2025年軟件工程專升本算法設(shè)計試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空2分，共20分）1.在最壞情況下，快速排序算法的平均時間復(fù)雜度和最壞時間復(fù)雜度分別為______和______。2.用遞歸方式查找有序數(shù)組中特定元素的二分查找算法，其時間復(fù)雜度通常描述為______。3.在有向圖中，若存在一條從頂點u到頂點v的路徑，則稱頂點u是頂點v的______頂點。4.動態(tài)規(guī)劃算法通常用于解決具有______和______特征的優(yōu)化問題。5.對于一個具有n個頂點的無向圖，其鄰接矩陣是一個______維的方陣。6.堆是一種特殊的______結(jié)構(gòu)，通常用______實現(xiàn)。7.算法的時間復(fù)雜度T(n)=5n^2+3n+10，其增長率與______成線性關(guān)系，與______成平方關(guān)系。8.在算法設(shè)計中，“分治”策略將原問題分解為若干個規(guī)模較小的相同子問題，分別求解后再合并。9.若一個算法的空間復(fù)雜度是O(1)，說明該算法是______算法。10.查找線性表中元素的平均時間復(fù)雜度為O(n)的算法通常稱為______查找。二、判斷題（每題2分，共10分。請在括號內(nèi)填“√”或“×”）1.(______)歸并排序算法是一種穩(wěn)定的排序算法。2.(______)遞歸算法一定比非遞歸算法效率低。3.(______)算法的空間復(fù)雜度與其時間復(fù)雜度之間必然存在正相關(guān)關(guān)系。4.(______)在無向圖中，任意兩個頂點之間都存在路徑。5.(______)稻草堆排序（BubbleSort）是一種基于比較的排序算法。三、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述“算法”的基本特性。2.描述遞歸算法的基本思想及其適用條件。3.解釋什么是圖的“鄰接表”表示法，并說明其相對于鄰接矩陣的優(yōu)點。4.什么是算法的“時間復(fù)雜度”？為什么要分析算法的時間復(fù)雜度？四、分析題（每題10分，共30分）1.給定以下函數(shù)F(n)：F(n)=2*F(n/2)+n,且F(1)=1（1）請用遞歸塔方法大致分析該函數(shù)的時間復(fù)雜度T(n)。（2）若改用迭代方法，請推導(dǎo)該函數(shù)的時間復(fù)雜度T(n)。2.已知一個長度為n的有序數(shù)組A。請設(shè)計一個算法，找出數(shù)組中值最大的元素的位置（索引）。要求：除了直接遍歷數(shù)組外，若可以使用二分查找的思想，請盡量利用已有有序信息，使算法更高效。請描述算法思路，并簡要分析其時間復(fù)雜度。3.簡述快速排序算法的基本步驟（劃分、遞歸）。在劃分過程中，如何選擇一個“基準(zhǔn)”（pivot）元素？劃分的目的是什么？五、編程題（共20分）編寫一個函數(shù)，實現(xiàn)如下功能：給定一個只包含小寫字母的字符串S，統(tǒng)計并返回字符串S中每個不同字母出現(xiàn)的次數(shù)。要求：不能使用額外的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（如數(shù)組、字典/哈希表）存儲中間結(jié)果，但可以使用遞歸函數(shù)調(diào)用的隱式?？臻g。請用C/C++或Java語言實現(xiàn)該函數(shù)。試卷答案一、填空題（每空2分，共20分）1.O(nlogn),O(n^2)2.O(logn)3.前驅(qū)4.最優(yōu)子結(jié)構(gòu),重疊子問題5.n,n6.完全二叉樹,數(shù)組7.3n+10,5n^28.分治與合并9.線性10.順序二、判斷題（每題2分，共10分。請在括號內(nèi)填“√”或“×”）1.(√)2.(×)遞歸不一定比非遞歸效率低，取決于問題和實現(xiàn)。3.(×)空間復(fù)雜度和時間復(fù)雜度無必然正相關(guān)，有時為了提高時間效率會增加空間復(fù)雜度。4.(×)在無向圖中，只有當(dāng)圖是連通圖時，任意兩個頂點之間才存在路徑。5.(√)稻草堆排序是通過元素間的比較和交換來排序的。三、簡答題（每題5分，共20分）1.算法的基本特性：*有窮性：算法必須在執(zhí)行有限步驟后終止。*確定性：算法的每一步操作都有確切的含義，無歧義。*可行性：算法的操作都是可以被精確執(zhí)行的，原則上是可以用紙筆在有限時間內(nèi)完成的。*輸入性：算法有零個或多個輸入。*輸出性：算法至少產(chǎn)生一個輸出。2.遞歸算法的基本思想及其適用條件：*基本思想：將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規(guī)模較小的相同問題來求解。遞歸算法通常包含一個或多個基準(zhǔn)情形（basecase），可以直接求解；以及一個遞歸步驟，將問題轉(zhuǎn)化為一個或多個規(guī)模更小的同類問題的實例來解決。*適用條件：問題本身或其子問題具有遞歸結(jié)構(gòu)；存在明確的基準(zhǔn)情形；遞歸調(diào)用能夠逐步簡化問題，最終達(dá)到基準(zhǔn)情形。3.什么是圖的“鄰接表”表示法，并說明其相對于鄰接矩陣的優(yōu)點：*定義：鄰接表是一種表示圖的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。對于圖中的每一個頂點，都創(chuàng)建一個鏈表。該鏈表中的每個節(jié)點（結(jié)點）表示圖中與該頂點相鄰的一個頂點（以及可能的邊權(quán)重）。所有頂點的鏈表頭節(jié)點通常存儲在一個一維數(shù)組中。*優(yōu)點：*存儲空間效率高：對于稀疏圖（頂點數(shù)遠(yuǎn)大于邊數(shù)），鄰接表比鄰接矩陣節(jié)省空間，因為它只存儲實際存在的邊。*隨機訪問效率高：在鄰接表中，很容易檢查頂點v是否與頂點w有邊相連，只需遍歷頂點v對應(yīng)的鏈表即可，時間復(fù)雜度為O(degree(v))。而在鄰接矩陣中，檢查頂點v和w之間是否有邊，可以直接訪問矩陣元素A[v][w]，時間復(fù)雜度為O(1)。*適合表示有向圖：在有向圖中，鄰接表能清晰地區(qū)分出每個頂點的出邊和入邊（分別對應(yīng)鏈表的不同部分或使用兩個鄰接表）。4.什么是算法的“時間復(fù)雜度”？為什么要分析算法的時間復(fù)雜度？*定義：算法的時間復(fù)雜度是指算法執(zhí)行所需時間隨輸入規(guī)模n增長的變化趨勢，通常使用大O表示法（BigOnotation）來描述。它關(guān)注的是算法執(zhí)行基本操作（如比較、賦值）的次數(shù)，并忽略常數(shù)項、低階項以及具體硬件環(huán)境的影響，從而刻畫算法的效率增長階。*分析原因：*比較不同算法效率：時間復(fù)雜度提供了一種標(biāo)準(zhǔn)化的方式來比較不同算法在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)時的效率差異。*預(yù)測性能：通過時間復(fù)雜度，可以大致預(yù)測算法在處理不同規(guī)模輸入時所需的時間，判斷算法是否適用于實際問題。*指導(dǎo)算法選擇：基于時間復(fù)雜度的分析，可以在多種算法中選擇時間效率更高的方案。*算法優(yōu)化依據(jù)：分析時間復(fù)雜度有助于發(fā)現(xiàn)算法的瓶頸，為算法優(yōu)化提供方向。四、分析題（每題10分，共30分）1.（1）遞歸塔方法分析F(n)=2*F(n/2)+n,F(1)=1*畫出遞歸塔：```F(n)/\F(n/2)F(n/2)/\/\F(n/4)F(n/4)F(n/4)F(n/4)............```*遞歸層數(shù)：T(n)=n+2*(n/2)+4*(n/4)+...+2^k*(n/2^k)。最后一層是F(1)，此時n/2^k=1，即k=log_2(n)。所以有l(wèi)og_2(n)+1層。*每層操作次數(shù)：第一層是n，第二層是2*(n/2)=n，第三層是4*(n/4)=n，...，第log_2(n)+1層是2^(log_2(n))*1=n。*總操作次數(shù)：T(n)=log_2(n)*n。增長率主要取決于n*log(n)項。*結(jié)論：時間復(fù)雜度T(n)=O(nlogn)。*（2）迭代方法推導(dǎo)令n=2^k，則k=log_2(n)。原式F(n)=2*F(n/2)+n變?yōu)镕(2^k)=2*F(2^(k-1))+2^k。將F(2^k)展開：F(2^k)=2*F(2^(k-1))+2^k=2*[2*F(2^(k-2))+2^(k-1)]+2^k=2^2*F(2^(k-2))+2*2^(k-1)+2^k=2^2*F(2^(k-2))+2^k+2^k=2^3*F(2^(k-3))+2^k+2^k+2^k=...=2^k*F(2^0)+k*2^k(因為F(2^0)=F(1)=1)=2^k*1+k*2^k=(k+1)*2^k因為n=2^k，所以k=log_2(n)，代入上式：F(n)=(log_2(n)+1)*n時間復(fù)雜度T(n)=O(nlogn)。2.找出最大元素位置的算法思路與復(fù)雜度分析*思路1：直接遍歷從數(shù)組第一個元素開始，依次比較相鄰元素，記錄當(dāng)前遇到的最大元素及其索引。遍歷結(jié)束后，記錄的最大元素索引即為所求。```偽代碼max_index=0forifrom1ton-1:ifA[i]>A[max_index]:max_index=ireturnmax_index```時間復(fù)雜度：需要遍歷n-1個元素進(jìn)行比較，時間復(fù)雜度為O(n)。*思路2：利用有序性（類似二分查找思想）由于數(shù)組已有序，最大元素必然位于數(shù)組的最后一個位置（索引n-1）。只需直接返回索引n-1即可。```偽代碼returnn-1```時間復(fù)雜度：O(1)。這種方法極其高效，因為它完全利用了“數(shù)組已有序”這一前提信息，避免了不必要的比較。3.快速排序的基本步驟與劃分解析*基本步驟：1.選擇基準(zhǔn)（Partition）：從數(shù)組中選擇一個元素作為“基準(zhǔn)”（pivot）。選擇方式有多種（第一個元素、最后一個元素、中間元素、隨機元素），常用的是最后一個元素。2.劃分（Partitioning）：重新排列數(shù)組中的元素，使得所有比基準(zhǔn)小的元素都放在基準(zhǔn)的左邊，所有比基準(zhǔn)大的元素都放在基準(zhǔn)的右邊。劃分結(jié)束后，基準(zhǔn)元素處于它最終排序后的正確位置，并返回該位置的索引。3.遞歸排序子數(shù)組：對基準(zhǔn)左邊和右邊的子數(shù)組分別遞歸執(zhí)行步驟1和2。4.基準(zhǔn)情形：當(dāng)子數(shù)組的長度小于等于1時，無需排序，直接返回。*劃分過程解析：*如何選擇基準(zhǔn)（pivot）：常見的選擇方法有：選擇第一個元素、選擇最后一個元素、選擇中間元素、選擇隨機元素。選擇策略會影響算法的平均性能和最壞情況性能。例如，選擇中間元素或隨機元素可以在一定程度上避免最壞情況（如對有序數(shù)組選擇最后一個元素）。*劃分的目的：劃分操作將原始的大問題（排序整個數(shù)組）分解為兩個規(guī)模更小、互不干擾的子問題（分別排序基準(zhǔn)左右兩邊的子數(shù)組），并且保證了基準(zhǔn)元素落到了其正確的位置。這使得遞歸排序可以順利進(jìn)行，并且能夠達(dá)到“分治”的效果，其平均時間復(fù)雜度為O(nlogn)。五、編程題（共20分）```c++//示例用C++實現(xiàn)#include<string>//定義一個結(jié)構(gòu)體來存儲字母及其出現(xiàn)次數(shù)structLetterCount{charletter;intcount;};//遞歸函數(shù)：統(tǒng)計字符串中每個字母的出現(xiàn)次數(shù)//S:當(dāng)前處理的字符串片段//start:當(dāng)前片段的起始索引//end:當(dāng)前片段的結(jié)束索引//counts:用來存儲結(jié)果的數(shù)組，其大小至少為26voidcountLettersRecursively(conststd::string&S,intstart,intend,LetterCountcounts[]){if(start>end){//基準(zhǔn)情形：字符串為空或處理完畢return;}//取出當(dāng)前字符串片段的最后一個字符charlastChar=S[end];//調(diào)用自身，處理字符串的除最后一個字符外的部分countLettersRecursively(S,start,end-1,counts);//處理最后一個字符//將字符轉(zhuǎn)換為'a'到'z'的索引(0-25)intindex=lastChar-'a';//如果該字母之前未出現(xiàn)過（count為0），則初始化if(counts[index].count==0){counts[index].letter=lastChar;}//增加該字母的計數(shù)counts[index].count++;}//外部接口函數(shù)//返回一個LetterCount數(shù)組，大小為26，對應(yīng)'a'到'z'//注意：調(diào)用者需要保證返回的數(shù)組有足夠空間存儲結(jié)果LetterCount*countLetters(conststd::string&S){staticLetterCountcounts[26];//使用靜態(tài)數(shù)組