2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽沖突解決試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x?=2，x?=-3，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(2,0)和(3,0)B.(2,0)和(-3,0)C.(-2,0)和(3,0)D.(-2,0)和(-3,0)在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)度為（）A.2.5B.3C.4D.5下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.矩形D.正五邊形已知反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1)，則k的值為（）A.2B.-2C.1/2D.-1/2若a+b=5，ab=3，則a2+b2的值為（）A.19B.25C.28D.31一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出2個(gè)球，恰好摸到1個(gè)紅球和1個(gè)白球的概率是（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/5已知點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,4)，則線段AB的垂直平分線方程為（）A.x+y-5=0B.x-y+1=0C.x+y+5=0D.x-y-1=0若圓錐的底面半徑為3，母線長(zhǎng)為5，則圓錐的側(cè)面積為（）A.15πB.20πC.25πD.30π不等式組{2x+1>3,x-2≤1}的解集是（）A.x>1B.x≤3C.1<x≤3D.x≥3已知數(shù)據(jù)1，2，3，4，5的方差為2，則數(shù)據(jù)1+2，2+2，3+2，4+2，5+2的方差為（）A.2B.4C.6D.8二、填空題（共6題，每題5分，共30分）11.分解因式：x3-4x=。12.計(jì)算：√8-√2=。13.若點(diǎn)P(m,2)在一次函數(shù)y=2x-4的圖像上，則m=。14.正六邊形的內(nèi)角和為_(kāi)_________度。15.在Rt△ABC中，∠A=30°，斜邊AB=4，則BC=。16.若關(guān)于x的不等式3x-m≤0的正整數(shù)解是1，2，3，則m的取值范圍是__________。三、解答題（共5題，共70分）17.（12分）計(jì)算：(1/3)?1+|√3-2|-2sin60°+(π-3.14)?。（14分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，連接DE、BF。（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）若AD=2，AB=4，∠A=60°，求DE的長(zhǎng)。（14分）某商店銷(xiāo)售一種進(jìn)價(jià)為每件20元的商品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷(xiāo)售量y（件）與銷(xiāo)售單價(jià)x（元）滿足關(guān)系y=-10x+500（20≤x≤50）。（1）設(shè)每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元，求w與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（15分）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD⊥CD于點(diǎn)D，AC平分∠DAB。（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AD=3，AC=2√3，求⊙O的半徑。（16分）已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2-1（m為常數(shù)）。（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）若該函數(shù)的圖像與y軸交于點(diǎn)(0,3)，求m的值；（3）在（2）的條件下，求出該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸。四、綜合題（共2題，共60分）22.（28分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，連接PA、PB，設(shè)△PAB的面積為S，求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC為等腰三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。（32分）已知△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，連接BD、CE。（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上時(shí)，求證：BD=CE；（2）如圖2，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D、E分別在BC、AB的延長(zhǎng)線上，連接BE，若AB=2，AD=1，求BE的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)F為BD中點(diǎn)，連接AF，判斷AF與CE的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題B2.A3.C4.B5.A6.C7.A8.A9.C10.A二、填空題11.x(x+2)(x-2)12.√213.314.72015.216.9≤m<12三、解答題17.解：原式=3+(2-√3)-2×(√3/2)+1=3+2-√3-√3+1=6-2√3（12分）（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C?！逧、F分別是AB、CD中點(diǎn)，∴AE=CF=AB/2=CD/2。在△ADE和△CBF中，{AD=BC，∠A=∠C，AE=CF}，∴△ADE≌△CBF（SAS）。（6分）（2）解：過(guò)D作DG⊥AB于G，∵∠A=60°，AD=2，∴AG=AD·cos60°=1，DG=AD·sin60°=√3?！逧是AB中點(diǎn)，AB=4，∴AE=2，∴EG=AE-AG=1。在Rt△DEG中，DE=√(DG2+EG2)=√(3+1)=2。（14分）解：（1）w=(x-20)y=(x-20)(-10x+500)=-10x2+700x-10000。（6分）（2）w=-10(x-35)2+2250，∵a=-10<0，∴當(dāng)x=35時(shí)，w最大=2250。答：銷(xiāo)售單價(jià)定為35元時(shí)，最大利潤(rùn)為2250元。（14分）（1）證明：連接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA?！逜C平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD?！逜D⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O切線。（8分）（2）解：∵AD=3，AC=2√3，∠ADC=90°，∴CD=√(AC2-AD2)=√(12-9)=√3。設(shè)⊙O半徑為r，∵OC∥AD，∴△OCD∽△ACD，∴OC/AC=CD/AD，即r/(2√3)=√3/3，解得r=2。（14分）（1）證明：Δ=(-2m)2-4×1×(m2-1)=4>0，∴函數(shù)圖像與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)。（4分）（2）解：將(0,3)代入y=x2-2mx+m2-1，得m2-1=3，解得m=±2。（8分）（3）當(dāng)m=2時(shí)，y=(x-2)2-1，頂點(diǎn)(2,-1)，對(duì)稱(chēng)軸x=2；當(dāng)m=-2時(shí)，y=(x+2)2-1，頂點(diǎn)(-2,-1)，對(duì)稱(chēng)軸x=-2。（16分）（1）設(shè)y=a(x+1)(x-3)，將C(0,-3)代入得a=1，∴y=x2-2x-3。（6分）（2）設(shè)P(x,x2-2x-3)，S=1/2×AB×|yP|=2|x2-2x-3|，∵P在第四象限，∴S=-2(x2-2x-3)=-2(x-1)2+8，當(dāng)x=1時(shí)，S最大=8，此時(shí)P(1,-4)。（14分）（3）存在，Q(1,√10)、(1,-√10)、(1,0)、(1,-1)。（28分）（1）證明：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE。（8分）（2）解：過(guò)E作EH⊥AB于H，∵△ADE為等腰直角三角形，AD=1，∴AE=1，∠EAH=45°，∴EH=AH=√2/2，BH=AB+AH=2+√2/2，∴BE=√(BH2+EH2)=√(5+2√2)。（18分）（3）AF⊥CE且AF=1/2CE，理由：延長(zhǎng)AF至G使FG=AF，連接BG，可證△AFD≌△GFB，∴BG=AD=AE，∠GBF=∠ADF，進(jìn)而證△ABG≌△CAE，∴AG=CE，∠BAG=∠ACE，∴AF=1/2AG=1/2CE，且∠BAG+∠AEC=90°，∴AF⊥CE。（32分）命題說(shuō)明試卷立足初中數(shù)學(xué)核心知識(shí)，覆蓋代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)與概率三大領(lǐng)域，重點(diǎn)考查函數(shù)、幾何證明、動(dòng)態(tài)問(wèn)題等競(jìng)賽熱點(diǎn)。題目設(shè)計(jì)梯度分明，基礎(chǔ)題占60%，中檔題占30%，壓軸題占10%，兼顧對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力、邏輯推理能力和創(chuàng)新思維的考查。解答題注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，如分類(lèi)討論（22題）、轉(zhuǎn)化與化歸（23題），引導(dǎo)學(xué)生建立代數(shù)與幾何的聯(lián)