3.1列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系（3）——列代數(shù)式表示反比例關(guān)系（教學設(shè)計，新教材）-七年級數(shù)學上冊同步備課（人教版2024）主備人備課成員設(shè)計意圖本節(jié)課旨在讓學生通過具體實例，理解反比例關(guān)系的概念，并學會用代數(shù)式表示反比例關(guān)系。通過實際應用問題，培養(yǎng)學生分析和解決問題的能力，使學生對反比例關(guān)系有更深入的理解，為后續(xù)學習函數(shù)性質(zhì)打下基礎(chǔ)。核心素養(yǎng)目標1.發(fā)展數(shù)學抽象能力，通過觀察和分析具體情境，提煉出反比例關(guān)系的數(shù)學模型。

2.培養(yǎng)邏輯推理能力，學會從反比例關(guān)系的特點出發(fā)，推導出相應的代數(shù)表達式。

3.提升數(shù)學建模能力，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，并運用代數(shù)式解決。

4.強化應用意識，體會數(shù)學在現(xiàn)實生活中的應用價值，提高解決實際問題的能力。教學難點與重點1.教學重點：

-重點明確反比例關(guān)系的定義，即兩個變量乘積為常數(shù)的關(guān)系。

-重點掌握用代數(shù)式表示反比例關(guān)系的步驟，包括確定常數(shù)k和變量的關(guān)系。

-重點理解反比例函數(shù)的圖像特點，如雙曲線形狀，以及橫軸和縱軸的交點。

-例如，通過實例“一輛汽車的油箱容量固定，行駛距離與油耗量成反比例”，引導學生發(fā)現(xiàn)并表達反比例關(guān)系。

2.教學難點：

-難點在于識別和理解實際問題中的反比例關(guān)系，學生可能難以從實際問題中抽象出反比例關(guān)系的數(shù)學模型。

-難點在于正確推導反比例關(guān)系的代數(shù)表達式，特別是在變量關(guān)系復雜時。

-難點在于理解反比例函數(shù)圖像的特性，尤其是橫軸和縱軸上的交點問題。

-例如，在解決“一輛車以固定速度行駛，油量消耗與行駛時間成反比例”的問題時，學生可能難以從文字描述中準確提取出反比例關(guān)系，需要教師引導學生逐步分析。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計二次備課教學方法與手段教學方法：

1.講授法：系統(tǒng)講解反比例關(guān)系的概念和性質(zhì)，結(jié)合實例，幫助學生理解。

2.討論法：組織學生討論實際問題中的反比例關(guān)系，促進合作學習。

3.案例分析法：通過具體案例，引導學生分析反比例關(guān)系的特征，培養(yǎng)解決問題的能力。

教學手段：

1.多媒體展示：利用PPT展示反比例關(guān)系的圖像和實例，直觀教學。

2.實踐操作：提供在線模擬實驗或?qū)嶋H操作活動，讓學生動手探究反比例關(guān)系。

3.互動軟件：使用教育軟件，如在線白板工具，促進課堂互動和即時反饋。教學過程一、導入新課

（老師）同學們，我們之前學習了正比例關(guān)系，今天我們來探討另一種重要的數(shù)量關(guān)系——反比例關(guān)系。請大家回憶一下，正比例關(guān)系和反比例關(guān)系有什么區(qū)別呢？

（學生）正比例關(guān)系是兩個量成正比，它們的比值是固定的；反比例關(guān)系是兩個量成反比，它們的乘積是固定的。

（老師）非常好，今天我們就來深入研究反比例關(guān)系，看看它是如何表示數(shù)量關(guān)系的。

二、新課講解

1.反比例關(guān)系的定義

（老師）同學們，我們先來明確反比例關(guān)系的定義。當兩個變量x和y滿足y=k/x（k為常數(shù)，k≠0）時，我們說x和y成反比例關(guān)系。

（學生）明白了，反比例關(guān)系就是兩個變量的乘積等于一個常數(shù)。

（老師）沒錯，這個常數(shù)k被稱為反比例系數(shù)。接下來，我們通過幾個例子來加深理解。

例1：一輛汽車的油箱容量為60升，行駛100公里需要10升油，那么行駛x公里需要的油量y和行駛距離x成什么關(guān)系？

（學生）成反比例關(guān)系。

（老師）非常好，我們來驗證一下。根據(jù)題意，y=60/x，所以行駛x公里需要的油量y和行駛距離x成反比例關(guān)系。

2.反比例函數(shù)的圖像

（老師）接下來，我們來看看反比例函數(shù)的圖像。反比例函數(shù)的圖像是一條雙曲線，它有兩個分支，分別位于第二、四象限。

（學生）哦，我明白了，反比例函數(shù)的圖像是一條雙曲線，它不會穿過坐標軸。

（老師）是的，反比例函數(shù)的圖像不會穿過坐標軸?，F(xiàn)在，我們來做一個小練習，畫出y=2/x的反比例函數(shù)圖像。

（學生）好的，我會畫出這個圖像。

3.反比例函數(shù)的性質(zhì)

（老師）反比例函數(shù)有一些特殊的性質(zhì)，讓我們一起來看看。

性質(zhì)1：反比例函數(shù)的圖像是中心對稱的。

性質(zhì)2：反比例函數(shù)的圖像與坐標軸不相交。

性質(zhì)3：反比例函數(shù)的圖像在第一、三象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；在第二、四象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。

（學生）這些性質(zhì)很有用，它們可以幫助我們更好地理解反比例函數(shù)。

三、課堂練習

1.完成課本上的練習題，鞏固反比例關(guān)系的概念和性質(zhì)。

2.分析實際問題中的反比例關(guān)系，并用代數(shù)式表示。

四、課堂小結(jié)

（老師）同學們，今天我們學習了反比例關(guān)系，了解了它的定義、圖像和性質(zhì)。希望大家能夠熟練掌握反比例關(guān)系，并能夠?qū)⑵鋺玫綄嶋H問題中。

（學生）謝謝老師，我學會了反比例關(guān)系的概念和性質(zhì)，以后遇到相關(guān)問題，我能夠更好地解決了。

五、布置作業(yè)

1.課本課后習題。

2.分析實際問題，用反比例關(guān)系解決問題。

六、課堂反思知識點梳理1.反比例關(guān)系的定義

-定義：兩個變量x和y滿足y=k/x（k為常數(shù)，k≠0）時，x和y成反比例關(guān)系。

-關(guān)鍵點：理解反比例關(guān)系的核心在于乘積為常數(shù)k，且k不等于零。

2.反比例關(guān)系的性質(zhì)

-性質(zhì)1：反比例函數(shù)的圖像是中心對稱的，對稱中心為原點（0,0）。

-性質(zhì)2：反比例函數(shù)的圖像與坐標軸不相交。

-性質(zhì)3：在第一、三象限內(nèi)，反比例函數(shù)y=k/x隨著x的增大而減??；在第二、四象限內(nèi)，隨著x的增大而增大。

3.反比例函數(shù)的圖像

-圖像特點：反比例函數(shù)的圖像是一條雙曲線，它有兩個分支，分別位于第二、四象限。

-交點：反比例函數(shù)的圖像不會穿過坐標軸，即沒有交點。

4.反比例關(guān)系的應用

-應用實例：解決實際問題中的反比例關(guān)系，如速度與時間、面積與邊長、濃度與體積等。

-解題步驟：首先確定變量之間的關(guān)系，然后列出反比例關(guān)系的代數(shù)式，最后求解實際問題。

5.反比例函數(shù)的代數(shù)式表示

-代數(shù)式：y=k/x，其中k為反比例系數(shù)。

-變量關(guān)系：通過觀察實際問題，確定變量之間的乘積為常數(shù)k。

6.反比例關(guān)系的推導

-推導方法：從實際問題出發(fā)，通過觀察變量之間的關(guān)系，推導出反比例關(guān)系的代數(shù)式。

7.反比例關(guān)系的擴展

-多變量反比例關(guān)系：當涉及多個變量時，反比例關(guān)系可能變得更加復雜，需要根據(jù)具體情況進行分析。

-反比例關(guān)系的變式：在特定條件下，反比例關(guān)系可能呈現(xiàn)出不同的形式，如倒數(shù)關(guān)系等。

8.反比例關(guān)系的實際意義

-實際意義：反比例關(guān)系在物理學、經(jīng)濟學、工程學等領(lǐng)域有著廣泛的應用，是解決實際問題的重要工具。

9.反比例關(guān)系的復習要點

-復習要點：掌握反比例關(guān)系的定義、性質(zhì)、圖像、代數(shù)式表示及其應用。

-注意事項：注意區(qū)分正比例關(guān)系和反比例關(guān)系，理解反比例關(guān)系的圖像特征。

10.反比例關(guān)系的拓展練習

-拓展練習：通過解決實際問題，加深對反比例關(guān)系的理解，提高解決實際問題的能力。反思改進措施反思改進措施（一）教學特色創(chuàng)新

1.互動式教學：在課堂上，我嘗試了更多的互動環(huán)節(jié)，比如小組討論、角色扮演等，讓學生在參與中學習，這樣的方式提高了學生的積極性。

2.案例教學：我引入了一些實際生活中的案例，讓學生在解決具體問題的過程中學習反比例關(guān)系，這樣的教學方式讓學生更容易理解和接受抽象的數(shù)學概念。

反思改進措施（二）存在主要問題

1.學生參與度不足：我發(fā)現(xiàn)有些學生在課堂上不太積極參與，可能是由于對反比例關(guān)系理解不深，或者對數(shù)學本身不感興趣。

2.教學方法單一：我主要依賴講授法，雖然這種方式有助于系統(tǒng)講解，但可能缺乏足夠的實踐環(huán)節(jié)，學生可能難以將理論知識與實際應用相結(jié)合。

3.評價方式局限：目前的評價方式主要依賴于課堂表現(xiàn)和作業(yè)完成情況，缺乏對學生實際應用能力的評估。

反思改進措施（三）改進措施

1.提高學生參與度：為了提高學生的參與度，我計劃在課堂上增加更多的互動環(huán)節(jié)，如小組競賽、課堂提問等，鼓勵學生主動思考和表達。

2.豐富教學方法：我會嘗試結(jié)合多種教學方法，如項目式學習、探究式學習等，讓學生在動手實踐中學習反比例關(guān)系，提高他們的實踐能力。

3.優(yōu)化評價方式：為了更全面地評價學生的學習成果，我將引入多元化的評價方式，包括課堂表現(xiàn)、小組合作、項目成果等，以更準確地反映學生的學習情況。

4.加強個別輔導：對于參與度低的學生，我將提供個別輔導，幫助他們克服學習上的困難，提高他們的自信心。

5.融入科技元素：利用多媒體教學手段，如在線教學平臺、教育軟件等，為學生提供更多元化的學習資源，增強學習的趣味性和互動性。課后作業(yè)1.實際問題應用題

-題目：一個長方形的面積是48平方厘米，如果長和寬的乘積是48，那么這個長方形的長和寬各是多少厘米？

-答案：設(shè)長方形的長為x厘米，寬為y厘米，則有xy=48。因為長和寬的乘積是48，所以x和y成反比例關(guān)系。解得x=8厘米，y=6厘米。

2.變量關(guān)系推導題

-題目：已知一輛汽車以60公里/小時的速度行駛，油箱容量為60升，求行駛x小時后剩余油量y與行駛時間x的關(guān)系式。

-答案：汽車行駛的總路程為60x公里，根據(jù)油耗量與行駛路程成反比例關(guān)系，設(shè)油耗量為k升/公里，則有k×60x=60，解得k=1/60升/公里。因此，y=60-1/60×60x=60-x。

3.反比例函數(shù)圖像題

-題目：畫出反比例函數(shù)y=-2/x的圖像，并標出其中心對稱點。

-答案：反比例函數(shù)y=-2/x的圖像是一條雙曲線，位于第二、四象限。中心對稱點為原點（0,0）。

4.比例系數(shù)求解題

-題目：已知兩個變量x和y滿足y=3/x，求反比例系數(shù)k的值。

-答案：由題意知，y=k/x，代入y=3/x，得k=3。

5.應用題綜合題

-題目：一個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量與生產(chǎn)時間成反比例關(guān)系，如果生產(chǎn)10小時可以生產(chǎn)100件產(chǎn)品，那么生產(chǎn)15小時可以生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？

-答案：設(shè)生產(chǎn)時間為x小時，產(chǎn)品數(shù)量為y件，則有y=k/x。由題意知，當x=10時，y=100，解得k=1000。因此，當x=15時，y=1000/15=66.67（約等于67）件。板書設(shè)計①反比例關(guān)系定義

-反比例關(guān)系：兩個變量x和y滿足y=k/x（k為常數(shù)，k≠0）時，x和y成反比例關(guān)系。

②反比例函數(shù)的圖像

-圖像特點