2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)建模初步試卷一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）數(shù)學(xué)建模的基本流程中，在"模型建立"之后的步驟是（）A.問題分析B.模型求解C.模型假設(shè)D.模型驗(yàn)證下列哪種模型適用于描述城市人口隨時間的增長趨勢（）A.線性回歸模型B.指數(shù)增長模型C.層次分析法模型D.整數(shù)規(guī)劃模型在數(shù)據(jù)預(yù)處理過程中，對于缺失值占比超過30%的特征變量，合理的處理方式是（）A.用均值填充B.用中位數(shù)填充C.刪除該變量D.保留原始數(shù)據(jù)某超市統(tǒng)計顯示，商品銷售額與促銷費(fèi)用呈正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)r=0.85，這說明（）A.促銷費(fèi)用增加1元，銷售額增加0.85元B.促銷費(fèi)用解釋了85%的銷售額變化C.兩者存在強(qiáng)線性相關(guān)關(guān)系D.促銷費(fèi)用是銷售額的唯一影響因素在層次分析法（AHP）中，用于檢驗(yàn)判斷矩陣一致性的指標(biāo)是（）A.特征值B.隨機(jī)一致性比率CRC.權(quán)重向量D.最大偏差值二、填空題（每空2分，共20分）數(shù)學(xué)建模的核心是將________問題轉(zhuǎn)化為________問題。線性規(guī)劃模型的三要素包括：決策變量、和。某班50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(80,102)，則成績在70~90分之間的學(xué)生約有________人（保留整數(shù)）。數(shù)據(jù)可視化中，用于展示變量間相關(guān)性的圖表是________；用于展示時間序列趨勢的圖表是________。模型檢驗(yàn)的兩種主要方法是：________檢驗(yàn)和________檢驗(yàn)。在Python數(shù)據(jù)處理中，讀取CSV文件常用的庫是________，繪制折線圖常用的庫是________。三、簡答題（每題8分，共24分）簡述數(shù)學(xué)建模中"模型假設(shè)"的作用，并舉出一個實(shí)際問題中需要做出的合理假設(shè)。某快遞公司需優(yōu)化配送路線，將10個快遞點(diǎn)的包裹從倉庫送出后返回原點(diǎn)。請列出至少三種可用于解決此問題的數(shù)學(xué)模型，并說明各自的適用場景。下表是某城市2019-2023年P(guān)M2.5年均濃度（單位：μg/m3）：|年份|2019|2020|2021|2022|2023||------|------|------|------|------|------||濃度|68|62|55|48|42|（1）選擇合適的模型預(yù)測2025年P(guān)M2.5濃度；（2）寫出模型表達(dá)式并計算預(yù)測結(jié)果（保留一位小數(shù)）。四、建模應(yīng)用題（共41分）問題一：校園共享單車調(diào)度優(yōu)化（18分）某高中校園內(nèi)投放了100輛共享單車，學(xué)生早高峰（7:00-8:00）集中從宿舍區(qū)前往教學(xué)區(qū)，導(dǎo)致教學(xué)區(qū)單車過剩而宿舍區(qū)單車短缺?，F(xiàn)需建立數(shù)學(xué)模型解決以下問題：數(shù)據(jù)收集與分析（6分）若通過一周觀測得到宿舍區(qū)早高峰時段的單車需求量（單位：輛）為：[35,42,38,45,39]，教學(xué)區(qū)的單車供給量為：[65,58,62,55,61]。計算：（1）宿舍區(qū)需求量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差；（2）教學(xué)區(qū)供給量的極差和中位數(shù)。模型建立（6分）假設(shè)每調(diào)度1輛單車的成本為2元，且調(diào)度后宿舍區(qū)和教學(xué)區(qū)的單車數(shù)量需滿足：宿舍區(qū)單車數(shù)量≥需求量均值教學(xué)區(qū)單車數(shù)量≥50輛設(shè)x為從教學(xué)區(qū)調(diào)度到宿舍區(qū)的單車數(shù)量，建立以總成本最小為目標(biāo)的線性規(guī)劃模型。模型求解與分析（6分）求解上述線性規(guī)劃模型，給出最優(yōu)調(diào)度數(shù)量，并分析若調(diào)度成本上升至3元/輛，最優(yōu)解是否發(fā)生變化。問題二：疫情期間口罩購買策略（23分）某藥店銷售一次性口罩，進(jìn)價2元/個，售價5元/個。若當(dāng)天售罄可獲利3元/個，若未售罄則因過期虧損2元/個。根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，每日需求量服從以下分布：需求量（個）100200300400500概率0.10.30.30.20.1決策模型（8分）設(shè)每日進(jìn)貨量為Q（取值為100的整數(shù)倍），建立利潤函數(shù)R(Q,D)，其中D為實(shí)際需求量。風(fēng)險分析（7分）計算進(jìn)貨量Q=300時的期望利潤，并比較Q=200和Q=400時的最大虧損額。優(yōu)化建議（8分）若藥店引入預(yù)約系統(tǒng)，可將需求量波動范圍縮小50%（即標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼?/2），分析該措施對最優(yōu)進(jìn)貨量的影響，并給出新的進(jìn)貨策略建議。四、開放性建模題（21分）問題：校園垃圾分類優(yōu)化某高中現(xiàn)有4個垃圾投放點(diǎn)，分布在教學(xué)樓（A）、宿舍區(qū)（B）、食堂（C）、操場（D），各點(diǎn)每日垃圾產(chǎn)生量（單位：kg）分別為：120、180、200、80。學(xué)校計劃新增2個智能分類垃圾站，需解決以下問題：收集哪些數(shù)據(jù)才能評估現(xiàn)有投放點(diǎn)的合理性？（5分）建立一個數(shù)學(xué)模型確定新增垃圾站的最優(yōu)位置，需考慮哪些關(guān)鍵因素？（8分