第六章多元函數(shù)微分學(xué)1偏導(dǎo)數(shù)與全微分復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的微分法多元函數(shù)的連續(xù)性隱函數(shù)存在定理第六章多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)多元函數(shù)的極限方向?qū)?shù)與梯度多元函數(shù)的微分中值定理與泰勒公式極值問題2第一節(jié)、多元函數(shù)1.平面點(diǎn)集n維空間回憶一元函數(shù)平面點(diǎn)集

n維空間實(shí)數(shù)組(x,y)的全體,即建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)面.坐標(biāo)面坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合,稱為平面點(diǎn)集,記作(1)平面點(diǎn)集二元有序多元函數(shù)的基本概念

3鄰域

(Neighborhood)

設(shè)P0(x0,y0)是xOy

平面上的一個(gè)點(diǎn),幾何表示：Oxy.

P0多元函數(shù)的基本概念

令有時(shí)簡記為稱之為①將鄰域去掉中心,②也可將以P0為中心的某個(gè)矩形內(nèi)(不算周界)注稱之為的全體點(diǎn)稱之為點(diǎn)P0鄰域.去心鄰域.4(1)內(nèi)點(diǎn)顯然,E的內(nèi)點(diǎn)屬于E.多元函數(shù)的基本概念

(2)外點(diǎn)如果存在點(diǎn)P的某個(gè)鄰域則稱P為E的外點(diǎn).(3)邊界點(diǎn)

如點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn),也有不屬于E的點(diǎn),稱P為E的邊界點(diǎn).任意一點(diǎn)與任意一點(diǎn)集之間必有以下三種關(guān)系中的一種:設(shè)E為一平面點(diǎn)集,若存在稱P為E的內(nèi)點(diǎn).E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界,記作使U(P)∩E=,5聚點(diǎn)多元函數(shù)的基本概念

如果對(duì)于任意給定的點(diǎn)P的去心鄰域內(nèi)總有E中的點(diǎn)則稱P是E的聚點(diǎn).例如,設(shè)點(diǎn)集(P本身可屬于E,也可不屬于E),則P為E的內(nèi)點(diǎn);則P為E的邊界點(diǎn),也是E的聚點(diǎn).E的邊界為集合6說明：1.內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；2.邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；例(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．3.點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)是聚點(diǎn)但不屬于集合．例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合．7平面區(qū)域(重要)設(shè)D是開集.

連通的開集稱區(qū)域多元函數(shù)的基本概念

連通的.如對(duì)D內(nèi)任何兩點(diǎn),都可用折線連且該折線上的點(diǎn)都屬于D,稱開集D是或開區(qū)域.如都是區(qū)域.

開集若E的任意一點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn),例稱E為開集.E1為開集.結(jié)起來,8開區(qū)域連同其邊界,稱為有界區(qū)域否則稱為多元函數(shù)的基本概念

都是閉區(qū)域.如總可以被包圍在一個(gè)以原點(diǎn)為中心、適當(dāng)大的圓內(nèi)的區(qū)域,稱此區(qū)域?yàn)榘霃?可伸展到無限遠(yuǎn)處的區(qū)域).閉區(qū)域.有界區(qū)域.無界區(qū)域9OxyOxyOxy

Oxy有界開區(qū)域有界半開半閉區(qū)域有界閉區(qū)域無界閉區(qū)域多元函數(shù)的基本概念

10n元有序數(shù)組的全體

n維空間中的每一個(gè)元素稱為空間中稱為該點(diǎn)的第k個(gè)坐標(biāo).n維空間中兩點(diǎn)的距離定義為n維空間中點(diǎn)記作及的鄰域?yàn)?2)n維空間多元函數(shù)的基本概念

n維空間.稱為即的一個(gè)點(diǎn),內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義．n維空間中11稱為E的內(nèi)點(diǎn)：如果存在一個(gè)正數(shù)使得稱為E的外點(diǎn)：如果存在一個(gè)正數(shù)使得稱為E的邊界點(diǎn)：如果對(duì)任意一個(gè)正數(shù)使得中即有E中點(diǎn)又有非E中點(diǎn)即不是E的內(nèi)點(diǎn)也不是E的外點(diǎn)閉區(qū)域：12（3）中的集合到的映射設(shè)D為中的一個(gè)集合.那么對(duì)D中每一個(gè)點(diǎn)多元函數(shù)的基本概念

在中都有一個(gè)惟一的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，映射相當(dāng)于個(gè)元函數(shù):FunctionofManyVariables13第二節(jié)、多元函數(shù)的極限1.二元函數(shù)的定義例理想氣體的狀態(tài)方程是稱p為兩個(gè)變量T,V的函數(shù),其中(1)定義如溫度T、體積V都在變化,則壓強(qiáng)p依賴多元函數(shù)的基本概念

(R為常數(shù))其中p為壓強(qiáng),V為體積,T為溫度.于T,V的關(guān)系是14按著這個(gè)關(guān)系有確定的點(diǎn)集D稱為該函數(shù)稱為該函數(shù)的則稱z是x,y的定義1若變量z與D中的變量x,y之間有一個(gè)依賴關(guān)系,設(shè)D是xOy平面上的點(diǎn)集,使得在D內(nèi)每取定一個(gè)點(diǎn)P(x,y)時(shí),z值與之對(duì)應(yīng),多元函數(shù)的基本概念

記為稱x,y為的數(shù)集二元(點(diǎn))函數(shù).稱z為自變量,因變量,定義域,值域.15二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為(2)多元函數(shù)定義域定義域?yàn)榉蠈?shí)際意義的自變量取值的全體.記為

函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值多元函數(shù)的基本概念

或類似,可定義n元函數(shù).多元函數(shù).實(shí)際問題中的函數(shù):自變量取值的全體.純數(shù)學(xué)問題的函數(shù):定義域?yàn)槭惯\(yùn)算有意義的16例

求下面函數(shù)的定義域解Oxy無界閉區(qū)域多元函數(shù)的基本概念

即定義域?yàn)?7解Oxy定義域是有界半開半閉區(qū)域多元函數(shù)的基本概念

183求的定義域．解所求定義域?yàn)?9用聯(lián)立不等式表示下列平面閉區(qū)域D.圓弧直線?解多元函數(shù)的基本概念

及202、二元函數(shù)的圖形（如下頁圖）研究單值函數(shù)多元函數(shù)的基本概念

21二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.22例如,圖形如右圖.例如,右圖球面.單值分支:23多元函數(shù)的基本概念

最后指出,從一元函數(shù)到二元函數(shù),在內(nèi)容和方法上都會(huì)出現(xiàn)一些實(shí)質(zhì)性的差別,而多元函數(shù)之間差異不大.因此研究多元函數(shù)時(shí),將以二元函數(shù)為主.243、多元函數(shù)的極限討論二元函數(shù)

怎樣描述呢?Oxy

(1)P(x,y)趨向于P0(x0,y0)的回憶:一元函數(shù)的極限

路徑又是多種多樣的.注多元函數(shù)的基本概念

方向有任意多個(gè),Oxy25(2)變點(diǎn)P(x,y)

這樣,可以在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上得出二元函數(shù)極限的一般定義.多元函數(shù)的基本概念

總可以用來表示極限過程:與定點(diǎn)P0(x0,y0)之間的距離記為不論的過程多復(fù)雜,26記作多元函數(shù)的基本概念

定義2有成立.的極限.設(shè)二元函數(shù)P0(x0,y0)是D的聚點(diǎn).

的定義義域?yàn)镈,如果存在常數(shù)A,也記作27有成立.的極限.P0(x0,y0)是D的聚點(diǎn).定義域?yàn)镈,如果存在常數(shù)A,定義3設(shè)二元函數(shù)說明：定義2與定義3等價(jià)28說明(1)定義中(2)二元函數(shù)的極限也叫多元函數(shù)的基本概念

(doublelimit)的方式是任意的；二重極限.29則當(dāng)例證取有證畢.多元函數(shù)的基本概念

3031

相同點(diǎn)多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的一元函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在的充要?定義相同.差異為必需是點(diǎn)P在定義域內(nèi)以任何方式和途徑趨而多元函數(shù)于P0時(shí),多元函數(shù)的基本概念

相同點(diǎn)和差異是什么條件是左右極限都存在且相等;都有極限,且相等.32確定極限

關(guān)于二元函數(shù)的極限概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)上去.多元函數(shù)的基本概念

不存在的方法則可斷言極限不存在;若極限值與k有關(guān),(1)(2)此時(shí)也可斷言找兩種不同趨近方式,但兩者不相等,處極限不存在.存在,沿直線33利用點(diǎn)函數(shù)的形式有34記作多元函數(shù)的基本概念

定義有成立.的極限.設(shè)n元函數(shù)P0(x1,….,xn)是D的聚點(diǎn).

的定義義域?yàn)镈,如果存在常數(shù)A,也記作35設(shè)函數(shù)討論:當(dāng)P(x,y)沿x軸的方向當(dāng)P(x,y)沿y軸的方向也有證多元函數(shù)的基本概念

函數(shù)的極限是否存在？無限接近點(diǎn)(0,0)時(shí),同樣,無限接近點(diǎn)(0,0)時(shí),例36函數(shù)的極限存在且相等.當(dāng)P(x,y)沿直線y=kx

的方向其值隨k的不同而變化.所以,極限不存在．多元函數(shù)的基本概念

說明函數(shù)取上面兩個(gè)無限接近于點(diǎn)(0,0)時(shí),另一方面,無限接近點(diǎn)(0,0)時(shí),設(shè)函數(shù)討論:函數(shù)的極限是否存在？特殊方向37例證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．38極限是否存在？練習(xí)取解當(dāng)P(x,y)沿x軸的方向無限接近點(diǎn)(0,0)時(shí),當(dāng)P(x,y)沿y軸的方向無限接近點(diǎn)(0,0)時(shí),多元函數(shù)的基本概念

39多元函數(shù)的基本概念

極限不存在.取極限是否存在？40二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則和基本性質(zhì)與一元函數(shù)類似。多元函數(shù)的基本概念

41定理1：二元函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則定理2：若且則即且則也有極限且定理3：若42二元函數(shù)的幾種復(fù)合函數(shù)的形式：(i)其中其中(ii)其中(iii)43定理4：設(shè)函數(shù)有則定理5：設(shè)對(duì)函數(shù)有則且對(duì)有見P270例4-544第三節(jié)、多元函數(shù)的連續(xù)性設(shè)二元函數(shù)則稱函數(shù)定義P0(x0,y0)為D的聚點(diǎn),且P0∈D.如果連續(xù).如果函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域(閉區(qū)域)D內(nèi)的每一點(diǎn)連續(xù),則稱函數(shù)在D內(nèi)連續(xù),或稱函數(shù)是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù).

的定義域?yàn)镈,45定義有成立，設(shè)二元函數(shù)P0(x0,y0)是D的聚點(diǎn).

的定義義域?yàn)镈,如果存在常數(shù)A,則稱函數(shù)在點(diǎn)P0連續(xù)46的不連續(xù)點(diǎn),多元函數(shù)的基本概念

若函數(shù)在點(diǎn)P0(x0,y0)不連續(xù),稱P0為函數(shù)間斷點(diǎn).若在D內(nèi)某些孤立點(diǎn),沒有定義,或沿D內(nèi)某些曲線,但在D內(nèi)其余部分,都有定義,則在這些孤立點(diǎn)或這些曲線上,即間斷點(diǎn).函數(shù)都是函數(shù)則47在單位圓處處是間斷點(diǎn).多元函數(shù)的基本概念

函數(shù)(0,0)點(diǎn)是該函數(shù)的間斷點(diǎn).函數(shù)48討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解取49故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).當(dāng)時(shí)50稱為多元初等函數(shù),多元函數(shù)的基本概念

積、商（分母不為零）及復(fù)合仍是連續(xù)的.同一元函數(shù)一樣,多元函數(shù)的和、差、每個(gè)自變量的基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合,由一個(gè)式子表達(dá)的函數(shù)處均連續(xù).在它們的定義域的內(nèi)點(diǎn)P275定理1-351例７解52映射的連續(xù)性映射在點(diǎn)連續(xù)是指：對(duì)于任意給定的,存在一個(gè)使得當(dāng)時(shí)這里的前一個(gè)d表示Rn中的兩點(diǎn)距離,后一個(gè)d表示Rm中的距離.f在P0連續(xù)的充分必要條件每一個(gè)分量f

i在P0也連續(xù)53有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)的性質(zhì)(1)有界閉區(qū)間邊界上的連續(xù)性我們稱在的邊界點(diǎn)處是連續(xù)的：如果對(duì)任意的都存在一個(gè)使得當(dāng)時(shí)便有即54有界閉區(qū)域上連續(xù)的多元函數(shù)的性質(zhì)至少取得它的最大值和最小值各一次．介于這兩值之間的任何值至少一次．(2)最大值和最小值定理(3)介值定理多元函數(shù)的基本概念

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),在D上在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù),如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值,則它在D上取得P277

定理4-655多元函數(shù)的極限的基本問題有三類(1)研究二元函數(shù)極限的存在性.常研究若其依賴于k,則欲證明極限存在,*特別對(duì)于*不存在.多元函數(shù)的基本概念

常用定義或夾逼定理.欲證明極限不存在(通過觀察、猜測),常選擇兩條不同路徑,求出不同的極限值.(2)求極限值.常按一元函數(shù)極限的求法求之.(3)

研究全面極限與累次極限(二次極限)間的關(guān)系.(羅必達(dá)法則除外)56提示解多元函數(shù)的基本概念

是否把極限理解為:先求?的極限,再求的極限;或者先求的極限,再求的極限思考研究累次極限有有57(2)同理:

(3)再來分析當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿過原點(diǎn)的直線因此

不存在.多元函數(shù)的基本概念

對(duì)任意的有趨向于有時(shí),58可證明當(dāng)f(x,y)在P0(x0,y0)的一個(gè)鄰域上第二,一般也是不相同的;第三,由此看出:第一,不能理解為多元函數(shù)的基本概念

連續(xù)時(shí),上述三個(gè)極限均相等.或59求答:0答:不存在.答:不存在.累次極限都不存在時(shí),但全面極限