一、填空題

1.（2015?日照一模）已知集合力=｛（必y）|y=lgx],8=｛（x,y）\x=a],若力fl8=0,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

”,x為有理數(shù)，

2.設(shè)函數(shù)〃（x）=八二工E崢則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是_________.

1.0,x為無理數(shù)，

①〃（M的值域?yàn)椋?,1｝：②〃（才）是偶函數(shù)：

③。。）不是周期函數(shù)：④〃（x）不是單調(diào)函數(shù).

3.偶函數(shù)/滿足Ztr—1）="％+1）,且在x￡[O,l]時(shí)，/?（?=＞,則關(guān)于★的方程/tr）

=（?"在xG[0,4]上解的個(gè)數(shù)是________.

4.（2015?銀川一中二模）定義在[a,b]（?a）上的函數(shù)f（x）=1sin矛一乎cosx的值域是

乙乙

一1，1,則方一a的最大值"和最小值/〃分別是________.

乙

5.過球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為

6.（2015??？谡{(diào)研）已知函數(shù)f（x）=/—2x+alnx有兩個(gè)極值點(diǎn)汨，在，且?。夹?，則下列

結(jié)論正確的是.

2、/3+21n2、/l+21n2.3+21n2小?、、l+21n2

①f（x】）＜--------；②f（?。?---------；③F（x】））---------；-------.

22

7.（2015?湖北八校聯(lián)考）已知點(diǎn)A是拋物線G：/=20＞（或0）與雙曲線Q：§—￡=1（a＞0,

力0）的一條漸近線的交點(diǎn)（異于原點(diǎn)），若點(diǎn)力到拋物線G的準(zhǔn)線的距離為0則雙曲線G的

離心率等于.

8.（2015?廣西二市聯(lián)考）若數(shù)列｛4｝滿足句=1,d~+加=—：~一L（〃￡N,且

侖2）,則數(shù)列｛「》的前6項(xiàng)和為________.

9.平面。外有兩條直線力和〃，如果勿和〃在平面a內(nèi)的射影分別是M和4，紿出下

列四個(gè)命題：

①加'_!_/?'=＞勿_1_〃；②必_!_〃=＞勿'；

③〃/與〃'相交=/〃與〃相交或重合；④與"平行=/〃與〃平行或重合.

其中不正確的命題個(gè)數(shù)是_______.

v'2y2v2y2

10.設(shè)E,十分別為橢圓G：孑+3=1（於a0）與雙曲線C：.一方=1（a＞0，/力＞0）的公共

左、右焦點(diǎn)，它們在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)M/片灰=90°,若橢圓G的離心率。仁p孚

則雙曲線C的離心率e的取值范圍是.

11.（2015?南京調(diào)研）

XV

如圖，過橢圓-7+7=1（a乂＞0）的左頂點(diǎn)A作直線/交y軸于點(diǎn)R交橢圓于點(diǎn)Q.若△力”

QD

是等腰三角形，且南=2而，則橢圓的離心率為—

x—2昨0,

12.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件上萬一y20，則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值為

,x+/—2%—2.K＜0,

13.對正整數(shù)〃，設(shè)曲線7=/（1-%）在＞=2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為小,則數(shù)列1后

的前〃項(xiàng)和S尸.

14.從圓G/+/—6x—8y+24=0外一點(diǎn)尸向該圓引切線7為切點(diǎn)，且（。為

坐標(biāo)原點(diǎn)），則/T的最小值為.

二、解答題

15.（2015?湖北七市聯(lián)考）已知向量o=（cos方，-1）,〃=/sin設(shè)函數(shù)〃才）

=g〃+1.

（1）求函數(shù)人力的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）在△力比'中，角4B,。的對邊分別為a,b,c,且滿足才+彥=6"00$C,sin26^2sin

力sinB,求f（。的值.

16.

如圖，在四棱柱月及力一力出G〃中，已知平面力4GCL平面/及力，且力夕=8。=。=鎘，AD=

CD=\.

(D求證:BDLAAx^

⑵若￡為棱歐的中點(diǎn)，求證：AE〃平面DCGD.

17.已知數(shù)列｛a｝$兩足區(qū)＞口，3\=2t且a：+j=2a：+&&+i,

(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

⑵若bn=log/&-1,Cn=an?bn,求數(shù)列｛Co｝的前〃項(xiàng)和Sn.

18.已知橢圓G*+5=1(a60)的離心率為平，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為

(1)求橢圓C的方程；

⑵設(shè)直線,與橢圓r交于力、8兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線/的距離為坐，求△力仍面積的最

大值.

19.

(2015?四川成都七中模擬)如圖，矩形/配/中，/僅L平面力陽AE=EB=BC=2,F為CE上

的點(diǎn)，且以上平面力笫AC與即交于點(diǎn)、G.

(1)求證：4E上平面BC感

⑵求證：力夕〃平面即9；

(3)求三楂椎八及班的體枳.

20.已知橢圓G2+5=13力0)的右焦點(diǎn)為尸(1,0),且點(diǎn)乎］在橢圓C上.

aD;乙)

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑵已知點(diǎn)年，0),動直線/過點(diǎn)月且直線/與橢圓C交于兒4兩點(diǎn)，證明：而?就定

值.

答案解析

_4n2n

1.aWO2.③3.44.—,—5.3：16

JJ

6.③

2?—9x-\-a

解析F(x)的定義域?yàn)?0,+8),求導(dǎo)得F(x)=———?.因?yàn)镕Cr)有兩個(gè)極值點(diǎn)小，

尼，所以汨，心是方程2f—2x+a=0的兩根，又水質(zhì)，且乂+*2=1,所以0<%]<-又a=2X\

乙

一2舄,所以f(xi)=xi—2^4-(2JTI—2A?)?In小.令g[t}=r—2t+(2f—2t2)Int(0<?<-),

(t)=2(l-2t)lnKO,所以g()在(0,，上為減函數(shù),所以—"

所以&汨)>一3+2丁2,故③正確.

7.書

解析???點(diǎn)A到拋物線C\的準(zhǔn)線的距離為p,

:./(5@在直線y=(x上，

g2_2

-=4,又*.*e>L:.e=#.

aaY

8T

解析由題意可得H￡=〃LJ7「

—in—in-1ii

則-------------------------一—，

&Brr-lZ2-111

一]〃1

累加得--------=一一，a=(-l)L",

ann

班KI________2_________一1〃+1

歷"2〃+12〃+3-2/7+12〃+3'

則前6項(xiàng)的和為

去辦小島+仔+高

1

nA4)

1

15,

9.4

解析借助長方體舉反例即可知四個(gè)命題都不正確.

解析由已知得如+孫=2&峪一監(jiān)=2m，所以MR=a+ai,MA=a-ai,又因?yàn)镹RMB

=90。，所以」第+.碗=4占即(a+aM+(a—&)2=4上即才+4=2上所以二+3=2,所

ee\

以e=—因?yàn)閑￡半，所以令W—W，即太盛W2—4盤，所以狂柒*

i4/10qjeyyej乙乙

■^63^2-

所以

2'2.

解析由題意可得力(一a,。)，『(0,a),因?yàn)槭?2就所以《一幡皆，所以驀十券=3

c__2__2^/5

化簡得即2a=4c,

3=5Z/=5(a'—/),故橢圓的離心率e=丁樂=5?

12.4

13.2田一2

解析曲線曠=4(1->)=，'一產(chǎn)1/=〃/--(〃+1)月

所以曲線在x=2處的切線斜率為左=〃X2"7—(〃+1)2”=一(〃+2)2"，切點(diǎn)為(2,一2")，

所以切線方程為y+2”=—(〃+2)2i(x—2),令x=0得，什2°=(〃+2)2",即y=(〃+l)2",

所以&=(“+1)2"，所以言=2”,數(shù)列島是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

21—2”

所以S.=F^=2"-2.

12

14?3

解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為3—3)2十(/-4)2=1,設(shè)pj,0,由尸7=.得J—3)2十G—4)

l=x2+y,得3x+4y-12=0,所以夕點(diǎn)的軌跡為直線3x+4y-12=0,當(dāng)為圓心C到

直線的距離時(shí)，/T取最小值，故尸7的最小值為尸20=

15.解(1)F(x)=，§sin*os慨一cos募+1

乙乙乙

立.1,1

=-T-sinx--cosx-\--

in(T星

nnn

令+2(止Z),

則24?！?兀+斗~(%￡Z),

JJ

,n2nI

所求增區(qū)間為2kH-2k+~J(z4￡Z).

⑵由a-\-t)=6aZ)cosC,

sin'6^2sin/isinZ^=>c=2(ib,

0#+6ThabeasC-2ab

C=-2^b-=3cosC—1

2ab

1n

即cosO=3，又,.,0<6<n,C=—,

/.AO=/(-7)=sin(-^----^-)+)=1.

\o/6oZ

16.證明(1)在四邊形月8⑦中，

因?yàn)榈?伙7,DA=DC,

所以BDL1C,

又平面力4GC_L平面ABCD,

且平面AAGCQ平面ABCD=ACt

BDa平面ABCD,

所以&LL平面AAxGC.

又因?yàn)?4u平面力4GC,

所以做_U4.

(2)在三角形力?。中，因?yàn)榱?=/!。，且￡為成的中點(diǎn)，所以力反18。,

又因?yàn)樵谒倪呅瘟Ρ攘χ校珹8=BC=CA=&DA=DC=\,

所以/月360°,ZJ6i9=30°,

所以DC1BC,所以AE〃傲

因?yàn)槭?半的〃GG〃，熊仁平囿ZTG〃，

所以/月〃平面DCGIX.

17.解(1)??％3=2成+&&+I,

al1-&,&+l2a：=0,

即(&+1+a)(&+1—2a)=0,

又a“>0,:2a〃=0,即色之=2.

a<>

???數(shù)列｛a｝是公比為2的等比數(shù)列.

又?；ai=2,，&=2".

(2)依題意得兒=lo隊(duì)也&-1=1。期2"—1=2〃-1,

Cn=3n*bn=(2/7—1)?2,

S,=1X21+3X2』5X2』…+(2/?-1)X2",

那么，2S=】XT+3X2」…+(2/2-3)X2”+(2〃-1)X2田,

兩式相減得

-5,=lX2I4-2X22+2X21+-4-2X2fl-(2〃-1)X2fl+,

=2+2(22+23+-+2°)-(2/?-1)義2田

4I—2"f

=2+2X————-(2/7-1)X2，，+l

=2+8(2fl-,-D-(2/7-1)X2/,+1

=2+2義2"|-8-(2〃一DX2"|

=(3-2/?)X2田一6,

故S=(2〃-3)X2"'+6.

c^6

18.解(1)設(shè)橢圓的半焦距長為c,依題意有《a-3'

2

Y"

.,.6=1,?,?所求橢圓方程為可+/=1.

(2)設(shè)力(為,yi),8(x2,%).

①當(dāng)力反LK軸時(shí)，

②當(dāng)力4與A?軸不垂直時(shí)，設(shè)直線4,的方程為y=kx+m.

由已知乎’得病=?("+0?

把y=kx+m代入橢圓方程，

整理得(3〃+1)V+6依“+3病-3=0,

.?-6km3fn—1

‘x+"2=浜不T'汨熱=37+]?

:.月片=(1+稻(彳2一小)2

,T36A2m12m—1-

=3aM23片+1_

12片+13A2+1—/73六+19A2+1

=3如+12=3尸+12

121?

=3+94+62+1=3+11(Xs^O)W3+DYQJ_A=4.

2,ZX15IO

9"6

當(dāng)且僅當(dāng)9^=4即A=±半時(shí)等號成立.

KJ

此時(shí)/=12（3片+1—二）>0,

當(dāng)*=0時(shí)，44小,

綜上所述,力%,=2.

???當(dāng)44最大時(shí)，△力仍面積取得最大值，且最大值為S=）X4UX羋=平.

乙乙乙

19.⑴證明??3〃_1_平面月％AD//BC,

???用J_平面力的，:/1氏平面力陽：.AE1BC.

???跖_￡平面力綏???/!比平面力出:?AE1BF.

又BCCBF=B,仇匕平面比&?/七平面比西

?"EL平面BCE.

⑵證明依題意可知G是力。的中點(diǎn)，

???6RL平面力隔"u平面