14冪函數(shù)與對(duì)勾函數(shù)【方法技巧與總結(jié)】知識(shí)點(diǎn)一、冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)簝绾瘮?shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．例如：等都不是冪函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二、冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1、作出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)簝绾瘮?shù)隨著的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：（1）所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)；（2）時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地逼近軸正半軸．知識(shí)點(diǎn)三、對(duì)勾函數(shù)的圖象及性質(zhì)（1）定義域：；（2）值域：；（3）奇偶性：奇函數(shù)，函數(shù)圖象整體呈兩個(gè)“對(duì)勾”的形狀，且函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)呈中心對(duì)稱(chēng)，即；（4）圖象在一、三象限，當(dāng)時(shí)，，（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），即在時(shí)，取最小值；由奇函數(shù)性質(zhì)知：當(dāng)時(shí)，在時(shí)，取最大值；（5）單調(diào)性：增區(qū)間為，減區(qū)間是．當(dāng)時(shí)，類(lèi)同．【題型歸納目錄】題型一：冪函數(shù)的定義、性質(zhì)與圖像題型二：對(duì)勾函數(shù)的圖象及性質(zhì)【典型例題】題型一：冪函數(shù)的定義、性質(zhì)與圖像例1．已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減，其函數(shù)值集合為，當(dāng)時(shí)，的取值集合為，的值域，不符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，其函數(shù)值集合為，因函數(shù)的值域?yàn)?，則有，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D例2．已知，則函數(shù)的圖像不可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)可知，所以當(dāng)時(shí)，，即，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，而當(dāng)為其他值時(shí)，B,C,D均有可能出現(xiàn).故選：A例3．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)冪函數(shù)為，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，解得，所以，則函數(shù)的定義域?yàn)?，所以排除CD，因?yàn)?，所以在上為減函數(shù)，所以排除B，故選：A例4．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則下列關(guān)于說(shuō)法正確的是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．在單調(diào)遞減 D．定義域?yàn)椤敬鸢浮緾【解析】設(shè)冪函數(shù)，由題意得：，故，定義域?yàn)?，故D錯(cuò)誤；定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，為非奇非偶函數(shù)，A，B錯(cuò)誤；由于，故在在單調(diào)遞減，C正確，故選：C例5．（多選題）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】設(shè)冪函數(shù)，則，解得，所以，所以的定義域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，故A正確，因?yàn)榈亩x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，故C正確，當(dāng)時(shí)，，又，所以，D正確．故選：ACD.例6．冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的值為_(kāi)_____．【答案】2【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，則有，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，符合題意.所以的值為故答案為：例7．已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在上是減函數(shù)，實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】?jī)绾瘮?shù)在上是減函數(shù)，，解得，，或．當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)滿(mǎn)足條件，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)不滿(mǎn)足條件，則不等式等價(jià)為，即，在R上為增函數(shù)，，解得：.故答案為：.例8．已知函數(shù)是冪函數(shù)，對(duì)任意的，，且，滿(mǎn)足，若a，，且，則______0（填“＞”“＝”或“＜”）．【答案】＜【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，即，解得m＝－1或m＝2．當(dāng)m＝－1時(shí)，；當(dāng)m＝2時(shí)，．因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意的，，且，滿(mǎn)足，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，且為增函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以，即．故答案為：?例9．已知冪函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R.(1)求的解析式；(2)若在上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解析】（1）∵是冪函數(shù)，∴，∴或2.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿(mǎn)足的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R，∴m＝2,∴.（2）即，要使此不等式在上恒成立，令,只需使函數(shù)在上的最小值大于0.∵圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，故在上單調(diào)遞減，∴，由，得，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是.例10．已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，求函數(shù)的解析式．【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，得，又∵，∴或1．因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，將分別代入，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為是偶函數(shù)，滿(mǎn)足條件.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為是偶函數(shù)，滿(mǎn)足條件.的解析式為．例11．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)．(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)的值域分別為A，B，若，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解析】(1)∵為冪函數(shù)，∴，解得或，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，∴；(2)由（1）得，∴時(shí)，，∵為上的減函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∴解得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是．例12．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則______，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】

【解析】由題意可得，，所以，所以?xún)绾瘮?shù)．可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，解得：．故答案為：；.題型二：對(duì)勾函數(shù)的圖象及性質(zhì)例13．因函數(shù)的圖象形狀像對(duì)勾，我們稱(chēng)形如“”的函數(shù)為“對(duì)勾函數(shù)”，該函數(shù)具有性質(zhì)：在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．(1)若函數(shù)，，求的最值；(2)已知，，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域；(3)對(duì)于（2）中的函數(shù)和函數(shù)，若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)由題意知，函數(shù)在單調(diào)遞減，∴，；(2)，令，∵，∴，則，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞増，∴在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，，，．綜上可得，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，值域?yàn)椋?3)由（2）知時(shí)，若存在，使得成立，只需在上值域包含，則分成以下四種情況：；；，解集均為空集，所以m不存在．例14．因函數(shù)(t>0)的圖象形狀象對(duì)勾，我們稱(chēng)形如“(t>0)”的函數(shù)為“對(duì)勾函數(shù)”該函數(shù)具有性質(zhì)：在(0,]上是減函數(shù)，在(,+)上是增函數(shù).（1）已知利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域；（2）對(duì)于（1）中的函數(shù)和函數(shù)，若對(duì)任意[1,3]，總存在[1,3]，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】（1）令∵1，∴1.則由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得在[1，2]上單調(diào)遞減，在(2，5]上單調(diào)遞增，∴在[1，]上是減函數(shù)，在(，3]上是增函數(shù).，綜上可得，的單調(diào)遞減區(qū)間為[1，]，單調(diào)遞增區(qū)間為(，3]，值域?yàn)閇0，].（2）由（1）知時(shí)，若存在，3]，使得g()<成立，只需g(x)=在，3]上有解即可，即m>(x+)最小值，令u(x)=x+，u(x)在[1，2]上是減函數(shù)，在[2，3]上是增函數(shù)u(x)最小值=u（2）=4，∴m>4.即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(4，+.例15．已知（雙勾函數(shù)）．（1）利用函數(shù)的單調(diào)性證明在上的單調(diào)性；（2）證明f（x）的奇偶性；（3）畫(huà)出的簡(jiǎn)圖，并直接寫(xiě)出它單調(diào)區(qū)間．【解析】（1）設(shè)，則，則，當(dāng)時(shí)，，則，則，即，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則，則，即，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)．（2），則函數(shù)為奇函數(shù)．（3）由（1）知結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性作出函數(shù)的圖象如圖：由圖象和性質(zhì)知的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，．例16．形如的函數(shù)，我們稱(chēng)之為“對(duì)勾函數(shù)”，“對(duì)勾函數(shù)”具有如下性質(zhì)：該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.已知函數(shù)在上的最大值比最小值大，則________.【答案】或【解析】由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得；②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，解得(舍去)；③當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，或.當(dāng)時(shí)，，解得或(舍去)，則，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.當(dāng)時(shí)，，解得或，即(舍去)或(舍去).綜上，的值為或.故答案為：或.例17．已知勾函數(shù)在和內(nèi)均為增函數(shù)，在和內(nèi)均為減函數(shù)．若勾函數(shù)在整數(shù)集合內(nèi)為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)__________．【答案】【解析】根據(jù)題意在，內(nèi)為增函數(shù)；要使在整數(shù)集合內(nèi)為增函數(shù)，則即解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在上單調(diào)遞減，則滿(mǎn)足的a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】?jī)绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故，解得．又，故m＝1或2．當(dāng)m＝1時(shí)，的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，滿(mǎn)足題意；當(dāng)m＝2時(shí)，的圖象不關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，舍去，故m＝1．不等式化為，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故或或，解得或．故應(yīng)選：D．2．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞增，則實(shí)數(shù)（

）A．－1 B．－1或3 C．3 D．2【答案】C【解析】由題意知：，即，解得或，∴當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，不合題意;當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，符合題意,∴,故選：C3．若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．若，則C．為偶函數(shù)D．若，則【答案】D【解析】設(shè)，將代入得：，解得：，所以，定義域?yàn)?，故不是奇函?shù)也不是偶函數(shù)，AC錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，，B錯(cuò)誤；，，由于，則，故，D正確.故選：D4．已知函數(shù)是冪函數(shù)，且時(shí)，f(x)是增函數(shù)，則m的值為（

）A．-1 B．2 C．-1或2 D．3【答案】B【解析】因函數(shù)是冪函數(shù)，且f(x)是上的增函數(shù)，于是得，解得，所以m的值為2.故選：B5．已知，若，則（

）A．－2 B．－1 C． D．2【答案】A【解析】設(shè)，由，當(dāng)且時(shí)，即時(shí)，等式顯然成立，當(dāng)時(shí)，則有，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，則有，即，因?yàn)楹瘮?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，由，而與矛盾，所以不成立，當(dāng)時(shí)，則有，即，因?yàn)楹瘮?shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，由，而與矛盾，所以不成立，綜上所述：，故選：A6．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則的值（

）A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無(wú)法判斷【答案】A【解析】由函數(shù)是冪函數(shù)，可得，解得或．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故．又，所以，所以，則．故選：A．7．已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，則，即為奇函數(shù)，容易判斷在R上單調(diào)遞增（增+增），又可化為，，所以a>1－2a，∴a>．故選：A.二、多選題8．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(9,3)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．為偶函數(shù) B．為增函數(shù)C．若，則 D．若，則【答案】BCD【解析】將點(diǎn)代入函數(shù)得：，則，所以，∴的定義域?yàn)?，所以不具有奇偶性，所以A不正確；函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，所以B正確；當(dāng)時(shí)，，即，所以C正確；若時(shí)，==.即成立，所以D正確.故選：BCD.9．已知冪函數(shù)，則（

）A． B．定義域?yàn)镃． D．【答案】AC【解析】為冪函數(shù)，，得，A對(duì)；函數(shù)的定義域?yàn)?，B錯(cuò)誤；由于在上為增函數(shù)，，C對(duì)；，，D錯(cuò)誤，故選：AC.10．已知，且，則下列式子一定成立的是（

）．A． B． C． D．【答案】CD【解析】對(duì)A，令，此時(shí)滿(mǎn)足，但，故A錯(cuò)；對(duì)B，令，，此時(shí)滿(mǎn)足，但，故B錯(cuò)；對(duì)C，因?yàn)椋刹坏仁叫再|(zhì)可得，故C正確；對(duì)D，是上的單調(diào)遞增函數(shù)，時(shí)，成立，即，故D正確.故選：CD11．方程的解可視為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，若方程的各個(gè)實(shí)根所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)均在直線的同側(cè)，則實(shí)數(shù)a可能取值是（

）.A． B．C． D．【答案】AD【解析】顯然不是方程的根，故方程可等價(jià)于,所以原方程的實(shí)根是與曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),曲線可看作是由曲線向上或向下平移個(gè)單位而得到,若交點(diǎn)均在直線的同側(cè),因與的交點(diǎn)為,所以結(jié)合圖象可得:或恒成立,所以在上恒成立,或在上恒成立,所以,或,即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：AD.三、填空題12．已知冪函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)______．【答案】【解析】由題意得，函數(shù)為冪函數(shù)且在內(nèi)是單調(diào)遞減，所以，解得．故答案為：.13．已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則______．【答案】-4【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，得，所以，，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)所以，故答案為：14．設(shè)冪函數(shù)同時(shí)具有以下兩個(gè)性質(zhì)：①函數(shù)在第二象限內(nèi)有圖象；②對(duì)于任意兩個(gè)不同的正數(shù)，，都有恒成立.請(qǐng)寫(xiě)出符合上述條件的一個(gè)冪函數(shù)___________.【答案】（答案不唯一）【解析】由題意可得，冪函數(shù)需滿(mǎn)足在第二象限內(nèi)有圖象且在上是單調(diào)遞減即可，所以，故滿(mǎn)足上述條件的可以為.故答案為：（答案不唯一）.15．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且在上單調(diào)遞減，則滿(mǎn)足的的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】【解析】?jī)绾瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故，解得.，故，，.當(dāng)時(shí)，不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，舍去；當(dāng)時(shí)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，不關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，舍去；故，，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故或或，解得或.故答案為：四、解答題16．已知冪函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn).(1)求的值；(2)證明：函數(shù)是增函數(shù).【解析】(1)設(shè)冪函數(shù)，將點(diǎn)代入得，解得，所以，則(2)函數(shù)的定義域?yàn)樵O(shè)，且，則由，得，，則，即，故函數(shù)是上增函數(shù).17．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，．(1)求的解析式；(