第01講平面向量基本定理、共線定理及等和線的應(yīng)用內(nèi)容導(dǎo)航串講知識(shí)：思維導(dǎo)圖串講知識(shí)點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺舉一反三：核心考點(diǎn)能舉一反三，能力提升復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破知識(shí)點(diǎn)01平面向量基本定理1、定義：如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使2、基底：若不共線，我們把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．知識(shí)點(diǎn)02平面向量基本定理的應(yīng)用1、平面向量基本定理唯一性的應(yīng)用：設(shè)，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，若，則2、重要結(jié)論設(shè)是平面內(nèi)一個(gè)基底，若，=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，與共線；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，與共線；=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，；知識(shí)點(diǎn)03平面向量共線定理1、已知，若，則A，B，C三點(diǎn)共線，反之亦然.2、若A、B、C三點(diǎn)共線存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；存在，使得．3、中線向量定理如圖所示，在中，若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則中線向量，反之亦正確．DDACB4、線段定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式如圖所示，在中，若點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且（），則向量．在向量線性表示（運(yùn)算）有關(guān)的問題中，若能熟練利用此結(jié)論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．DDACB知識(shí)點(diǎn)04等和線1、定義：平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)P在直線AB上或者在平行于AB的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線.（1）當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k=1；（2）當(dāng)?shù)群途€在O點(diǎn)和直線AB之間時(shí)，；（3）當(dāng)直線AB在點(diǎn)O與等和線之間時(shí)，；（4）當(dāng)?shù)群途€過O點(diǎn)時(shí)，k=0；（5）若兩等和線關(guān)于O點(diǎn)對(duì)稱，則定值k互為相反數(shù).2、證明步驟如圖1，為所在平面上一點(diǎn)，過作直線，由平面向量基本定理知：存在，使得下面根據(jù)點(diǎn)的位置分幾種情況來考慮系數(shù)和的值=1\*GB3①若時(shí)，則射線與無交點(diǎn)，由知，存在實(shí)數(shù)，使得而，所以，于是=2\*GB3②若時(shí)，（i）如圖1，當(dāng)在右側(cè)時(shí)，過作，交射線于兩點(diǎn)，則，不妨設(shè)與的相似比為由三點(diǎn)共線可知：存在使得：所以（ii）當(dāng)在左側(cè)時(shí)，射線的反向延長線與有交點(diǎn)，如圖1作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由（i）的分析知：存在存在使得：所以，于是綜合上面的討論可知：圖1中用線性表示時(shí)，其系數(shù)和只與兩三角形的相似比有關(guān)。我們知道相似比可以通過對(duì)應(yīng)高線、中線、角平分線、截線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑之比來刻畫。因?yàn)槿切蔚母呔€相對(duì)比較容易把握，我們不妨用高線來刻畫相似比，在圖1中，過作邊的垂線，設(shè)點(diǎn)在上的射影為，直線交直線于點(diǎn)，則(的符號(hào)由點(diǎn)的位置確定)，因此只需求出的范圍便知的范圍一般解題步驟：（1）確定單位線（當(dāng)時(shí)的等和線）；（2）平移等和線，分析何處取得最值；（3）從長度比計(jì)算最值.【考點(diǎn)一：平面向量基本定理】一、單選題1．（24-25高一下·山東濟(jì)寧·期中）如圖，在平面內(nèi)，不共線向量與構(gòu)成的四邊形中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn).若，則（

）A．2 B．1 C．0 D．2．（24-25高三上·安徽·開學(xué)考試）在中，，則（

）A． B． C． D．3．（24-25高一下·廣西來賓·階段練習(xí)）已知E，F(xiàn)分別是平行四邊形ABCD的邊BC和CD的中點(diǎn)，且，則（

）A． B． C． D．4．（24-25高一下·吉林延邊·期中）如圖中G為重心，PQ過G點(diǎn)，，則（

）

A．3 B．2 C．1 D．5．（24-25高一下·天津靜海·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，若，，，則的最小值（

）A．2 B．8 C．9 D．18【考點(diǎn)二：平面向量共線定理】一、單選題1．（24-25高一下·四川遂寧·期中）設(shè)為兩個(gè)非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（24-25高一下·福建三明·期中）已知向量，若三點(diǎn)共線，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（24-25高一下·江蘇無錫·期中）設(shè)與是兩個(gè)不共線向量，且向量與共線，則（

）A．0 B． C． D．4．（23-24高一下·山東濟(jì)寧·期中）已知是不共線的向量，且，則（

）A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線5．（24-25高一下·山東煙臺(tái)·期中）在中，，M是AN上一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．6．（24-25高一下·云南文山·期中）已知向量，，且與方向相反，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．或 D．或【考點(diǎn)三：平面向量共線定理及其推論】一、單選題1．（23-24高一下·四川南充·期末）在中，，是線段上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高一下·湖北十堰·期中）如圖，在中，，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，.設(shè)，，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（24-25高一下·四川·期中）如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，，AD與CE交于點(diǎn)O，若，則的值是（）A． B．2 C． D．4．（24-25高一下·四川樂山·階段練習(xí)）如圖，在中，與CE的交點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．5．（24-25高一下·貴州遵義·階段練習(xí)）如圖，在中，，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，.設(shè)，，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．6．（24-25高一下·廣西南寧·階段練習(xí)）已知三點(diǎn)共線，不共線且在線段上（不含端點(diǎn)），若，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．【考點(diǎn)四：等和線的應(yīng)用】一、單選題1．設(shè)是邊上的點(diǎn)，,若，則=（）2．在中，點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn)，且滿足，若存在實(shí)數(shù)m和n，使得，則m+n=（）A.B.C.D.3．已知是內(nèi)一點(diǎn)，且，點(diǎn)在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題4．設(shè)長方形的邊長分別是,點(diǎn)是內(nèi)(含邊界)的動(dòng)點(diǎn),設(shè),則的取值范圍是_________5．如圖，正六邊形，是內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是____________一、單選題1．（24-25高一下·福建三明·期中）已知向量，若三點(diǎn)共線，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（24-25高一下·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）若是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中能作為平面向量的基底的是（

）A． B．C． D．3．（24-25高一下·浙江·期中）中，點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn)，設(shè)，則（

）A． B．C． D．4．（24-25高一下·安徽滁州·期中）是平面內(nèi)不共線的兩向量，已知，若三點(diǎn)共線，則的值為（

）A． B． C． D．35．（24-25高一下·陜西榆林·期中）已知，，且，則的坐標(biāo)為（

）A． B．C．或 D．或6．（24-25高一下·安徽·期中）如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，與對(duì)角線相交于點(diǎn)，記，，則（

）A． B．C． D．7．（24-25高一下·黑龍江哈爾濱·期中）若點(diǎn)D在的邊上，且，M是的中點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．8．（24-25高一下·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，在中，在線段上，滿足，為線段上一點(diǎn)，且，則的值為（

）A． B． C． D．9．（24-25高一下·貴州畢節(jié)·階段練習(xí)）在中，，點(diǎn)在上，若，則（

）A． B． C． D．10．（24-25高一下·四川·期中）如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在四邊形內(nèi)部（包含邊界），若，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．11．（24-25高一下·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，已知分別是邊上的點(diǎn)，且滿足，，與交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)．若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．2 B． C． D．312．（24-25高一下·安徽池州·期中）在中，點(diǎn)在邊上，且滿足，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．13．（24-25高一下·山東濟(jì)寧·