。四、拓展探究題（共1題，共20分）如圖23，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點(diǎn)D是AB中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（不與端點(diǎn)重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF。（1）求證：△DEF是等腰直角三角形；（2）設(shè)AE=x，△DEF的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的取值范圍；（3）在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形CEDF的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出其面積；若變化，說明理由；（4）當(dāng)△CEF與△ABC相似時(shí)，求AE的長。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題A2.C3.A4.B5.C6.A7.B8.C9.C10.D二、填空題1212.2√313.√3-114.315.216.2.25三、解答題（1）證明：連接OD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切線；（6分）（2）解：連接AD，∵AB是直徑，∴AD⊥BC，∵AB=AC=4，∠BAC=45°，∴BD=CD=AD=2√2，∵DF⊥AC，∴DF=AD·sin45°=2√2×√2/2=2（6分）（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠ADC=90°，∵△ABE沿AE折疊得到△AB'E，∴AB=AB'，BE=B'E，∠ABE=∠AB'E=90°，∴AB'=AD，∠AB'D=∠ADB'，∵∠AB'C=∠AB'D+∠DB'C=90°，∠ADB'=∠ADC-∠B'DC=90°-∠B'DC，∴∠DB'C=∠B'DC，∴B'C=B'D，∵BC=CD，B'C=B'D，∠B'CB=∠B'DC，∠B'DA=∠B'DC，∴∠B'CB=∠B'DA；（8分）（2）解：過點(diǎn)B'作B'G⊥AD于G，B'H⊥CD于H，設(shè)AG=x，DG=4-x，B'G=y，∵AB'=AB=4，∴x2+y2=16，∵B'E=BE=1，EC=3，∴(4-y)2+(4-x)2=9，解得x=2.4，y=3.2，∴B'D=√[(4-x)2+y2]=√[(1.6)2+(3.2)2]=√(2.56+10.24)=√12.8=(8√5)/5（6分）（1）解：∵PM⊥AC，PN⊥BC，∠C=90°，∴四邊形PMCN是矩形，∵AC=6，BC=8，∴AB=10，∵PM=x，∴AM=(3/5)x，MC=6-(3/5)x，∵△AMP∽△ACB，∴PM/BC=AM/AC，∴PN=MC=6-(3/5)x，∴S=PM·PN=x(6-(3/5)x)=-(3/5)x2+6x（8分）（2）解：S=-(3/5)x2+6x=-(3/5)(x-5)2+15，∵0<x<8，∴當(dāng)x=5時(shí)，S有最大值15，此時(shí)AM=3，MC=3，∴點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)（6分）（1）解：設(shè)外接圓的圓心為M（h，k），∵A（-2，0），B（4，0），C（0，2√3），∴MA=MB=MC，∴(h+2)2+k2=(h-4)2+k2=(h)2+(k-2√3)2，解得h=1，k=0，∴圓心坐標(biāo)為（1，0）（8分）（2）解：直線AC的解析式為y=√3x+2√3，圓心M（1，0）到直線AC的距離d=|√3×1-0+2√3|/√((√3)2+(-1)2)=|3√3|/2=(3√3)/2，∵圓的半徑r=MA=3，∴點(diǎn)P到直線AC距離的最大值為d+r=(3√3)/2+3（8分）（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠AEF=∠CGF，∠AFE=∠CFG，∴△AEF∽△CGF；（4分）（2）解：∵AE=AF=1，AB=AD=4，∴BE=3，DF=3，∵AB∥CD，∴△AEH∽△DGH，∴AH/DH=AE/DG，∵AE=1，DG=CD+CG=4+CG，由△AEF∽△CGF得AE/CG=AF/CF=1/3，∴CG=3，DG=7，∴AH/DH=1/7，∵BD=4√3，∴DH=(7/8)BD=(7/8)×4√3=(7√3)/2（6分）（3）解：不變，S=3√3。設(shè)AE=AF=x，則BE=DF=4-x，由△AEF∽△CGF得AE/CG=AF/CF=x/(4-x)，∴CG=(4-x)2/x，DG=4+(4-x)2/x=(x2-8x+16+4x)/x=(x2-4x+16)/x，∵△AEH∽△DGH，∴AH/DH=AE/DG=x/[(x2-4x+16)/x]=x2/(x2-4x+16)，∴DH=BD×(x2-4x+16)/(x2+x2-4x+16)=4√3×(x2-4x+16)/(2x2-4x+16)=2√3×(x2-4x+16)/(x2-2x+8)，過點(diǎn)H作HM⊥CD于M，HM=DH×sin30°=√3×(x2-4x+16)/(x2-2x+8)，∴S△DGH=(1/2)×DG×HM=(1/2)×(x2-4x+16)/x×√3×(x2-4x+16)/(x2-2x+8)=(√3/2)×(x2-4x+16)2/[x(x2-2x+8)]，化簡得S=3√3（6分）（1）解：設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x-3)，將C（0，3）代入得3=a(0+1)(0-3)=-3a，∴a=-1，∴y=-x2+2x+3（4分）（2）解：直線BC的解析式為y=-x+3，設(shè)P（m，-m2+2m+3），E（m，-m+3），D（m，0），當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，PE=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m，DE=-m+3，由PE=2DE得-m2+3m=2(-m+3)，解得m=2或m=3（舍），∴P（2，3）；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，PE=-m+3-(-m2+2m+3)=m2-3m，DE=m-3，由PE=2DE得m2-3m=2(m-3)，解得m=2（舍）或m=3（舍），∴P（2，3）（8分）（3）解：點(diǎn)B'不在拋物線上。過點(diǎn)B'作B'N⊥x軸于N，∵P（2，3），B（3，0），∴PB=√[(3-2)2+(0-3)2]=√10，tan∠PBD=3/1=3，∴∠PBD=71.57°，∴∠PB'N=180°-2×71.57°=36.86°，B'N=PB'×sin∠PB'N=√10×0.6=(3√10)/5，PN=PB'×cos∠PB'N=√10×0.8=(4√10)/5，ON=2+PN=2+(4√10)/5≈2+2.53=4.53，∴B'（4.53，1.89），代入拋物線y=-x2+2x+3得y≈-20.52+9.06+3=-8.46≠1.89，∴點(diǎn)B'不在拋物線上（8分）（1）證明：連接CD，∵AC=BC，∠ACB=90°，D是AB中點(diǎn)，∴CD=AD=BD，∠ACD=∠BCD=45°，∠A=∠B=45°，∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，∵∠ADC=90°，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠EDC+∠ADE=∠ADC=90°，∴△DEF是等腰直角三角形；（5分）（2）解：AE=x，CE=4-x，CF=x，BF=4-x，S△ADE=(1/2)AE·AD·sin45°=(1/2)x·2√2·√2/2=x，同理S△CDF=x，S△BEF=(1/2)(4-x)2，S△ABC=8，∴S△DEF=8-2x-(1/2)(4-x)2=-(1/2)x2+2x，∵0<x<4，∴當(dāng)x=2時(shí)，Smax=2；當(dāng)x=0或4時(shí)，Smin=0，∴0<S≤2（5分）（3）解：不變，S=4。S四邊形CEDF=S△CDE+S△CDF=S△CDE+S△ADE=S△ACD=(1/2)S△ABC=4（5分）（4）解：當(dāng)△CEF∽△CAB時(shí)，CE/CF=CA/CB=1，∴4