第08講整式的乘法（十二大題型）學(xué)習(xí)目標1、會進行單項式的乘法,單項式與整式的乘法,整式的乘法計算2、會利用整式的乘法求字母或代數(shù)式的值；3、整式乘法的應(yīng)用一、單項式的乘法法則單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.【方法規(guī)律】（1）單項式的乘法法則的實質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結(jié)果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.二、單項式與整式相乘的運算法則單項式與整式相乘，就是用單項式去乘整式的每一項，再把所得的積相加.即.【方法規(guī)律】（1）單項式與整式相乘的計算方法，實質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與整式的乘積仍是一個整式，項數(shù)與原整式的項數(shù)相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，整式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應(yīng)注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.三、整式與整式相乘的運算法則整式與整式相乘，先用一個整式的每一項乘另一個整式的每一項，再把所得的積相加.即.【方法規(guī)律】整式與整式相乘，仍得整式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)該等于兩個整式的項數(shù)之積.整式與整式相乘的最后結(jié)果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.【即學(xué)即練1】計算：(1)(2)(3)(4)【即學(xué)即練2】計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【即學(xué)即練3】先化簡，再求值：(1)，其中；(2)，其中．題型1：單項式乘以單項式【典例1】．計算：(1)；(2)；(3)．【典例2】．計算：(1)．(2)．(3)．(4)．題型2：利用單項式的乘法求字母或代數(shù)式的值【典例3】．先化簡，再求值：，其中，．【典例4】．若＝－10，則m－n等于（

）A．－3 B．－1 C．1 D．3【典例5】．若（am＋1bn＋2）?（a2n-1b2m）＝a5b3，則m＋n的值為（）A．1 B．2 C．3 D．﹣3題型3：計算單項式乘以整式【典例6】．（1）計算：；（2）計算：；（3）計算：；（4）計算：．【典例7】．計算：(1)；(2)；(3)．【典例8】．計算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．題型4：計算單項式乘以整式的求值問題【典例9】．化簡求值：，其中，．【典例10】．先化簡，再求值：，其中．【典例11】．若，則a的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．8【典例12】．已知，當x為任意數(shù)時該等式都成立，則的值為（

）A．17 B． C． D．-17題型5：利用單項式乘以整式求字母的值【典例13】．若計算的結(jié)果中不含有項，則a的值為（

）A． B．0 C．2 D．【典例14】．如果的結(jié)果中不含x的五次項，那么m的值為（

）A．1 B．0 C．-1 D．【典例15】．計算：□，□內(nèi)應(yīng)填寫（

）A．－10xy B． C．＋40 D．＋40xy題型6：單項式乘以整式的綜合應(yīng)用【典例16】．某同學(xué)在計算﹣3x2乘一個整式時錯誤的計算成了加法，得到的答案是x2﹣x+1，由此可以推斷該整式是（）A．4x2﹣x+1 B．x2﹣x+1 C．﹣2x2﹣x+1 D．無法確定【典例17】．一個長方體的長、寬、高分別為、、，它的體積等于（

）A． B． C． D．【典例18】．如圖，兩正方形并排在一起，左邊大正方形邊長為右邊小正方形邊長為，則圖中陰影部分的面積可表示為（

）．

A． B．C． D．【典例19】．8張如圖1的長為，寬為（）的小長方形紙片，按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示，如果左上角與右下角的陰影部分的面積始終保持相等，則滿足（

）A． B． C． D．題型7：計算整式乘以整式及求值問題【典例20】．計算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．【典例21】．計算：(1)；(2)；(3)．【典例22】．化簡求值：，其中．【典例23】．已知代數(shù)式化簡后，不含有項和常數(shù)項．(1)求，的值．(2)求的值．題型8：（x+p）（x+q）型整式乘法【典例24】．若，則為（

）A．8 B．2 C． D．【典例25】．，則，的值為（

）.A．， B．， C．， D．，【典例26】．【閱讀材料】代數(shù)式大小的比較我們通常用作差法比較代數(shù)式的大小.例如：已知，，比較和的大?。惹?，若，則；若，則；若，則，反之亦成立．本題中因為，所以．【解決問題】若，，則與的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．由的取值而定題型9：整式乘法不含某項求字母的值【典例27】．若關(guān)于的整式展開合并后不含項,則的值是（

）A． B． C． D．【典例28】．（1）若的展開式中不含和項，求m、n的值．（2）求的值．題型10：圖形問題【典例29】．如圖所示，根據(jù)圖形，寫出一個正確的等式：．

【典例30】．如圖：已知長方形紙片長為，寬為，裁去一個長為，寬為的長方形，則剩余部分面積為．【典例31】．用如圖所示的，，類卡片若干張，拼成一個長為，寬為的長方形，則，，類卡片一共需要張．題型11：整式的乘法綜合【典例32】．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【典例33】．計算：（1）（2）（3）（4）【典例34】．如圖，在一塊長方形土地上修建兩個如圖所示的四分之一圓水池，其余面積（陰影部分）進行綠化處理，兩個四分之一圓的半徑分別為、．

(1)用含，的代數(shù)式表示長方形的長；(2)用含，的代數(shù)式表示綠化土地（陰影部分）的面積；(3)當，時，求綠化土地（陰影部分）的面積．【典例35】．在日歷牌上，我們可以發(fā)現(xiàn)一些日期數(shù)滿足一定的規(guī)律．如圖是今年4月的日歷牌，若任意選擇圖中上下相鄰的四個日期（陰影部分），將其中四個位置上的數(shù)交叉相乘，再相減，例如：，不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是7（1）請再選擇兩個類似的部分試一試，看看是否符合這個規(guī)律．（2）設(shè)符合條件的四個日期左上角位置上的數(shù)為a，請利用整式的運算對以上的規(guī)律加以證明．題型12：材料、規(guī)律題【典例36】．觀察以下等式：(1)按以上等式的規(guī)律，填空：①______．②______．(2)利用整式的乘法法則，說明（1）中②的等式成立．(3)利用（1）中的公式化簡；【典例37】．閱讀∶在計算的過程中，我們可以先從簡單的、特殊的情形入手，再到復(fù)雜的、一般的問題，通過觀察、歸納、總結(jié)，形成解決一類問題的一般方法，數(shù)學(xué)中把這樣的過程叫做特殊到一般．如下所示：[觀察]①；②；③；……(1)[歸納]由此可得∶(2)[應(yīng)用]請運用上面的結(jié)論，解決下列問題：計算∶(3)計算∶【典例38】．在學(xué)習(xí)整式乘以整式時，我們知道的結(jié)果是一個整式，并且最高次項為：，常數(shù)項為．那么一次項是什么呢？要解決這個問題，就是要確定一次項的系數(shù)．通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)：一次項的系數(shù)就是，即一次項為－3x．請參考上面的方法，解決下列問題：(1)計算所得整式的一次項系數(shù)為______；(2)如果計算所得整式不含一次項，則常數(shù)a的值是______；(3)如果，則的值是______．一、單選題1．計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2．計算的結(jié)果是（

）A． B．C． D．3．下列各式中，計算結(jié)果是的是（

）A． B． C． D．4．李老師做了個長方形教具，其中一邊長為，另一邊長為b，則該長方形的面積為（

）A． B．C． D．5．已知，則的值為（）A． B． C．-8 D．96．已知，則代數(shù)式的值為（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．20267．通過計算，比較圖1，圖2中陰影部分的面積，可以驗證的算式是（

）A． B．C． D．8．若，，則M與N的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．M與N的大小由y的取值而定9．已知整式，，且，當整式A中不含x的2次項時，a的值為（

）A． B． C．0 D．110．設(shè)實數(shù)滿足，若，則的值為（

）A． B．14 C． D．6二、填空題11．計算：．12．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．13．已知，則代數(shù)式的值為．14．如圖中的大長方形，分割成四個小長方形，計算其面積可發(fā)現(xiàn)公式：．

15．在數(shù)學(xué)課上，小明計算時，已正確得出結(jié)果，但課后不小心將第二個括號中的常數(shù)染黑了，若結(jié)果中不含有一次項，則被染黑的常數(shù)為．16．已知的展開式中不含三次項和四次項，則展開式中二次項和一次項的系數(shù)之和為．17．如圖，正方形卡片類，類和長方形卡片類若干張，如果要拼一個長為，寬為的大長方形，則需要類卡片張．18．觀察以下等式：，，……根據(jù)你所發(fā)現(xiàn)規(guī)律，計算：．三、解答題19．（1）；

（2）．20．計算：（1）；（2）；（3）；（4）．21．計算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．22．某中學(xué)擴建教學(xué)樓，測量地基時，量得地基長為寬為，試用表示地基的面積，并計算當時地基的面積．23．甲、乙兩人共同計算一道整式：，由于甲抄錯了a的符號，得到的結(jié)果是，乙漏抄了第二個整式中x的系數(shù)，得到的結(jié)果是．(1)求的值；(2)若整式中的a的符號不抄錯，且，請計算這道題的正確結(jié)果．24．計算：（1）；（2）；（3）；（4）．由上面計算的結(jié)果找規(guī)律，觀察右圖，填空：．25．長方形的長為厘米，寬為厘米，其中，如果將原長方形的長和寬各增加3厘米，得到的新長方形面積記為，如果將原長方形的長和寬分別減少2厘米，得到的新長方形面積記為．（1）若、為正整數(shù)，請說明：與的差一定是5的倍數(shù)；（2）如果，求將原長方形的長和寬分別減少7厘米后得到的新長方形面積．26．閱讀理解：（1）計算后填空：______；______；（2）歸納、猜想后填空：；（3）運用2的猜想結(jié)論，直接寫出計算結(jié)果：______.27．方法探究：同學(xué)們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，遇到難題可以考慮從簡單到特殊的情況入手，例如：求的值．分別計算下列各式的值：(1)填空：；；；由此可得；(2)計算：；(3)根據(jù)以上結(jié)論，計算：28．如圖1，把邊長為的正方形放在長方形中，其中正方形的兩條邊分別在，上，已知，．(1)請用含a、b的代數(shù)式表示陰影部分的面積：；(2)將另一長方形BEFG放入圖1中得到圖2，已知，；①請用含a、b的代數(shù)式表示長方形的面積：；請用含a、b的代數(shù)式表示長方形面積：；②若長方形的周長為6，求陰影部分的面積（用含的代數(shù)式表示）．29．閱讀以下材料，回答下列問題：小明遇到這樣一個問題：求計算所得整式的一次項系數(shù)．小明想通過計算所得的整式解決上面的問題，但感覺有些繁瑣，他想探尋一下，是否有相對簡潔的方法．他決定從簡單情況開始，先找所得整式中的一次項系數(shù)．通過觀察發(fā)現(xiàn)：

也就是說，只需用中的一次項系數(shù)1乘以中的常數(shù)項3，再用中的常數(shù)項2乘以中的一次項系數(shù)2，兩個積相加，即可得到一次項系數(shù)．延續(xù)．上面的方法，求計算所得整式的一次項系數(shù)．可以先用的一次項系數(shù)1，的常數(shù)項3，的常數(shù)項4，相乘得到12；再用的一次項系數(shù)2，的常數(shù)項2，的常數(shù)項4，相乘得到16；然后用的一次項系數(shù)3，的常數(shù)項2，的常數(shù)項3，相乘得到18，最后將12，16，18相加，得到的一次項系數(shù)為46．參考小明思考問題的方法，解決下列問題：(1)計算所得整式的一次項系數(shù)為______．(2)計算所得整式的一次項系數(shù)為______．(3)若計算所得整式的一次項系數(shù)為0，則______．(4)計算所得整式的一次項系數(shù)為______，二次項系數(shù)為______．(5)計算所得整式的一次項系數(shù)為______，二次項系數(shù)為______．30．乘