32周期性與雙對稱問題【方法技巧與總結(jié)】1、周期性技巧2、函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.3、對稱性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點對稱，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對稱，函數(shù)與關(guān)于原點對稱．【題型歸納目錄】題型一：單純考查周期性題型二：雙對稱函數(shù)的周期性題型三：函數(shù)對稱性與周期性的綜合問題【典型例題】題型一：單純考查周期性例1．已知定義域為的函數(shù)，滿足對任意，都有，且，當(dāng)，時，，若函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間，上的零點的個數(shù)是A．18 B．19 C．20 D．21【解析】解：令，由，得到，，，為以2為周期的周期函數(shù)，，時，，當(dāng)，，，作出函數(shù)與的圖象，由圖象可知，兩個圖象有19個交點，即函數(shù)在區(qū)間，上零點的個數(shù)是19個．故選：．例2．定義在上的函數(shù)滿足以下三個條件：①對于任意的實數(shù)，都有成立；②函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；③對任意的，，，，都有成立．則，，的大小關(guān)系為A． B． C． D．【解析】解：對于任意的實數(shù)，都有成立，函數(shù)的圖象關(guān)于成中心對稱；①又函數(shù)為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于對稱，即，，用替換，得，即函數(shù)的周期；②又對任意的，，，，都有成立，即，，，，都有，在，上單調(diào)遞增，③由①②③得函數(shù)的圖象如下：則（1），（2），（3），由圖知，（1）（2）（3），，故選：．例3．已知為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，有，且當(dāng)，時，，給出下列命題：①；②函數(shù)在定義域上是周期為2的函數(shù)；③直線與函數(shù)的圖象有2個交點；④函數(shù)的值域為．其中正確的是A．①② B．②③ C．①④ D．①②③④【解析】解：為定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，有，且當(dāng)，時，，故函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可得：，故①正確；函數(shù)在定義域上不是周期函數(shù)，故②錯誤；直線與函數(shù)的圖象有1個交點，故③錯誤；函數(shù)的值域為，故④正確；故正確的命題序號有：①④故選：．變式1．（多選題）已知定義在上的奇函數(shù)，滿足對任意的，都有成立，且當(dāng)時，，那么下列說法中正確的有A．函數(shù)為周期函數(shù) B．函數(shù)的對稱中心為點， C．當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸圍成的圖形的面積為2 D．（1）（2）（3）【解析】解：為奇函數(shù)，，，又，，函數(shù)的周期為4，正確，，函數(shù)的對稱軸為，點不是對稱中心，錯誤，當(dāng)時，，（1），（3），函數(shù)的周期為4，（2），（4），（1）（2）（3）（1）（2）（3）（4）（1），正確，函數(shù)的大致圖象如下：當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸圍成的圖形的面積為，正確．故選：．變式2．設(shè)是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間，上，，其中，，則（1）（或，若，則的值為．【解析】解：因為在區(qū)間，上，，所以（1）（或（1）；又知道，而①，由（1）得②，聯(lián)立①②得，所以，故答案為：（或，．變式3．已知，可知函數(shù)的一個周期為．類比上述結(jié)論，設(shè)為正常數(shù)，且，則函數(shù)的一個周期為．【解析】解：，可知函數(shù)的一個周期為．設(shè)為正常數(shù)，且，，．故函數(shù)的一個周期為．故答案為：．變式4．設(shè)是周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則．【解析】解：由題意可得，．故答案為：．變式5．設(shè)是定義在上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間，上的值域為，，則在區(qū)間，上的值域為，．【解析】解：法一：為上周期為1的函數(shù)，則又函數(shù)在，的值域是，令，當(dāng)，時，，此時，所以，在，時，，（1）同理，令，在當(dāng)，時，，此時，所以，當(dāng)，時，，（2）由（1）（2）得到，在，上的值域為，故答案為：，法二：由題意在上成立故所以由此知自變量增大1，函數(shù)值也增大1故在，上的值域為，故答案為：，題型二：雙對稱函數(shù)的周期性例4．已知定義在上的函數(shù)滿足，，當(dāng)時，，則A．0 B．1 C．2 D．3【解析】解：定義在上的函數(shù)滿足，函數(shù)為奇函數(shù)，又，可得，即為，即有，函數(shù)為周期為4的周期函數(shù)，（1），由當(dāng)時，，可得（1），由，則（1）．故選：．例5．已知定義在上的函數(shù)滿足，且，當(dāng)時，，則A． B．0 C．1 D．2【解析】解：由函數(shù)滿足，可知的對稱中心為，因為，可知的對稱軸為，所以可得的周期為8，所以（4），由已知函數(shù)滿足，令，（4），由已知，令，，所以（4）．故選：．例6．定義在上的函數(shù)滿足，，且當(dāng)，時，，則A．0 B．1 C．2 D．3【解析】解：若定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱若定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點點中心對稱由函數(shù)周期的確定方法可得4為函數(shù)的一個周期則（3）（1）又當(dāng)，時，，故選：．變式6．已知是定義在上的偶函數(shù)，且．若當(dāng)，時，，則A．2 B．3 C．5 D．6【解析】解：．的周期為6，（1）．故選：．變式7．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，若，則A．0 B． C．3 D．6【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)滿足，則，又由為偶函數(shù)，則有，則有，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，又由，令可得：（1）（1），變形可得（1），（2），（3）（1），則，故選：．變式8．已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點對稱，且當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間，上的A．最小值為 B．最小值為 C．最大值為0 D．最大值為【解析】解：由函數(shù)為上的奇函數(shù)，可知圖象關(guān)于對稱，，圖象關(guān)于點對稱，則，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時，，時，根據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點對稱可知，，在，上單調(diào)遞減，函數(shù)取得最小值（2），，在區(qū)間，上取得最小值，故選：．變式9．已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱，當(dāng)時，則當(dāng)，時，的最小值為A．0 B． C． D．【解析】解：關(guān)于對稱，，，的周期為6，，時，最小值即為，時的最小值．，，，（3）（3），（3），，，．故選：．變式10．已知函數(shù)是定義在上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則．【解析】解：是定義在上的周期為2的奇函數(shù)，，（1），即（1）（1），（1），且，又時，，，，．故答案為：．題型三：函數(shù)對稱性與周期性的綜合問題例7．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間，上是增函數(shù)，則有A． B． C． D．【解析】解：由，得，即函數(shù)的周期是8．因為是奇函數(shù)，所以，即函數(shù)關(guān)于對稱，同時關(guān)于對稱．所以，（3）（1），．因為奇函數(shù)在區(qū)間，上是增函數(shù)，所以函數(shù)在，上為增函數(shù)．所以（1），即．故選：．例8．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，關(guān)于對稱且在區(qū)間，上單調(diào)遞增，則A． B． C． D．【解析】解：因為滿足，所以的周期為8，則，，（3），又因為為上的奇函數(shù)，且關(guān)于對稱，所以（3）（1），又在區(qū)間，上單調(diào)遞增，則在，上也是單調(diào)遞增，所以在，上單調(diào)遞增，故（1），所以．故選：．例9．函數(shù)是定義域在上的偶函數(shù)，且，若在區(qū)間，上是減函數(shù)，則A．在區(qū)間，上是增函數(shù)，在區(qū)間，上是增函數(shù) B．在區(qū)間，上是增函數(shù)，在區(qū)間，上是減函數(shù) C．在區(qū)間，上是減函數(shù)，在區(qū)間，上是增函數(shù) D．在區(qū)間，上是減函數(shù)，在區(qū)間，上是減函數(shù)【解析】解：是定義域在上的偶函數(shù)，且，，即，則，即函數(shù)的周期是4，在區(qū)間，上是減函數(shù)，在區(qū)間，上是增函數(shù)，，函數(shù)關(guān)于成中心對稱，則函數(shù)在，上為減函數(shù)，則，上為增函數(shù)，則在，上為增函數(shù)，故選：．變式11．已知是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱．以下關(guān)于的結(jié)論：①是周期函數(shù)；②滿足；③在上單調(diào)遞減；④是滿足條件的一個函數(shù)．其中所有正確的結(jié)論是A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①④【解析】解：函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱．對于①，由于，函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，故，所以，所以函數(shù)是周期函數(shù)，故①正確；對于②，函數(shù)為偶函數(shù)，則，由于函數(shù)為偶函數(shù)，故滿足故②正確；③由于函數(shù)關(guān)于軸對稱，且函數(shù)關(guān)于對稱，所以函數(shù)在上不單調(diào)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減錯誤，故③錯誤；④由于函數(shù)既關(guān)于軸對稱，又關(guān)于對稱，故④正確．故選：．變式12．（多選題）已知是定義域為的奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且當(dāng)，時，，則A．是周期為2的函數(shù) B． C．的值域為， D．在，上有4個零點【解析】解：對于，為上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于對稱，即則是周期為4的周期函數(shù)，錯誤；對于，定義域為的奇函數(shù)，則，是周期為4的周期函數(shù)，則；當(dāng)，時，，則（1），則（1），則，故正確．對于，當(dāng)，時，，此時有，又由為上的奇函數(shù)，則，時，，，函數(shù)關(guān)于對稱，所以函數(shù)的值域，．故正確．對于，，且，時，，，，，，，，，，，，，是奇函數(shù)，，，，的周期為4，，，，，，，，，，根據(jù)解析式，可得，上有4個交點，故正確．故選：．變式13．（多選題）已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，有，且當(dāng)，時，，下列命題錯誤的是A． B．函數(shù)在定義域上是周期為2的函數(shù) C．直線與函數(shù)的圖象有2個交點 D．函數(shù)的值域為，【解析】解：當(dāng)，則，則由時，有，得，當(dāng)時，有，得，則是周期為2的周期函數(shù)，是奇函數(shù)，作出函數(shù)的圖象如圖，則在定義域上不是正切函數(shù)，故錯誤，且（1），（1），故正確，作出函數(shù)的圖象如圖：當(dāng)時，，即在，內(nèi)直線與函數(shù)的圖象有1個交點，故錯誤，函數(shù)的值域為，故錯誤，故選：．變式14．在上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且，若在區(qū)間，上是減函數(shù)，則在區(qū)間，上是增（填增．減）函數(shù)．【解析】解：是偶函數(shù)，，又，則，即，是周期函數(shù)，周期，設(shè)，，則，，當(dāng)，時，，，關(guān)于直線對稱，又在區(qū)間，上是減函數(shù)，根據(jù)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，在，上是增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間，上是單調(diào)增函數(shù)．故答案為：增．變式15．設(shè)函數(shù)的定義域為，若與都是奇函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間，上至少有個50零點．【解析】解：與都是奇函數(shù)①②由①知關(guān)于點對稱，（1）由②知關(guān)于點對稱，又由②得③聯(lián)立①③可得：原函數(shù)周期令，得：，又，，各有25個取值在，上至少有50個零點故答案為：50【過關(guān)測試】一．選擇題1．若定義在上的函數(shù)滿足且，時，，則方程的根的個數(shù)是A．4 B．5 C．6 D．7【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)滿足，則是周期為2的周期函數(shù)，又由，時，，則的圖象如圖，再作出的圖象，分析可得兩個函數(shù)的圖象有4個交點，則方程有4個根，故選：．2．已知是定義在上的奇函數(shù)，滿足．當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間，上的零點個數(shù)是A．3 B．5 C．7 D．9【解析】解：是定義在上的奇函數(shù)，滿足．，可得，函數(shù)的周期為3，當(dāng)時，令，則，解得又函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，在區(qū)間，上，（1），．，（1）又函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，則方程在區(qū)間，上的解有0，1，1.5，2，3，4，4.5，5，6，共9個，故選：．3．已知是上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)時，，則函數(shù)的圖象在區(qū)間，上與軸的交點個數(shù)為A．6 B．7 C．8 D．9【解析】解：由是上最小正周期為2的周期函數(shù)可得（2），即，解得．故當(dāng)時，，故函數(shù)在一個周期上有3個零點，即，1，3．再由函數(shù)的周期性可得，在區(qū)間，上有9個零點，即，1，2，3，4，5，6，7，8，9．故選：．4．已知定義在上的函數(shù)且．若方程有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【解析】解：作函數(shù)與的圖象如下，，直線恒過點，，，，，結(jié)合圖象可知，實數(shù)的取值范圍是，故選：．5．定義在上的偶函數(shù)滿足，且在，上是增函數(shù)，、是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則A． B． C． D．【解析】解：由得即，所以函數(shù)的周期為2，因為在，上是增函數(shù)，所以在，上為增函數(shù)，因為為偶函數(shù)，所以在，上為單調(diào)減函數(shù)．因為在銳角三角形中，，所以，所以，所以，因為在，上為單調(diào)減函數(shù)．所以，故選：．6．定義在上的偶函數(shù)滿足，且在，上是增函數(shù)，，是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則A． B． C． D．【解析】解：、是銳角三角形的兩個內(nèi)角，，可得，在區(qū)間上是減函數(shù)，，，即銳角三角形的兩個內(nèi)角、是滿足，函數(shù)滿足，，可得函數(shù)是周期為2的函數(shù)．在，上是增函數(shù)，在，上也是增函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，可得在，上是減函數(shù)．銳角三角形的兩個內(nèi)角、是滿足，且、，．故選：．7．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且，時，，則下列說法正確的是A．（3） B．函數(shù)在，上是增函數(shù) C．函數(shù)關(guān)于直線對稱 D．若關(guān)于的方程在，上所有根之和為，則一定有【解析】解：取，得（1），所以（3），故正確；奇函數(shù)，，時，，，時，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)關(guān)于直線對稱，函數(shù)在，上是減函數(shù)，故不正確；定義在上的奇函數(shù)滿足，則，，函數(shù)關(guān)于直線對稱，故不正確；若，則關(guān)于的方程在，上有4個根，其中兩根的和為，另兩根的和為，所以所有根之和為．反之，不一定成立，故不正確．故選：．8．若定義在上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間，上單調(diào)遞減，則A． B． C． D．【解析】解：，，函數(shù)的周期，（2），又函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間，上單調(diào)遞減，函數(shù)必在區(qū)間，單調(diào)遞增，由對稱性可知（1）故選：．9．已知定義在正整數(shù)集上的函數(shù)滿足條件：（1），（2），，則的值為A．2 B． C．4 D．【解析】解：由題意，（1），（2），，（3），（4），，兩式相加，得函數(shù)值以6為周期，周期出現(xiàn)（4）故選：．二．多選題10．已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，則A．函數(shù)是周期函數(shù) B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 C．函數(shù)為上的偶函數(shù) D．函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)【解析】解：因為，所以，即，故正確；因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖像關(guān)于原點成中心對稱．將的圖象向左平移1個單位可得的圖象，則的圖象關(guān)于點對稱，所以正確；又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即，根據(jù)，有，即函數(shù)為上的偶函數(shù)，正確；因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，又函數(shù)為上的偶函數(shù)，（1），所以函數(shù)不單調(diào)，不正確．故選：．11．函數(shù)的定義域為，且與都為奇函數(shù)，則A．為奇函數(shù) B．為周期函數(shù) C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【解析】解：與都為奇函數(shù)，①，②，由①可得，即③，由②③得，所以的周期為2，，則為奇函數(shù)，，則為奇函數(shù)，故選：．12．函數(shù)的定義域為，且與都為奇函數(shù)，則A．為奇函數(shù) B．為周期函數(shù) C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【解析】解：根據(jù)題意，都為奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點對稱，則有，又由為奇函數(shù)，則，則有，則是周期為2的周期函數(shù)，正確，又由的圖象關(guān)于點對稱，則點和也是函數(shù)圖象的對稱中心，則函數(shù)與都是奇函數(shù)，則、正確；對于，，是奇函數(shù)，錯誤；故選：．三．填空題13．已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)，時，則關(guān)于函數(shù)有如下四個結(jié)論：①為偶函數(shù)；②的圖象關(guān)于直線對稱；③方程有兩個不等實根；④其中所有正確結(jié)論的編號是【解析】解：對于①，由題意知，所以是周期為2的函數(shù)；當(dāng)，時，，，所以為偶函數(shù)，①正確；對于②，是偶函數(shù)，對稱軸是，又是周期為2的函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對稱，②正確；對于③，由①②知是周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，由函數(shù)和的圖象知，方程有兩個不同的實數(shù)根，③正確；對于④，是周期為2的函數(shù)，且為偶函數(shù)，在，上是單調(diào)減函數(shù)；所以；又，所以，即，所以④錯誤．綜上知，正確的命題序號是①②③．故答案為：①②③．四．解答題14．是定義在上的奇函數(shù)，且十，當(dāng)時．．（1）求函數(shù)的周期；（2）求函數(shù)在時的表達(dá)式；（3）求．【解析】解：（1）；即；的周期為4；（2）設(shè)，則；；；即時，；（3）．15．已知是定義在上的函數(shù)，滿足．（1）求證：是周期函數(shù)，并求周期；（2）當(dāng)，時，，求在，的解析式；（3）當(dāng)，時，對于（2）中的函數(shù)，求的解析式．【解析】（1）證明：是定義在上的函數(shù)，滿足．，是周期函數(shù)，周期．（2）解：設(shè)，，則，．當(dāng)，時，，，解得．（3）解：由（2）可得：．，時，，，．16．設(shè)函數(shù)滿足：①對任意實數(shù)，都有；②對任意，都有恒成立；③