2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)建模能力測(cè)評(píng)試卷一、概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析（30分）1.校園防疫物資分配問(wèn)題（15分）某高中需為住校生分配口罩和消毒液兩類防疫物資，已知：全校共1200名住校生，其中高一450人、高二350人、高三400人口罩每周消耗量服從正態(tài)分布N(1200,1502)只，消毒液每周消耗量服從均勻分布U(80,120)升學(xué)校需儲(chǔ)備2周用量，且口罩庫(kù)存需滿足95%置信區(qū)間的需求（1）計(jì)算口罩的儲(chǔ)備量（精確到整數(shù)）；（2）若消毒液每升成本12元，口罩每個(gè)0.5元，計(jì)算總采購(gòu)預(yù)算；（3）設(shè)計(jì)按年級(jí)人數(shù)比例分配物資的方案，并寫出分配公式。2.學(xué)生成績(jī)分析模型（15分）某班級(jí)50名學(xué)生的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?5,78,92,65,88,95,76,80,83,79,90,85,72,86,89,91,77,84,81,87,75,93,82,74,80,88,94,73,85,83,70,86,92,78,81,89,76,84,87,90,79,82,85,77,83,88,71,86,80,84（1）計(jì)算成績(jī)的均值、中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差；（2）用頻數(shù)分布表（組距10分）繪制成績(jī)直方圖；（3）建立成績(jī)與學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)（x小時(shí)/周）的線性回歸模型y=ax+b，已知樣本相關(guān)系數(shù)r=0.72，計(jì)算回歸系數(shù)a和b。二、優(yōu)化模型與線性規(guī)劃（30分）3.校園快遞點(diǎn)選址問(wèn)題（15分）某校區(qū)有三個(gè)學(xué)生公寓區(qū)A、B、C，坐標(biāo)分別為(0,0)、(300,400)、(600,200)（單位：米），學(xué)生人數(shù)分別為1200人、800人、1000人。計(jì)劃建設(shè)一個(gè)快遞點(diǎn)，要求：到各公寓區(qū)的加權(quán)距離總和最小（權(quán)重為學(xué)生人數(shù)）距離主干道（直線y=500）不超過(guò)100米位于校區(qū)矩形區(qū)域內(nèi)（0≤x≤800，0≤y≤600）（1）建立選址問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)；（2）用圖解法確定最優(yōu)位置坐標(biāo)；（3）計(jì)算最小加權(quán)距離總和。4.社團(tuán)活動(dòng)時(shí)間安排（15分）學(xué)校社團(tuán)聯(lián)計(jì)劃安排5個(gè)社團(tuán)在周五下午進(jìn)行活動(dòng)，每個(gè)社團(tuán)活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)2小時(shí)，現(xiàn)有3間活動(dòng)室，時(shí)間slots為14:00-16:00、16:00-18:00。已知各社團(tuán)成員交叉情況如下表（1表示兩社團(tuán)有成員重疊）：社團(tuán)123451-101021-101301-104101-150101-（1）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖著色問(wèn)題，畫出沖突關(guān)系圖；（2）確定最少需要的時(shí)間段數(shù)量；（3）給出具體的活動(dòng)安排表。三、微分方程與動(dòng)態(tài)模型（25分）5.校園共享單車投放模型（15分）某共享單車公司在校園投放自行車，初始投放1000輛，已知：每日新增用戶租用需求N(t)=200+50t（t為天數(shù)）車輛損壞率為每日0.5%公司每日補(bǔ)充投放50輛（1）建立車輛數(shù)量變化的微分方程模型；（2）求解第30天的車輛保有量；（3）若要保持車輛數(shù)量穩(wěn)定在1500輛，計(jì)算每日需補(bǔ)充的投放量。6.人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)（10分）某地區(qū)人口增長(zhǎng)符合Logistic模型：dP/dt=rP(1-P/K)，其中r=0.02/年，K=100萬(wàn)（環(huán)境容量），2025年人口為50萬(wàn)。（1）預(yù)測(cè)2035年該地區(qū)人口數(shù)量；（2）計(jì)算人口達(dá)到80萬(wàn)的年份；（3）分析模型中參數(shù)K的敏感性。四、圖論與網(wǎng)絡(luò)模型（25分）7.校園網(wǎng)絡(luò)布線問(wèn)題（15分）某新建教學(xué)樓有6個(gè)樓層，需要鋪設(shè)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)線路，各樓層間布線成本（單位：百元）如下表：樓層1-21-32-32-43-54-54-65-6成本8125107694（1）用Prim算法求最小生成樹(shù)，寫出步驟；（2）計(jì)算最小布線總成本；（3）若樓層5到6的布線成本上漲50%，重新計(jì)算最小生成樹(shù)。8.公交線路優(yōu)化（10分）某城市公交線路網(wǎng)絡(luò)有8個(gè)站點(diǎn)，站點(diǎn)間距離（單位：公里）如下：站點(diǎn)1：與2(3km)、3(5km)、4(4km)相連站點(diǎn)2：與1(3km)、5(2km)、6(6km)相連站點(diǎn)3：與1(5km)、5(3km)、7(4km)相連站點(diǎn)4：與1(4km)、6(3km)、7(2km)相連站點(diǎn)5：與2(2km)、3(3km)、8(5km)相連站點(diǎn)6：與2(6km)、4(3km)、8(4km)相連站點(diǎn)7：與3(4km)、4(2km)、8(3km)相連站點(diǎn)8：與5(5km)、6(4km)、7(3km)相連（1）用Dijkstra算法求從站點(diǎn)1到站點(diǎn)8的最短路徑；（2）計(jì)算最短路徑的總距離；（3）若站點(diǎn)5到8的道路施工，通行時(shí)間增加20分鐘（平均車速30km/h），求新的最短路徑。五、綜合建模題（40分）9.校園食堂運(yùn)營(yíng)優(yōu)化（40分）某高校食堂每天供應(yīng)早中晚三餐，面臨以下問(wèn)題：早中晚三餐的用餐高峰分別為7:00-8:30、11:30-13:00、17:30-19:00食堂現(xiàn)有座位200個(gè)，平均每位學(xué)生用餐時(shí)間20分鐘食材采購(gòu)成本與用量關(guān)系：C(x)=500+12x+0.01x2（x為食材總重量kg）學(xué)生對(duì)不同菜品的滿意度調(diào)查顯示：套餐A（12元）滿意度85%，套餐B（15元）滿意度92%，套餐C（10元）滿意度78%每日運(yùn)營(yíng)成本包括：人工成本2000元，水電成本500元，其他固定成本800元要求完成以下建模任務(wù)：（1）建立食堂最大接待能力的計(jì)算模型，并計(jì)算各餐次可接待人數(shù)；（2）設(shè)計(jì)包含三種套餐的組合銷售方案，使?jié)M意度加權(quán)平均最高，且人均消費(fèi)不低于11元；（3）建立利潤(rùn)最大化的數(shù)學(xué)模型，確定最優(yōu)食材采購(gòu)量和套餐定價(jià)；（4）提出改進(jìn)食堂運(yùn)營(yíng)效率的3條具體建議，并進(jìn)行可行性分析。六、建模方法與模型評(píng)價(jià)（20分）10.模型構(gòu)建與評(píng)價(jià)（20分）針對(duì)"校園外賣配送時(shí)間優(yōu)化"問(wèn)題：（1）列出至少5個(gè)影響配送時(shí)間的關(guān)鍵因素；（2）選擇合適的建模方法，說(shuō)明理由；（3）設(shè)計(jì)模型的檢驗(yàn)方案，包括數(shù)據(jù)收集方法和評(píng)價(jià)指標(biāo)；（4）分析模型的局限性，并提出改進(jìn)方向。七、編程與數(shù)值計(jì)算（30分）11.數(shù)值計(jì)算編程題（30分）（1）用二分法求解方程x3-2x-5=0在區(qū)間[2,3]內(nèi)的根，精確到0.001；（2）用梯形公式計(jì)算定積分∫?1e^(-x2)dx，取n=10；（3）編寫Python代碼實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單的線性回歸預(yù)測(cè)（要求包含數(shù)據(jù)輸入、參數(shù)計(jì)算、預(yù)測(cè)輸出功能）。八、開(kāi)放創(chuàng)新題（20分）12.創(chuàng)新建模設(shè)計(jì)（20分）選擇以下任一主題，設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)學(xué)建模方案：A.校園垃圾分類回收優(yōu)化模型B