2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競賽極端原理試卷一、選擇題（每題5分，共30分）平面上有n個點(diǎn)（n≥3），任三點(diǎn)不共線，則一定存在一個三角形，使得其余n-3個點(diǎn)都在該三角形外部。這一結(jié)論主要利用了極端原理中的（）A.最小數(shù)原理B.最大面積原理C.最短長度原理D.極端位置原理在一個由2025個點(diǎn)組成的平面點(diǎn)集中，點(diǎn)不全在同一直線上，則一定存在一條直線恰好經(jīng)過其中的（）A.1個點(diǎn)B.2個點(diǎn)C.3個點(diǎn)D.4個點(diǎn)已知正整數(shù)a?,a?,...,a???滿足a?+a?+...+a???=2025，則其中至少有一個數(shù)不小于（）A.20B.21C.22D.23兩人輪流在一張圓桌上放置硬幣（硬幣大小相同，不重疊），誰無法放置誰輸。先放者的必勝策略是（）A.放在任意位置B.放在圓心位置C.放在半徑中點(diǎn)位置D.不存在必勝策略在四面體ABCD中，以下結(jié)論正確的是（）A.所有頂點(diǎn)的三條棱都能構(gòu)成三角形B.至少有一個頂點(diǎn)的三條棱能構(gòu)成三角形C.至多有一個頂點(diǎn)的三條棱能構(gòu)成三角形D.不存在這樣的頂點(diǎn)平面上有100個紅點(diǎn)和100個藍(lán)點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，則必存在一種連線方式，使得每條線段連接一個紅點(diǎn)和一個藍(lán)點(diǎn)，且線段之間（）A.全部相交B.至少有兩條相交C.全部不相交D.至多有兩條相交二、填空題（每題6分，共36分）將1至2025這2025個自然數(shù)任意排列成一行，記為a?,a?,...,a????，則|a?-1|+|a?-2|+...+|a????-2025|的最大值為________。在△ABC中，AB=5，BC=7，CA=9，點(diǎn)P是三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值為________。有2025個口袋裝有若干球，任意取走1個口袋后，剩余口袋總能分成兩組，每組1012個口袋且球數(shù)相等，則每個口袋中球的個數(shù)必為________。黑板上寫有1,2,...,2025共2025個數(shù)，每次擦去兩個數(shù)a,b，寫上新數(shù)|a-b|，經(jīng)過2024次操作后，黑板上剩下的數(shù)的最小值為________。平面上有n條直線，其中任意兩條不平行，任意三條不共點(diǎn)，則這些直線交點(diǎn)中，至少有一個交點(diǎn)在________條直線上。在10×10的方格表中，每個格子填0或1，記每行的數(shù)字和為R?,...,R??，每列的數(shù)字和為C?,...,C??，則|R?-C?|+|R?-C?|+...+|R??-C??|的最大值為________。三、解答題（共84分）13.（14分）證明：在任意三角形中，一定存在一條中線的長度不小于該邊上高的長度。證明思路：設(shè)△ABC的三條中線分別為m?,m?,m?，對應(yīng)的高為h?,h?,h?。假設(shè)所有中線都小于對應(yīng)邊上的高，即m?<h?,m?<h?,m?<h?。由中線公式m?=√[2b2+2c2-a2]/2，高h(yuǎn)?=2S/a（S為面積），則√[2b2+2c2-a2]/2<2S/a。平方后整理得a2(2b2+2c2-a2)<16S2，結(jié)合海倫公式S2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)/16，代入后推出矛盾，故假設(shè)不成立，原命題得證。14.（14分）有n個排球隊(duì)參加單循環(huán)賽（每場定勝負(fù)），無球隊(duì)全勝。證明：存在三個隊(duì)A,B,C，使得A勝B，B勝C，C勝A。證明思路：設(shè)勝場最多的隊(duì)為A，其勝k場，負(fù)m場（m≥1，因無球隊(duì)全勝）。A戰(zhàn)勝的k個隊(duì)中，任一隊(duì)B不能全勝（否則B勝場比A多），故B至少負(fù)1場。若B負(fù)于A戰(zhàn)勝的隊(duì)，則存在C使得A勝C，C勝B，B勝A，構(gòu)成循環(huán)；若B負(fù)于A未戰(zhàn)勝的隊(duì)D，則D勝A，A勝B，B勝D，構(gòu)成循環(huán)。綜上，命題成立。15.（14分）平面上有2025個點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，證明：存在一個三角形，其面積不超過所有點(diǎn)構(gòu)成三角形的平均面積。證明思路：將所有點(diǎn)的凸包記為凸多邊形A?A?...A?，取凸包內(nèi)一點(diǎn)O，連接OA?,OA?,...,OA?，將凸包分成k個三角形。若k=3，則凸包本身即為所求；若k>3，由極端原理，最小面積的三角形必在這些子三角形中，其面積≤凸包面積/k。而所有點(diǎn)構(gòu)成的三角形總數(shù)為C(2025,3)，平均面積為凸包面積/C(2025,3)，顯然最小面積三角形面積≤平均面積。16.（14分）一群小孩圍坐一圈分糖果，每人初始糖果數(shù)為偶數(shù)，規(guī)則：每人將糖果分一半給右邊小孩，若糖果數(shù)為奇數(shù)則向老師補(bǔ)1塊（變?yōu)榕紨?shù)）。證明：有限次操作后，所有小孩糖果數(shù)相等。證明思路：設(shè)糖果總數(shù)為S，每次操作后S不變（補(bǔ)糖不改變總數(shù)）。記最大值M與最小值m，若M=m則結(jié)論成立；否則，M持有者分糖后變?yōu)镸/2，其左鄰接收后最多為(M/2)+(M/2)=M，而最小值持有者接收后至少為m/2+m/2=m（若m為偶數(shù)）。因M>m且均為偶數(shù)，經(jīng)過有限次操作后M嚴(yán)格減小，m嚴(yán)格增大，最終M=m。17.（14分）已知a?,a?,...,a?是正實(shí)數(shù)，滿足a?+a?+...+a?=1，證明：存在某個i，使得a?≥1/n，且存在某個j，使得a?≤1/n。證明思路：假設(shè)所有a?<1/n，則a?+...+a?<n·(1/n)=1，與總和為1矛盾；假設(shè)所有a?>1/n，則總和>1，同樣矛盾。由極端原理，最大值≥1/n，最小值≤1/n，命題得證。18.（14分）在8×8的國際象棋棋盤上，每個格子填1~64的整數(shù)，證明：存在兩個相鄰格子（有公共邊），其數(shù)字差至少為9。證明思路：考慮從左上角到右下角的最長路徑（共15步），設(shè)各格子數(shù)字為a?,a?,...,a??。若所有相鄰差<9，則a??≤a?+15×8=1+120=121，但64<121，矛盾。由極端原理，最大差值必≥(64-1)/15=4.2，取整后至少為5，進(jìn)一步構(gòu)造對角線路徑可證差值至少為9。四、附加題（20分）證明：任意凸多邊形中，存在一條對角線，將其分成兩個多邊形，每個多邊形的邊數(shù)≤原多邊形邊數(shù)的2/3。證明思路：設(shè)凸n邊形（n≥4），取頂點(diǎn)A?，連接A?A?,A?A?,...,A?A???，將多邊形分成n-2個三角形。由極端原理，存在某個三角形A?A?A???，其面積≤總面積/(n-2)。對角線A?A?將多邊形分成邊數(shù)為i-1和n-i+2的兩個多邊形，取i=?n/3?+2，可證兩者邊數(shù)均≤2n/3。試卷設(shè)計(jì)說明：內(nèi)容覆蓋：嚴(yán)格遵循《初中數(shù)學(xué)競賽大綱》，涵蓋極端原理的核心應(yīng)用：最小數(shù)原理（題3/17）、最短長度原理（題8/12）、極端位置（題4/14）、逐步調(diào)整法（題16）等。難度梯度：選擇題基礎(chǔ)（題1-6），填空題綜合（題7-12），解答題分層（13-18題從