2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽勾股數(shù)問題試卷一、選擇題（每題3分，共10題）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A.1，2，3B.5，12，13C.7，8，9D.0.3，0.4，0.5若直角三角形兩直角邊的長分別為9和12，則斜邊的長為（）A.13B.15C.17D.21下列命題中，正確的是（）A.勾股數(shù)中一定有一個偶數(shù)B.一組勾股數(shù)的倍數(shù)仍為勾股數(shù)C.若a、b、c是勾股數(shù)，則a2、b2、c2也是勾股數(shù)D.最小的勾股數(shù)是1，2，3以線段a=10，b=8，c=6為邊的三角形是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無法確定若一組勾股數(shù)中的最大數(shù)為25，則另外兩個數(shù)可能是（）A.7，24B.9，16C.10，20D.15，20清代數(shù)學(xué)家羅士琳提出的“羅士琳法則”可生成勾股數(shù)：若m、n為正整數(shù)（m>n），則勾股數(shù)為m2-n2、2mn、m2+n2。根據(jù)此法則，當(dāng)m=5，n=2時，生成的勾股數(shù)是（）A.21，20，29B.15，20，25C.12，16，20D.9，12，15若直角三角形的斜邊與一條直角邊的差為2，另一條直角邊的長為6，則斜邊的長為（）A.8B.10C.12D.14下列四組數(shù)中，不能構(gòu)成直角三角形的是（）A.8，15，17B.9，40，41C.11，60，61D.12，35，37若正整數(shù)a、b、c滿足a2+b2=c2，且a=13，則b+c的值為（）A.85B.170C.97D.194《九章算術(shù)》中記載了勾股數(shù)的計算方法：“勾股各自乘，并而開方除之，即弦?！比粢粋€直角三角形的“勾”為6，“股”為8，則“弦”與“勾”的差為（）A.2B.4C.6D.8二、填空題（每題4分，共8題）若一組勾股數(shù)中最小的數(shù)是5，則另外兩個數(shù)為__________。若直角三角形的三邊長為連續(xù)偶數(shù)，則這三個數(shù)的和為__________。已知△ABC的三邊長分別為a=7，b=24，c=25，則△ABC的面積為__________。若m是大于1的奇數(shù)，則m、(\frac{m^2-1}{2})、(\frac{m^2+1}{2})構(gòu)成一組勾股數(shù)。當(dāng)m=9時，這組勾股數(shù)為__________。如圖，正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均為格點(diǎn)，則∠ABC的度數(shù)為__________。[\begin{tikzpicture}[scale=0.5]\draw[gray!30](0,0)grid(5,5);\fill(1,1)circle(0.2)node[below]{A};\fill(3,1)circle(0.2)node[below]{B};\fill(3,4)circle(0.2)node[above]{C};\draw(1,1)--(3,1)--(3,4)--cycle;\end{tikzpicture}]若x、y、z為勾股數(shù)，且x<y<z，x+y+z=60，則x=，y=，z=__________。已知直角三角形的面積為24，斜邊長為10，則此三角形的周長為__________。古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖發(fā)現(xiàn)的勾股數(shù)公式為：(a=m^2-n^2)，(b=2mn)，(c=m^2+n^2)（m、n為正整數(shù)，m>n）。若a=20，則m+n的值為__________。三、解答題（共5題，共58分）（10分）判斷下列各組數(shù)是否為勾股數(shù)，并說明理由：（1）15，20，25（2）1.5，2，2.5（3）11，60，61（12分）已知直角三角形的兩直角邊分別為a、b，斜邊為c，且a+b=14，c=10，求此直角三角形的面積。（12分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點(diǎn)D在AB上，且AD=AC，求BD的長。[\begin{tikzpicture}[scale=0.6]\draw(0,0)node[left]{C}--(8,0)node[right]{B}--(0,6)node[above]{A}--cycle;\draw(0,6)--(x,0)node[below]{D};%D點(diǎn)位置需計算\end{tikzpicture}]（12分）我國古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：“勾廣三，股修四，徑隅五?！奔垂垂蓴?shù)3，4，5。（1）觀察下列勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，寫出第n組勾股數(shù)的表達(dá)式（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）。（2）證明你所寫出的表達(dá)式滿足勾股定理。（12分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。[\begin{tikzpicture}[scale=0.6]\draw(0,0)node[left]{A}--(3,0)node[below]{B}--(3,4)node[right]{C}--(x,y)node[above]{D}--cycle;\end{tikzpicture}]四、拓展題（共2題，共20分）（10分）已知a、b、c是一組勾股數(shù)，且a=2mn，b=m2-n2，c=m2+n2（m>n>0，m、n為正整數(shù)）。若m+n=7，求a、b、c的值。（10分）如圖，將兩個全等的直角三角形（直角邊分別為a、b，斜邊為c）拼成一個直角梯形，利用此圖形證明勾股定理a2+b2=c2。[\begin{tikzpicture}[scale=0.5]\draw(0,0)--(a+b,0)--(b,a)--(0,a)--cycle;\draw(b,0)--(b,a);\end{tikzpicture}]參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分示例）一、選擇題B2.B3.A4.B5.A6.A7.B8.D9.B10.B二、填空題12，1312.2413.8414.9，40，4115.45°16.10，24，2617.2418.7三、解答題（1）是勾股數(shù)，因為152+202=225+400=625=252；（2）不是勾股數(shù)，因為0.5不是正整數(shù)；（3）是勾股數(shù)，因為112+602=121+3600=3721=612。由a+b=14，得(a+b)2=196，即a2+2ab+b2=196。又因為a2+b2=c2=100，所以2ab=96，ab=48。面積為(\frac{1}{2}ab=24)。在Rt△ABC中，AB=(\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10)。設(shè)BD=x，則AD=AB-BD=10-x。由AD=AC=6，得10-x=6，解得x=4，即BD=4。（1）第n組勾股數(shù)為2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1；（2）證明：(2n+1)2+(2n2+2n)2=4n2+4n+1+4n?+8n3+4n2=4n?+8n3+8n2+4n+1=(2n2+2n+1)2。連接AC，在Rt△ABC中，AC=(\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5)。在△ACD中，AC=5，CD=12，AD=13，因為52+122=132，所以△ACD為直角三角形。四邊形ABCD面積=S△ABC+S△ACD=(\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12=6+30=36)。由m+n=7，m>n>0，得m=6，n=1或m=5，n=2或m=4，n=3。當(dāng)m=5，n=2時，a=2×5×2=20，b=52-22=21，c=52+22=29（