2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽復(fù)選試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）已知正整數(shù)(a)、(b)滿足(a^2-b^2=2025)，則(a+b)的最小值為（）A.45B.51C.81D.105若關(guān)于(x)的方程(\frac{2x+m}{x-1}=3)的解為正數(shù)，且關(guān)于(y)的不等式組(\begin{cases}y-m\leq0\2y+7\geq4y-1\end{cases})有解，則(m)的取值范圍是（）A.(m>-3)且(m\neq-2)B.(-3<m\leq4)且(m\neq-2)C.(m\leq4)且(m\neq-2)D.(-3<m<4)且(m\neq-2)如圖，在矩形(ABCD)中，(AB=6)，(AD=8)，點(diǎn)(E)、(F)分別在邊(BC)、(CD)上，且(BE=2EC)，(DF=FC)，連接(AE)、(AF)交于點(diǎn)(G)，則(AG)的長為（）A.(\frac{20}{3})B.(\frac{25}{4})C.(\frac{30}{7})D.(\frac{40}{9})已知實(shí)數(shù)(a)、(b)、(c)滿足(a+b+c=5)，(ab+bc+ca=5)，則(a^3+b^3+c^3-3abc)的值為（）A.25B.50C.75D.100若(n)為正整數(shù)，且(n^2+2n-15)能被(n+k)整除（(k)為整數(shù)），則所有滿足條件的(k)的和為（）A.-10B.-8C.-6D.-4在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(A(1,0))，(B(0,1))，(C(-1,0))，(D(0,-1))，動點(diǎn)(P)滿足(PA+PC=4)，則(PB+PD)的最大值為（）A.(2\sqrt{5})B.(3\sqrt{2})C.(4\sqrt{2})D.(5\sqrt{2})如圖，(\triangleABC)中，(\angleBAC=90^\circ)，(AB=AC)，點(diǎn)(D)為(BC)中點(diǎn)，點(diǎn)(E)在(AC)上，且(AE=2EC)，連接(BE)交(AD)于點(diǎn)(F)，則(\tan\angleAFB)的值為（）A.(\frac{3}{2})B.2C.(\frac{5}{2})D.3若關(guān)于(x)的二次函數(shù)(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)）的圖像與(x)軸交于點(diǎn)(A(x_1,0))、(B(x_2,0))，與(y)軸交于點(diǎn)(C(0,3))，且(x_1^2+x_2^2=10)，則該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)不可能是（）A.((1,4))B.((-1,4))C.((3,-6))D.((-3,-6))現(xiàn)有編號為1至9的9張卡片，從中隨機(jī)抽取3張，記抽取的卡片編號分別為(a)、(b)、(c)（(a<b<c)），則(a)、(b)、(c)能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）A.(\frac{1}{12})B.(\frac{1}{14})C.(\frac{1}{16})D.(\frac{1}{18})定義：對于任意實(shí)數(shù)(x)，符號([x])表示不超過(x)的最大整數(shù)，例如([3.14]=3)，([-2.5]=-3)。若關(guān)于(x)的方程([x]^2-2[x]-3=0)的解集為(M)，則(M)中所有元素的和為（）A.6B.8C.10D.12二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）分解因式：(x^4-10x^2+9=)________。已知(\sqrt{a}+\sqrt=3)，(\sqrt{a}-\sqrt=1)，則(a^2+b^2=)________。如圖，(\odotO)是(\triangleABC)的外接圓，(AB=AC)，(\angleBAC=120^\circ)，(BC=6)，則(\odotO)的半徑為________。若正整數(shù)(m)、(n)滿足(\frac{m}{n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2025})，則(m+n)的最小值為________。在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(P(x,y))滿足(x^2+y^2=25)，則(x+2y)的最大值為________。已知(a)、(b)為正整數(shù)，且(a^2+b^2=2025)，則(a+b)的不同取值共有________個(gè)。三、解答題（本大題共4小題，共70分）（本題滿分15分）已知關(guān)于(x)的一元二次方程(x^2-(2k+1)x+k^2+k=0)（(k)為常數(shù)）。（1）求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)根分別為(x_1)、(x_2)（(x_1<x_2)），且(x_2-x_1=2)，求(k)的值。（本題滿分15分）如圖，在(\triangleABC)中，(AB=AC)，以(AB)為直徑的(\odotO)交(BC)于點(diǎn)(D)，交(AC)于點(diǎn)(E)，過點(diǎn)(D)作(DF\perpAC)于點(diǎn)(F)。（1）求證：(DF)是(\odotO)的切線；（2）若(AB=10)，(\cos\angleC=\frac{3}{5})，求(EF)的長。（本題滿分20分）某商店銷售一種進(jìn)價(jià)為每件30元的商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量(y)（件）與銷售單價(jià)(x)（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系：(y=-2x+160)（(30\leqx\leq60)）。（1）設(shè)每天的銷售利潤為(w)元，求(w)與(x)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出銷售單價(jià)(x)為多少時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？（2）為響應(yīng)“鄉(xiāng)村振興”號召，商店決定每銷售一件商品，就捐贈(a)元（(a>0)）給鄉(xiāng)村教育事業(yè)。若扣除捐贈后每天的利潤不低于600元，求(a)的取值范圍。（本題滿分20分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(y=ax^2+bx+c)（(a\neq0)）經(jīng)過點(diǎn)(A(-1,0))、(B(3,0))、(C(0,3))。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)(P)是拋物線上一動點(diǎn)，且在直線(BC)下方，連接(PB)、(PC)，求(\trianglePBC)面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)(P)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)(Q)是拋物線上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)(Q)使得(\angleQBC=45^\circ)？若存在，求出點(diǎn)(Q)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題C2.B3.D4.B5.A6.A7.D8.C9.B10.B二、填空題((x^2-1)(x^2-9)=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3))58(2\sqrt{3})（提示：利用裂項(xiàng)相消法化簡求和，結(jié)果為(\frac{2024}{2025})，故(m=2024)，(n=2025)，(m+n=4049)）(5\sqrt{5})（提示：利用參數(shù)方程或柯西不等式求解）4（提示：(a)、(b)可取((9,36))、((12,33))、((15,30))、((18,27))、((27,18))、((30,15))、((33,12))、((36,9))，但(a)、(b)為正整數(shù)且(a\leqb)時(shí)，不同取值為4組）三、解答題（部分提示）（1）判別式(\Delta=(2k+1)^2-4(k^2+k)=1>0)，故方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）由根與系數(shù)關(guān)系得(x_1+x_2=2k+1)，(x_1x_2=k^2+k)，結(jié)合(x_2-x_1=2)，解得(k=\frac{3}{2})或(k=-\frac{5}{2})。（2）連接(AD)、(BE)，由(AB=10)得(AC=10)，(CD=BC\cdot\cos\angleC=6)，(AD=8)，(DF=\frac{24}{5})，(CF=\frac{18}{5})，(EF=AC-AE-CF=10-6-\frac{18}{5}=\frac{2}{5})。（1）(w=(x-30)(-2x+160)=-2x^2+220x-4800)，對稱軸(x=55)，當(dāng)(x=55)時(shí)，(w_{\text{max}}=1250)元；（2）扣除捐贈后的利潤(w'=(x-30-a)(-2x+160)\geq600)，結(jié)合(x=55)時(shí)(w'=(25-a)\times50\geq600)，解得(a\leq13)，又(a>0)，故(0<a\leq13)。（1）拋物線解析式為(y=-x^2+2x+3)；（2）設(shè)(P(t,-t^2+2t+3))，直線(BC)的解析式為(y=-x+3)，則(\trianglePBC)的面積(S=\frac{1}{2}\times3\