2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)多題一解歸納試卷專題一：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的構(gòu)造函數(shù)法題型1：切線方程的統(tǒng)一求解策略核心方法：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線斜率等于該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值），結(jié)合點(diǎn)斜式方程求解。例題1：求函數(shù)$f(x)=x^3-2x+1$在點(diǎn)$(1,0)$處的切線方程。解析：求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-2$；切線斜率$k=f'(1)=3(1)^2-2=1$；由點(diǎn)斜式方程得$y-0=1(x-1)$，即$y=x-1$。例題2：已知曲線$y=\lnx$在點(diǎn)$(a,\lna)$處的切線過原點(diǎn)，求$a$的值。解析：求導(dǎo)得$y'=\frac{1}{x}$，切線斜率$k=\frac{1}{a}$；切線方程為$y-\lna=\frac{1}{a}(x-a)$；代入原點(diǎn)$(0,0)$：$0-\lna=\frac{1}{a}(0-a)\Rightarrow-\lna=-1\Rightarrowa=e$。共性總結(jié)：無論函數(shù)類型（多項(xiàng)式、對數(shù)、指數(shù)），切線問題均需通過“求導(dǎo)得斜率→代入點(diǎn)斜式→結(jié)合已知條件求解”三步完成。題型2：恒成立問題中的參數(shù)分離法核心方法：將含參不等式轉(zhuǎn)化為$a\geqf(x)$（或$a\leqf(x)$）的形式，通過求函數(shù)$f(x)$的最值確定參數(shù)范圍。例題3：若對任意$x>0$，不等式$x^2-ax+1\geq0$恒成立，求$a$的取值范圍。解析：分離參數(shù)得$a\leqx+\frac{1}{x}$；令$f(x)=x+\frac{1}{x}$，求導(dǎo)得$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}$；令$f'(x)=0$，解得$x=1$（$x>0$）；$f(x)$在$(0,1)$遞減，$(1,+\infty)$遞增，最小值$f(1)=2$，故$a\leq2$。例題4：已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1$對$x\geq0$恒成立，求$a$的最大值。解析：分離參數(shù)得$a\leq\frac{e^x-1}{x}$（$x>0$），$x=0$時$f(0)=0$恒成立；令$g(x)=\frac{e^x-1}{x}$，求導(dǎo)得$g'(x)=\frac{e^x(x-1)+1}{x^2}$；當(dāng)$x\geq0$時，$g'(x)\geq0$，$g(x)$遞增，$g(x){\min}=g(0)=\lim\limits{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$，故$a\leq1$。共性總結(jié)：恒成立問題可通過參數(shù)分離轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，需注意定義域及端點(diǎn)值的驗(yàn)證。專題二：三角函數(shù)中的輔助角公式應(yīng)用題型3：三角函數(shù)最值的統(tǒng)一求法核心方法：利用輔助角公式$a\sinx+b\cosx=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$（其中$\tan\varphi=\frac{a}$）化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)有界性求最值。例題5：求函數(shù)$f(x)=\sinx+\sqrt{3}\cosx$的最大值及最小正周期。解析：輔助角公式化簡：$f(x)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$；最大值為$2$，最小正周期$T=2\pi$。例題6：求函數(shù)$f(x)=\sin2x+\cos2x$在區(qū)間$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最小值。解析：化簡得$f(x)=\sqrt{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$；$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$時，$2x+\frac{\pi}{4}\in[\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}]$；$\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$最小值為$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，故$f(x)_{\min}=\sqrt{2}\times(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-1$。共性總結(jié)：含$\sinx$與$\cosx$的一次式或二次式（如$\sin^2x+\cosx$）均需先通過三角恒等變換（輔助角公式、二倍角公式）轉(zhuǎn)化為單一三角函數(shù)，再利用有界性求最值。專題三：數(shù)列求和中的錯位相減法核心方法：適用于等差數(shù)列${a_n}$與等比數(shù)列${b_n}$乘積形式的數(shù)列${a_n\cdotb_n}$，通過“乘公比→錯位相減→化簡求和”三步求解。例題7：求數(shù)列${n\cdot2^n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$。解析：寫出$S_n=1\cdot2^1+2\cdot2^2+\cdots+n\cdot2^n$；兩邊乘公比$2$：$2S_n=1\cdot2^2+2\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^{n+1}$；錯位相減：$S_n-2S_n=2^1+2^2+\cdots+2^n-n\cdot2^{n+1}$$-S_n=2(2^n-1)-n\cdot2^{n+1}$$S_n=(n-1)2^{n+1}+2$。例題8：求數(shù)列${(2n-1)\cdot(\frac{1}{3})^n}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$。解析：$T_n=1\cdot(\frac{1}{3})^1+3\cdot(\frac{1}{3})^2+\cdots+(2n-1)\cdot(\frac{1}{3})^n$；乘公比$\frac{1}{3}$：$\frac{1}{3}T_n=1\cdot(\frac{1}{3})^2+3\cdot(\frac{1}{3})^3+\cdots+(2n-1)\cdot(\frac{1}{3})^{n+1}$；錯位相減后化簡得$T_n=1-\frac{n+1}{3^n}$。共性總結(jié)：錯位相減法的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確寫出$S_n$與$qS_n$的表達(dá)式，對齊同類項(xiàng)后相減，最終利用等比數(shù)列求和公式化簡。專題四：立體幾何中的空間向量法核心方法：通過建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算（求法向量、夾角、距離等）。例題9：在棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，求直線$A_1B$與平面$BDC_1$所成角的正弦值。解析：建立坐標(biāo)系：設(shè)$D(0,0,0)$，$B(2,2,0)$，$C_1(0,2,2)$，$A_1(2,0,2)$；向量$\overrightarrow{A_1B}=(0,2,-2)$，平面$BDC_1$的法向量$\mathbf{n}=(1,-1,1)$（求法：解方程組$\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{DB}=0$，$\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{DC_1}=0$）；線面角$\theta$的正弦值$\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{A_1B},\mathbf{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{A_1B}\cdot\mathbf{n}|}{|\overrightarrow{A_1B}||\mathbf{n}|}=\frac{|0-2-2|}{\sqrt{8}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。例題10：已知三棱錐$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB\perpAC$，$PA=AB=AC=1$，求二面角$B-PC-A$的余弦值。解析：建立坐標(biāo)系：設(shè)$A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(0,1,0)$，$P(0,0,1)$；平面$APC$的法向量$\mathbf{n_1}=(1,0,0)$（$AB\perp$平面$APC$）；平面$BPC$的法向量$\mathbf{n_2}=(1,1,1)$（解方程組$\mathbf{n_2}\cdot\overrightarrow{PC}=0$，$\mathbf{n_2}\cdot\overrightarrow{BC}=0$）；二面角余弦值$\cos\theta=|\cos\langle\mathbf{n_1},\mathbf{n_2}\rangle|=\frac{1}{\sqrt{1}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。共性總結(jié)：空間角（線面角、二面角）問題均需通過“建系→求向量→算夾角”三步完成，法向量的求解是核心步驟?？偨Y(jié)與拓展多題一解的本質(zhì)是提煉同類問題的通用思維模式