作業(yè)P227習(xí)題8.11(2)(4)(6)(8).4.P236習(xí)題8.21(2)(4)(6).10/14/20251第1頁(yè)第二十一講簡(jiǎn)單常微分方程(一)一、微分方程基本概念二、一階常微分方程10/14/20252第2頁(yè)十七世紀(jì)末，力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及工程技術(shù)提出大量需要尋求函數(shù)關(guān)系問題。在這些問題中，函數(shù)關(guān)系不能直接寫出來，而要依據(jù)詳細(xì)問題條件和一些物理定律，首先得到一個(gè)或幾個(gè)含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)關(guān)系式，即微分方程，然后由微分方程和一些已知條件把未知函數(shù)求出來。一、微分方程基本概念10/14/20253第3頁(yè)重力切向分力[解]10/14/20254第4頁(yè)依據(jù)牛頓第二定律,得到注意到從而有微分方程初始條件定解條件定解問題10/14/20255第5頁(yè)

定義1:含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)方程稱為微分方程.未知函數(shù)是一元函數(shù),含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)微分方程稱為常微分方程.未知函數(shù)是多元函數(shù),含有未知函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)微分方程稱為偏微分方程.比如10/14/20256第6頁(yè)比如二階未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)最高階數(shù)稱為微分方程階.定義2:(微分方程階)10/14/20257第7頁(yè)未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次整式微分方程稱為線性微分方程.定義3:(線性與非線性)10/14/20258第8頁(yè)定義4:(微分方程解)稱為微分方程通解.微分方程通解：10/14/20259第9頁(yè)10/14/202510第10頁(yè)微分方程特解：一個(gè)常微分方程滿足定解條件解稱為微分方程特解通解有時(shí)也寫成隱式形式稱為微分方程通積分10/14/202511第11頁(yè)10/14/202512第12頁(yè)有n個(gè)定解條件10/14/202513第13頁(yè)定義5:(積分曲線與積分曲線族)積分曲線族10/14/202514第14頁(yè)二、一階常微分方程初等積分法所謂初等解法,就是用不定積分方法求解常微分方程.初等解法只適合用于若干非常簡(jiǎn)單一階常微分方程,以及一些特殊類型二階常微分方程.10/14/202515第15頁(yè)(一)

變量可分離型(三)一階線性方程(二)可化為可分離變量(五)全微分方程(四)伯努利(Bernoulli)方程(六)積分因子10/14/202516第16頁(yè)兩邊積分通解分離變量這兩個(gè)方程共同特點(diǎn)是變量可分離型(一)

分離變量法10/14/202517第17頁(yè)(1)[解]兩邊積分分離變量即10/14/202518第18頁(yè)(分離變量時(shí),這個(gè)解被丟掉了!)于是得到方程通解10/14/202519第19頁(yè)(2)[解]分離變量?jī)啥朔e分,得通解奇異解10/14/202520第20頁(yè)(二)可化為可分離變量這兩個(gè)方程共同特點(diǎn)是什麼?可化為齊次型方程10/14/202521第21頁(yè)求解方法這是什麼方程？可分離變量方程！10/14/202522第22頁(yè)分離變量?jī)啥朔e分10/14/202523第23頁(yè)取指數(shù)而且脫去絕對(duì)值由此又得到通解10/14/202524第24頁(yè)10/14/202525第25頁(yè)兩端積分得通解10/14/202526第26頁(yè)10/14/202527第27頁(yè)(三)一階線性微分方程10/14/202528第28頁(yè)性質(zhì)1：性質(zhì)2：性質(zhì)3：10/14/202529第29頁(yè)性質(zhì)4：性質(zhì)5：10/14/202530第30頁(yè)(1)怎樣解齊次方程？非齊次齊次可分離型！標(biāo)準(zhǔn)形式：什麼類型？一階線性微分方程10/14/202531第31頁(yè)分離變量是p(x)一個(gè)原函數(shù)不是不定積分！齊次通解解得注意：齊次通解結(jié)構(gòu)：10/14/202532第32頁(yè)(2)用常數(shù)變異法解非齊次方程假定(1)解含有形式將這個(gè)解代入(1),經(jīng)計(jì)算得到10/14/202533第33頁(yè)化簡(jiǎn)得到即10/14/202534第34頁(yè)積分從而得到非齊次方程(1)通解非齊次通解或10/14/202535第35頁(yè)非齊次通解結(jié)構(gòu)：特解非齊次特解10/14/202536