2025年下學期初中探究學習數學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.矩形D.正五邊形已知點P（m+2，2m-4）在x軸上，則點P的坐標是（）A.（4，0）B.（0，4）C.（-4，0）D.（0，-4）下列計算正確的是（）A.a3+a2=a?B.（a3）2=a?C.a?÷a2=a3D.a3·a2=a?某班50名學生的身高數據如下表所示：|身高（cm）|150≤x<155|155≤x<160|160≤x<165|165≤x<170|170≤x<175||----|----|----|----|----|----||人數|3|12|18|14|3|則這組數據的中位數落在（）A.155≤x<160B.160≤x<165C.165≤x<170D.170≤x<175若關于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（）A.m<1B.m>1C.m≤1D.m≥1如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1，則EC的長是（）A.1.5B.2C.2.5D.3已知反比例函數y=k/x的圖象經過點（2，-3），則這個函數的圖象一定經過點（）A.（-3，-2）B.（-2，-3）C.（-2，3）D.（3，2）一個圓錐的底面半徑為3cm，母線長為5cm，則這個圓錐的側面積是（）A.15πcm2B.20πcm2C.25πcm2D.30πcm2如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以點C為圓心，r為半徑作圓，若圓C與直線AB相切，則r的值為（）A.2B.2.4C.2.5D.3已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（）A.a>0，b>0，c>0B.a<0，b<0，c>0C.a<0，b>0，c<0D.a<0，b>0，c>0二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）分解因式：x3-4x=______．若式子√(x-2)在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是______．一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機摸出一個球，摸到紅球的概率是______．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，若AC=8，BD=10，則OA的長為______，OB的長為______．已知點A（1，y?）、B（2，y?）在函數y=-x2+2x+1的圖象上，則y?與y?的大小關系是y?______y?（填“>”、“<”或“=”）．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，將△ABC繞點B順時針旋轉60°得到△A'B'C'，則點A'到AC的距離是______．三、解答題（本大題共8小題，共72分）（8分）計算：（-1）2?2?+√12-4sin60°+（π-3.14）?．（8分）先化簡，再求值：（x-1）÷（x-2x+1/x），其中x=√2+1．（8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點D、E分別在AB、AC上，且AD=AE，求證：BD=CE．（8分）某校為了解學生對“垃圾分類”知識的掌握情況，隨機抽取了部分學生進行問卷調查，將調查結果分為“A.非常了解”、“B.了解”、“C.基本了解”、“D.不了解”四個等級，并根據調查結果繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請根據統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：（1）本次調查共抽取了多少名學生？（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）若該校共有1200名學生，請估計該校對“垃圾分類”知識“非常了解”的學生人數．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=m/x的圖象交于A（-2，1）、B（1，n）兩點．（1）求反比例函數和一次函數的表達式；（2）根據圖象直接寫出當kx+b>m/x時，x的取值范圍．（10分）某商店準備購進A、B兩種商品，已知購進A商品3件和B商品2件，共需120元；購進A商品5件和B商品4件，共需220元．（1）求A、B兩種商品每件的進價分別是多少元？（2）若該商店準備用不超過1000元購進這兩種商品，且A商品數量不少于B商品數量的2倍，問最多能購進多少件A商品？（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C作⊙O的切線CD交AB的延長線于點D，連接AC、BC．（1）求證：∠ACD=∠B；（2）若OA=2，∠D=30°，求BC的長．（12分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．（1）求拋物線的表達式；（2）點P是拋物線上一動點，且在直線BC上方，連接PB、PC，求△PBC面積的最大值及此時點P的坐標；（3）點M是拋物線上一動點，在x軸上是否存在點N，使以A、C、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．參考答案與解析一、選擇題C【解析】矩形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故選C．A【解析】∵點P在x軸上，∴2m-4=0，解得m=2，∴m+2=4，∴點P的坐標是（4，0），故選A．D【解析】A選項，a3與a2不是同類項，不能合并；B選項，（a3）2=a?；C選項，a?÷a2=a?；D選項，a3·a2=a?，正確，故選D．B【解析】共有50名學生，中位數是第25、26名學生身高的平均數，前兩組共有3+12=15人，前三組共有15+18=33人，∴第25、26名學生的身高落在160≤x<165范圍內，故選B．A【解析】∵方程有兩個不相等的實數根，∴△=（-2）2-4m>0，解得m<1，故選A．A【解析】∵DE∥BC，∴AD/DB=AE/EC，即2/3=1/EC，解得EC=1.5，故選A．C【解析】∵反比例函數y=k/x經過點（2，-3），∴k=2×（-3）=-6，∴反比例函數的表達式為y=-6/x．A選項，-3×（-2）=6≠-6；B選項，-2×（-3）=6≠-6；C選項，-2×3=-6；D選項，3×2=6≠-6，故選C．A【解析】圓錐的側面積=πrl=π×3×5=15πcm2，故選A．B【解析】在Rt△ABC中，AB=√(AC2+BC2)=√(32+42)=5，設點C到AB的距離為h，則S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×AB×h，即1/2×3×4=1/2×5×h，解得h=2.4，∵圓C與直線AB相切，∴r=h=2.4，故選B．D【解析】∵拋物線開口向下，∴a<0；∵拋物線的對稱軸在y軸右側，∴-b/2a>0，又∵a<0，∴b>0；∵拋物線與y軸交于正半軸，∴c>0，故選D．二、填空題x(x+2)(x-2)【解析】x3-4x=x(x2-4)=x(x+2)(x-2)．x≥2【解析】由題意得x-2≥0，解得x≥2．3/5【解析】袋子中共有5個球，其中紅球有3個，∴摸到紅球的概率是3/5．4，5【解析】∵平行四邊形的對角線互相平分，∴OA=1/2AC=4，OB=1/2BD=5．【解析】函數y=-x2+2x+1的對稱軸為直線x=-b/2a=-2/(2×(-1))=1，∵a=-1<0，∴當x>1時，y隨x的增大而減小，∵1<2，∴y?>y?．√3+1【解析】在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，∴AB=4，AC=2√3．將△ABC繞點B順時針旋轉60°得到△A'B'C'，則A'B=AB=4，∠ABA'=60°，∴△ABA'是等邊三角形，∴AA'=AB=4，∠BAA'=60°，∴∠CA'A=∠CAB+∠BAA'=30°+60°=90°，∴A'到AC的距離為AA'·sin60°=4×√3/2=2√3，又∵AC=2√3，∴點A'到AC的距離為2√3×1/2+2×1/2=√3+1．三、解答題解：原式=-1+2√3-4×√3/2+1=-1+2√3-2√3+1=0解：原式=（x-1）÷（x2-2x+1/x）=（x-1）÷（(x-1)2/x）=（x-1）×x/(x-1)2=x/(x-1)當x=√2+1時，原式=(√2+1)/(√2+1-1)=(√2+1)/√2=（2+√2）/2=1+√2/2證明：∵AB=AC，AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE．解：（1）本次調查共抽取的學生人數為：20÷40%=50（名）；（2）C等級的學生人數為：50-10-20-5=15（名），補全條形統(tǒng)計圖略；（3）該校對“垃圾分類”知識“非常了解”的學生人數約為：1200×（10/50）=240（名）．解：（1）∵反比例函數y=m/x的圖象經過點A（-2，1），∴m=-2×1=-2，∴反比例函數的表達式為y=-2/x．∵點B（1，n）在反比例函數y=-2/x的圖象上，∴n=-2/1=-2，∴點B的坐標為（1，-2）．將A（-2，1）、B（1，-2）代入y=kx+b，得{-2k+b=1，k+b=-2，解得{k=-1，b=-1，∴一次函數的表達式為y=-x-1；（2）x的取值范圍是x<-2或0<x<1．解：（1）設A商品每件的進價為x元，B商品每件的進價為y元，根據題意得{3x+2y=120，5x+4y=220，解得{x=20，y=30，答：A商品每件的進價為20元，B商品每件的進價為30元；（2）設購進A商品m件，則購進B商品（1000-20m）/30件，根據題意得m≥2×（1000-20m）/30，解得m≥40，∵m為整數，∴m的最大值為40，答：最多能購進40件A商品．（1）證明：連接OC，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，∴∠ACD+∠OCA=90°．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠OAC=90°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACD=∠B；（2）解：∵OA=2，∴AB=2OA=4，OC=OA=2．∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴OD=2OC=4，∴AD=OD+OA=4+2=6，∴CD=√(OD2-OC2)=√(42-22)=2√3．∵∠ACD=∠B，∠D=∠D，∴△ACD∽△CBD，∴AC/CB=CD/BD=AD/CD，∴AC/CB=2√3/(OD-OB)=2√3/(4-2)=√3，設BC=x，則AC=√3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即（√3x）2+x2=42，解得x=2，∴BC的長為2．解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，得{a-b+c=0，9a+3b+c=0，c=3，解得{a=-1，b=2，c=3，∴拋物線的表達式為y=-x2+2x+3；（2）設直線BC的表達式為y=kx+d，將B（3，0）、C（0，3）代入，得{3k+d=0，d=3，解得{k=-1，d=3，∴直線BC的