2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽組合設(shè)計(jì)試卷一、選擇題（共5題，每題6分，共30分）將10個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，允許有空盒的放法有（）種A.66B.55C.45D.36解答：使用“隔板法”的擴(kuò)展形式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“10個(gè)球+2個(gè)隔板”的排列組合問(wèn)題，其中隔板可相鄰。總排列數(shù)為$\binom{10+3-1}{3-1}=\binom{12}{2}=66$，選A。某班有50名學(xué)生，其中30人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，25人參加物理競(jìng)賽，15人同時(shí)參加兩科競(jìng)賽，則只參加一科競(jìng)賽的人數(shù)為（）A.25B.30C.35D.40解答：根據(jù)容斥原理，只參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的人數(shù)為$30-15=15$，只參加物理競(jìng)賽的人數(shù)為$25-15=10$，總?cè)藬?shù)為$15+10=25$，選A。用紅、黃、藍(lán)三種顏色給如圖所示的3×3網(wǎng)格染色，要求每行每列顏色各不相同，則不同的染色方法有（）種A.12B.24C.48D.72解答：第一行有$3!=6$種染法；第二行需錯(cuò)位排列（避免與第一行同列同色），有2種方法；第三行唯一確定?？偡椒〝?shù)為$6×2×1=12$，選A。從1到2025的正整數(shù)中，能被2或3整除的數(shù)共有（）個(gè)A.1012B.1350C.1518D.1680解答：能被2整除的數(shù)：$\lfloor2025/2\rfloor=1012$；能被3整除的數(shù)：$\lfloor2025/3\rfloor=675$；能被6整除的數(shù)：$\lfloor2025/6\rfloor=337$。由容斥原理得$1012+675-337=1350$，選B。將5名志愿者分配到3個(gè)不同的社區(qū)服務(wù)，每個(gè)社區(qū)至少1人，則不同的分配方案有（）種A.150B.240C.300D.360解答：分兩類：①3,1,1分組：$\binom{5}{3}×\frac{3!}{2!}=60$；②2,2,1分組：$\binom{5}{2}×\binom{3}{2}×\frac{3!}{2!}=90$。總方案數(shù)$60+90=150$，選A。二、填空題（共5題，每題8分，共40分）在1,2,3,...,10這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，使它們成等差數(shù)列的取法有________種解答：設(shè)等差數(shù)列為$a-d,a,a+d$，則$a-d\geq1$且$a+d\leq10$，即$d\leqa-1$且$d\leq10-a$。$d=1$時(shí)，$a$可取2~9（8種）；$d=2$時(shí)，$a$可取3~8（6種）；$d=3$時(shí)，$a$可取4~7（4種）；$d=4$時(shí)，$a$可取5~6（2種）。總?cè)》ǎ?8+6+4+2=20$種。某密碼鎖有4位數(shù)字，每位可填0~9，若密碼中至少有兩個(gè)相鄰數(shù)字相同，則共有________種可能的密碼解答：總密碼數(shù)為$10^4=10000$；無(wú)相鄰數(shù)字相同的密碼數(shù)為$10×9×9×9=7290$（第一位10種，后三位各9種）。故符合條件的密碼數(shù)為$10000-7290=2710$。將6個(gè)不同的小球放入2個(gè)相同的盒子中，每個(gè)盒子至少放1個(gè)球，則不同的放法有________種解答：不考慮盒子順序，分兩類：1+5：$\binom{6}{1}=6$；2+4：$\binom{6}{2}=15$；3+3：$\binom{6}{3}/2=10$（因兩盒相同，需除以2）?？偡欧ǎ?6+15+10=31$。用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)有________個(gè)解答：分兩類：末位為0：前三位從剩余5個(gè)數(shù)中選3個(gè)排列，有$A_5^3=60$種；末位為2或4：末位2種，首位不能為0（4種），中間兩位$A_4^2=12$種，共$2×4×12=96$種?？偱紨?shù)：$60+96=156$。某班每天安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理4節(jié)課，若數(shù)學(xué)不排第一節(jié)，物理不排第四節(jié)，則不同的排課方法有________種解答：總排法$4!=24$種，減去數(shù)學(xué)排第一節(jié)（$3!=6$種）和物理排第四節(jié)（$3!=6$種），再加回重復(fù)減去的“數(shù)學(xué)第一節(jié)且物理第四節(jié)”（$2!=2$種）。故排法數(shù)為$24-6-6+2=14$。三、解答題（共5題，每題16分，共80分）（16分）從1到100的正整數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，求：（1）兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率；（2）兩數(shù)之積為偶數(shù)的概率。解答：（1）1到100中有50個(gè)奇數(shù)、50個(gè)偶數(shù)。兩數(shù)之和為偶數(shù)的情況：兩奇或兩偶?？?cè)》ǎ?\binom{100}{2}=4950$；有利取法：$\binom{50}{2}+\binom{50}{2}=2×1225=2450$；概率：$2450/4950=49/99$。（2）“積為偶數(shù)”的對(duì)立事件是“積為奇數(shù)”（兩數(shù)均為奇數(shù)）。積為奇數(shù)的取法：$\binom{50}{2}=1225$；概率：$1-1225/4950=1-245/990=745/990=149/198$。（16分）現(xiàn)有5個(gè)不同的紅球和3個(gè)不同的白球，從中任取4個(gè)球，要求紅球不少于白球，求不同的取法種數(shù)。解答：分兩類：紅球3個(gè)，白球1個(gè)：$\binom{5}{3}×\binom{3}{1}=10×3=30$；紅球4個(gè)，白球0個(gè)：$\binom{5}{4}×\binom{3}{0}=5×1=5$；紅球2個(gè)，白球2個(gè)：$\binom{5}{2}×\binom{3}{2}=10×3=30$（注：紅球不少于白球包含2紅2白）。總?cè)》ǎ?30+5+30=65$種。（16分）某學(xué)校要安排6名學(xué)生在周一至周六參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每天1人，每人只參加1天。若學(xué)生甲不能安排在周一，學(xué)生乙不能安排在周六，求不同的安排方案數(shù)。解答：使用容斥原理：總方案數(shù)：$6!=720$；甲在周一：$5!=120$；乙在周六：$5!=120$；甲在周一且乙在周六：$4!=24$；符合條件的方案數(shù)：$720-120-120+24=504$。（16分）用1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，求：（1）能被5整除的數(shù)有多少個(gè)？（2）比32000大的數(shù)有多少個(gè)？解答：（1）能被5整除的數(shù)末位必為5，前四位任意排列：$4!=24$個(gè)。（2）分兩類：首位為4或5：2種選擇，后四位全排列：$2×4!=48$；首位為3：第二位為2,4,5（3種），后三位全排列：$3×3!=18$；第二位為1：不符合（31xxx<32000）?？倐€(gè)數(shù)：$48+18=66$。（16分）在一個(gè)8×8的國(guó)際象棋棋盤(pán)上，放置8個(gè)互不攻擊的皇后（即任意兩個(gè)皇后不在同一行、同一列、同一對(duì)角線），求不同的放置方法有多少種？解答：該問(wèn)題為經(jīng)典的“八皇后問(wèn)題”，其解可通過(guò)遞歸或回溯法推導(dǎo)。歷史上已證明，八皇后問(wèn)題共有92種不同的放置方法（不考慮旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱）。答案：92種。四、附加題（共2題，每題20分，共40分）（20分）某城市有10條南北向街道和8條東西向街道，形成矩形網(wǎng)格。若某人從西南角A點(diǎn)走到東北角B點(diǎn)，只能向東或向北行走，求：（1）最短路徑的條數(shù)；（2）若其中有一條南北向街道維修，無(wú)法通行（如圖中虛線所示），則最短路徑的條數(shù)。解答：（1）從A到B需向東7次、向北9次，總步數(shù)16步，最短路徑數(shù)為$\binom{16}{7}=11440$。（2）設(shè)維修街道為第k條南北向街道的某段，需減去經(jīng)過(guò)該段的路徑數(shù)。假設(shè)維修段為從點(diǎn)C到點(diǎn)D（向北1步），則經(jīng)過(guò)CD的路徑數(shù)為$\binom{C_x+C_y}{C_x}×\binom{(B_x-D_x)+(B_y-D_y)}{B_x-D_x}$，具體數(shù)值需根據(jù)圖形計(jì)算，此處假設(shè)減少路徑數(shù)為N，則最終路徑數(shù)為$11440-N$。（20分）證明：在任意6個(gè)人中，要么存在3人互相認(rèn)識(shí)，要么存在3人互相不認(rèn)識(shí)（拉姆塞數(shù)R(3,3)=6）。解答：任取一人A，其與其余5人有兩種關(guān)系：認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)。由抽屜原理，至少有3人與A認(rèn)識(shí)（