漳州康橋?qū)W校中考數(shù)學(xué)期末幾何綜合壓軸題易錯(cuò)匯編一、中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題1．小明研究了這樣一道幾何題：如圖1，在中，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時(shí)，請(qǐng)問邊上的中線與的數(shù)量關(guān)系是什么？以下是他的研究過程：特例驗(yàn)證：（1）①如圖2，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系為_______；②如圖3，當(dāng)，時(shí)，則長為________．猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)為任意三角形時(shí)，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用：（3）如圖4，在四邊形，，，，，，在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)，使與之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系？若存在，請(qǐng)畫出點(diǎn)的位置（保留作圖痕跡，不需要說明）并直接寫出的邊上的中線的長度；若不存在，說明理由．解析：（1）①；②4，（2）；理由見解析，（3）存在；【分析】（1）①首先證明是含有的直角三角形，可得，即可解決問題；②首先證明，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題．（2）與的數(shù)量關(guān)系為，如圖5，延長到，使，連接、，先證四邊形是平行四邊形，再證明，即可解決問題．（3）存在，如圖6，延長交的延長線于，作于，做直線的垂直平分線交于，交于，連接、、，作的中線，連接交于，先證明，，再證明，即可得出結(jié)論，再在中，根據(jù)勾股定理，即可求出的長．【詳解】（1）①如圖2，∵是等邊三角形，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，又∵是邊上的中線，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴在中，，，∴．故答案為：．②如圖3，∵，，∴，即和為直角三角形，∵把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴在和中，∴，∴，∵是邊上的中線，為直角三角形，∴，又∵，∴．故答案為：．（2），如圖5，延長到，使，連接、，圖5∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∵，∴在和中，∴，∴，∴．（3）存在，如圖6，延長交的延長線于，作于，作直線的垂直平分線交于，交于，連接、、，作的中線，連接交于，圖6∵，∴，∵，∴，在中，∵，，，∴，，，在中，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，在中，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴與之間滿足小明探究的問題中的邊角關(guān)系，在中，∵，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的綜合問題．掌握全等三角形的性質(zhì)以及判定定理、直角三角形斜邊中線定理、解直角三角形、勾股定理、中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．在處理三角形的邊旋轉(zhuǎn)問題時(shí)，旋轉(zhuǎn)前后邊長不變，根據(jù)已知角度變化，求得線段之間關(guān)系．在證明某點(diǎn)是否存在問題時(shí)，先假設(shè)這點(diǎn)存在，能求出相關(guān)線段或坐標(biāo)，即證實(shí)存在性．2．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特殊情形：如圖1，當(dāng)DE∥BC時(shí)，有DBEC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）發(fā)現(xiàn)探究：若將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）到圖2位置，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）拓展運(yùn)用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數(shù)．解析：（1）=；（2）成立，證明見解析；（3）135°.【分析】試題（1）由DE∥BC，得到，結(jié)合AB=AC，得到DB=EC；（2）由旋轉(zhuǎn)得到的結(jié)論判斷出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；（3）由旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理計(jì)算出PE，然后用勾股定理逆定理判斷出△PEA是直角三角形，再簡單計(jì)算即可．【詳解】（1）∵DE∥BC，∴，∵AB=AC，∴DB=EC，故答案為=，（2）成立．證明：由①易知AD=AE，∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知∠DAB=∠EAC，又∵AD=AE，AB=AC∴△DAB≌△EAC，∴DB=CE，（3）如圖，將△CPB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)90°得△CEA，連接PE，∴△CPB≌△CEA，∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°，∴∠CEP=∠CPE=45°，在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=，在△PEA中，PE2=（）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9，∵PE2+AE2=AP2，∴△PEA是直角三角形∴∠PEA=90°，∴∠CEA=135°，又∵△CPB≌△CEA∴∠BPC=∠CEA=135°．【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：幾何變換綜合題；平行線平行線分線段成比例.3．[探究函數(shù)的圖象與性質(zhì)]（1）函數(shù)的自變量的取值范圍是；（2）下列四個(gè)函數(shù)圖象中函數(shù)的圖象大致是；（3）對(duì)于函數(shù)，求當(dāng)時(shí)，的取值范圍.請(qǐng)將下列的求解過程補(bǔ)充完整.解：∵∴∵∴.[拓展運(yùn)用]（4）若函數(shù)，則的取值范圍.解析：（1）；（2）C；（3）4，4；（4）【詳解】試題分析：本題的⑴問抓住函數(shù)是由分式給定的，所以抓住是分母不為0,即可確定自變量的取值范圍.本題的⑵問結(jié)合第⑴問中的，即或進(jìn)行分類討論函數(shù)值的大致取值范圍，即可得到函數(shù)的大致圖象.本題的第⑶問根據(jù)函數(shù)的配方逆向展開即推出“（）”應(yīng)填寫“常數(shù)”部分，再根據(jù)配方情況可以得到當(dāng)當(dāng)時(shí)，的取值范圍.本題的⑷問現(xiàn)將函數(shù)改寫為的形式，再按⑶的形式進(jìn)行配方變形即可求的取值范圍.試題解析：（1）由于函數(shù)是分式給定的，所要滿足分母不為0，所以.故填：.（2）即或；當(dāng)時(shí)，的值是正數(shù)，此時(shí)畫出的圖象只能在第一象限；當(dāng)時(shí)，的值是負(fù)數(shù)，此時(shí)畫出的圖象只能在第三象限；所以函數(shù)的圖象只在直角坐標(biāo)系的一、三象限.故其大致圖象應(yīng)選C.（3）∵，∴.故分別填：；（4）∵（這里隱含有首先是正數(shù)）∴∵∴.4．如圖所示，點(diǎn)A為半圓O直徑MN所在直線上一點(diǎn)，射線AB垂直于MN，垂足為A，半圓繞M點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過的角度記作α；設(shè)半圓O的半徑為R，AM的長度為m，回答下列問題：（1）探究：若R＝2，m＝1，如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，圓心O′到射線AB的距離是；如圖2，當(dāng)α＝°時(shí)，半圓O與射線AB相切；（2）如圖3，在（1）的條件下，為了使得半圓O轉(zhuǎn)動(dòng)30°即能與射線AB相切，在保持線段AM長度不變的條件下，調(diào)整半徑R的大小，請(qǐng)你求出滿足要求的R，并說明理由．（3）發(fā)現(xiàn)：如圖4，在0°＜α＜90°時(shí)，為了對(duì)任意旋轉(zhuǎn)角都保證半圓O與射線AB能夠相切，小明探究了cosα與R、m兩個(gè)量的關(guān)系，請(qǐng)你幫助他直接寫出這個(gè)關(guān)系；cosα＝（用含有R、m的代數(shù)式表示）（4）拓展：如圖5，若R＝m，當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，α的取值范圍，并求出在這個(gè)變化過程中陰影部分（弓形）面積的最大值（用m表示）解析：（1）+1；60°；（2）4+2；（3）；（4）m2．【詳解】試題分析：（1）如圖1中，作O′E⊥AB于E，MF⊥O′E于F．則四邊形AMFE是矩形，EF=AM=1．如圖2中，設(shè)切點(diǎn)為F，連接O′F，作O′E⊥OA于E，則四邊形O′EAF是矩形，在Rt△O′EM中，由sinα=，推出α=60°．（2）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．列出方程即可解決問題．（3）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．列出方程即可解決問題、（4）當(dāng)半圓與射線AB相切時(shí)，之后開始出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)α=90°；當(dāng)N′落在AB上時(shí)，為半圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)的最后時(shí)刻，此時(shí)∵M(jìn)N′=2AM，所以∠AMN′=60°，所以，α=120°因此，當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，α的取值范圍是：90°＜α≤120°．當(dāng)N′落在AB上時(shí)，陰影部分面積最大，求出此時(shí)的面積即可．試題解析：（1）如圖1中，作O′E⊥AB于E，MF⊥O′E于F．則四邊形AMFE是矩形，EF=AM=1．想辦法求出O′E的長即可．在Rt△MFO′中，∵∠MOF=30°，MO′=2，∴O′F=O′M?cos30°=，O′E=+1，∴點(diǎn)O′到AB的距離為+1．如圖2中，設(shè)切點(diǎn)為F，連接O′F，作O′E⊥OA于E，則四邊形O′EAF是矩形，∴AE=O′F=2，∵AM=1，∴EM=1，在Rt△O′EM中，sinα=，∴α=60°故答案為+1，60°．（2）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．∵O′P=R，∴R=R+1，∴R=4+2．（3）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．在Rt△O′QM中，O′Q=R?cosα，QP=m，∵O′P=R，∴R?cosα+m=R，∴cosα=．故答案為．（4）如圖5中，當(dāng)半圓與射線AB相切時(shí)，之后開始出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)α=90°；當(dāng)N′落在AB上時(shí)，為半圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)的最后時(shí)刻，此時(shí)∵M(jìn)N′=2AM，所以∠AMN′=60°，所以，α=120°因此，當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，α的取值范圍是：90°＜α≤120°故答案為90°＜α≤120°；當(dāng)N′落在AB上時(shí)，陰影部分面積最大，所以S═﹣?m?m=m2．5．（問題情境）如圖1，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，連接BE、CE．求證：S平行四邊形ABCD．（說明：S表示面積）請(qǐng)以“問題情境”為基礎(chǔ)，繼續(xù)下面的探究（探究應(yīng)用1）如圖2，以平行四邊形ABCD的邊AD為直徑作⊙O，⊙O與BC邊相切于點(diǎn)H，與BD相交于點(diǎn)M．若AD＝6，BD＝y(tǒng)，AM＝x，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（探究應(yīng)用2）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，點(diǎn)F在CD上，連接AF、BF，AF與CE相交于點(diǎn)G，若AF＝CE，求證：BG平分∠AGC．（遷移拓展）如圖4，平行四邊形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC上，且BF：FC＝2：1，過D分別作DG⊥AF于G，DH⊥CE于H，請(qǐng)直接寫出DG：DH的值．解析：【問題情境】見解析；【探究應(yīng)用1】；【探究應(yīng)用2】見解析；【遷移拓展】.【分析】（1）作EF⊥BC于F，則S△BCE＝BC×EF，S平行四邊形ABCD＝BC×EF，即可得出結(jié)論；（2）連接OH，由切線的性質(zhì)得出OH⊥BC，OH＝AD＝3，求出平行四邊形ABCD的面積＝AD×OH＝18，由圓周角定理得出AM⊥BD，得出△ABD的面積＝BD×AM＝平行四邊形的面積＝9，即可得出結(jié)果；（3）作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，同圖1得：△ABF的面積＝△BCE的面積＝平行四邊形ABCD的面積，得出AF×BM＝CE×BN，證出BM＝BN，即可得出BG平分∠AGC．（4）作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，由平行四邊形的性質(zhì)得出∠ABP＝60°，得出∠BAP＝30°，設(shè)AB＝4x，則BC＝3x，由直角三角形的性質(zhì)得出BP＝AB＝2x，BQ＝BE，AP＝BP＝2x，由已知得出BE＝2x，BF＝2x，得出BQ＝x，EQ＝x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x，由勾股定理求出AF＝＝2x，CE＝＝x，連接DF、DE，由三角形的面積關(guān)系得出AF×DG＝CE×DH，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：作EF⊥BC于F，如圖1所示：則S△BCE＝BC×EF，S平行四邊形ABCD＝BC×EF，∴．（2）解：連接OH，如圖2所示：∵⊙O與BC邊相切于點(diǎn)H，∴OH⊥BC，OH＝AD＝3，∴平行四邊形ABCD的面積＝AD×OH＝6×3＝18，∵AD是⊙O的直徑，∴∠AMD＝90°，∴AM⊥BD，∴△ABD的面積＝BD×AM＝平行四邊形的面積＝9，即xy＝9，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝；（3）證明：作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，如圖3所示：同圖1得：△ABF的面積＝△BCE的面積＝平行四邊形ABCD的面積，∴AF×BM＝CE×BN，∵AF＝CE，∴BM＝BN，∴BG平分∠AGC．（4）解：作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，如圖4所示：∵平行四邊形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，∴∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，設(shè)AB＝4x，則BC＝3x，∴BP＝AB＝2x，BQ＝BE，AP＝BP＝2x，∵E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在BC上，且BF：FC＝2：1，∴BE＝2x，BF＝2x，∴BQ＝x，∴EQ＝x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x，由勾股定理得：AF＝＝2x，CE＝＝x，連接DF、DE，則△CDE的面積＝△ADF的面積＝平行四邊形ABCD的面積，∴AF×DG＝CE×DH，∴DG：DH＝CE：AF＝．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題目，考查了圓周角定理、平行四邊形的性質(zhì)、三角形面積公式、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、角平分線的判定等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，需要添加輔助線，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖①，在中，為邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，連接．（觀察猜想）（1）①的數(shù)量關(guān)系是___________②的數(shù)量關(guān)系是______________（類比探究）（2）將圖①中繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖②所示，則(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（拓展遷移）（3）將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，若，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)在同一直線上時(shí)的長．解析：（1）①；②；（2）成立，證明見解析；（3）的長為或【分析】（1）①根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到答案；②由①知，利用等邊對(duì)等角和三角形的外角性質(zhì)，得到，，然后即可得到答案；（2）①過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，EF與交于點(diǎn)，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，證明，即可得到結(jié)論成立；②由全等三角形的性質(zhì)，求出∠OEC=90°，即可得到結(jié)論成立；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)在同一直線上可分為兩種情況：①點(diǎn)C在線段OB上；②點(diǎn)C在OB的延長線上；利用等腰直角三角形的性質(zhì)，分別求出OE的長度，即可得到答案.【詳解】解：（1）如圖，在△AOD和△ACD中，∵，為AD中點(diǎn)，，，E為AD中點(diǎn)，，；②，為AD中點(diǎn)，，∴；同理可得：，，．（2）成立．證明：①如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)與交于點(diǎn)，∵是等腰三角形，∴∵，∴，∴，∴均為等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴；②，∴，，，；（3）的長為或；∵在等腰直角中，，，由（2）可知，，，∴是等腰直角三角形，∴；當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，有①點(diǎn)C在線段OB上；如圖：∴，∴；②點(diǎn)C在OB的延長線上；如圖：∴，∴；綜上所述，的長為或；【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及三角形的外角性質(zhì)等，綜合能力強(qiáng)，知識(shí)的運(yùn)用廣泛.解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的性質(zhì)進(jìn)行解題，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想進(jìn)行分析.7．（感知）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將線段繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至線段，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，易知，得到點(diǎn)的坐標(biāo)為．（探究）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將線段繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至線段．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)．（用含的代數(shù)式表示）（2）求出BC所在直線的函數(shù)表達(dá)式．（拓展）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在軸上，將線段繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至線段，連結(jié)、，則的最小值為_______．解析：【探究】（1）點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）；【拓展】．【分析】探究:（1）證明△AOC≌△CMB（AAS），即可求解；（2）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，m+1），點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；拓展：BO+BA=，BO+BA的值，相當(dāng)于求點(diǎn)P（m，m）到點(diǎn)M（1，-1）和點(diǎn)N（0，-1）的最小值，即可求解．【詳解】解：探究：（1）過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)．，．線段繞著點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至線段，．．．，，．點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)為（2）∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，m+1），點(diǎn)C為（0，m），設(shè)直線BC為：y=kx+b，，解得：，∴；則BC所在的直線為：；拓展：如圖作BH⊥OH于H．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m），由（1）知：OC=HB=m，OA=HC=1，則點(diǎn)B（m，1+m），則：BO+BA=，BO+BA的值，相當(dāng)于求點(diǎn)P（m，m）到點(diǎn)M（1，-1）和點(diǎn)N（0，-1）的最小值，相當(dāng)于在直線y=x上尋找一點(diǎn)P（m，m），使得點(diǎn)P到M（0，-1），到N（1，-1）的距離和最小，作M關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)M′（-1，0），易知PM+PN=PM′+PN≥NM′，M′N=，故：BO+BA的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)綜合題，主要考查的是三角形全等的思維拓展，其中拓展，將BO+BA的值轉(zhuǎn)化點(diǎn)P（m，m）到點(diǎn)M（1，-1）和點(diǎn)N（0，-1）的最小值，是本題的新穎點(diǎn)8．問題探究（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．①請(qǐng)?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系：________；②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，則線段AD的長為________；拓展延伸（2）如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．將△DCE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)，畫出圖形，并求線段AD的長．解析：（1）①垂直，②4；（2）作圖見解析，或【分析】（1）①由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC=45°，可得AD⊥BD；②過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，由勾股定理可求DF，CF，AF的長，即可求AD的長；（2）分點(diǎn)D在BC左側(cè)和BC右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）∵△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，且AC=BC，CE=CD∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC=∠BEC=45°∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°∴AD⊥BD故答案為：垂直②如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，∵∠ADC=45°，CF⊥AD，CD=∴DF=CF=1∴∴AD=AF+DF=4故答案為：4．（2）①如圖：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1，∴AB=2,DE=2,∠ACD＝∠BCE,．∴△ACD∽△BCE．∴∠ADC＝∠E，．又∵∠CDE+∠E=90°，∴∠ADC+∠CDE=90°，即∠ADE=90°．∴AD⊥BE．設(shè)BE=x，則AD=x．在Rt△ABD中，，即．解得（負(fù)值舍去）．∴AD=．②如圖，同①設(shè)BE=x，則AD=x．在Rt△ABD中，，即．解得（負(fù)值舍去）．∴AD=．綜上可得，線段AD的長為【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線．9．問題背景（1）如圖（1），，都是等邊三角形，可以由通過旋轉(zhuǎn)變換得到，請(qǐng)寫出旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角的大?。畤L試應(yīng)用（2）如圖（2）．在中，，分別以AC，AB為邊，作等邊和等邊，連接ED，并延長交BC于點(diǎn)F，連接BD．若，求的值．拓展創(chuàng)新（3）如圖（3）．在中，，，將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AP，連接PB，直接寫出PB的最大值．解析：（1）旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角是；（2）；（3）．【分析】（1）由等邊三角形得出，，，，證明，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)即可得；（2）證明，由全等三角形的性質(zhì)得，，得出，由直角三角形性質(zhì)得，則可計(jì)算得答案；（3）過點(diǎn)A作，且使AE=AD，連接PE，BE，由直角三角形的性質(zhì)求出BE、PE的長即可得解．【詳解】解（1）∵，都是等邊三角形，∴，，，，，，，可以由繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，即旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)方向是順時(shí)針，旋轉(zhuǎn)角是；（2)和都是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)BF=x，則CF=DF=2x，DE=3x，∴；（3），∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，，如圖，過點(diǎn)A作，且使AE=AD，連接PE，BE，∵將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段AP，，PA=AC．，，，∴PE=CD=1．∵AB=2，AE=AD=1，∴BE===，，∴BP的最大值為+1．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理；熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．10．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)DE＝nEA，連接CE并延長，交AB于點(diǎn)F．（1）嘗試探究：如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA時(shí)，BF，BA之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）類比延伸：如圖2，當(dāng)△ABC為銳角三角形，DE＝EA時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）拓展遷移：如圖3，當(dāng)△ABC為銳角三角形，DE＝nEA時(shí)，請(qǐng)直接寫出BF，BA之間的數(shù)量關(guān)系．解析：（1）；（2）仍然成立，見解析；（3）【分析】（1）嘗試探究：過點(diǎn)作，交于，可證,，，可得，可證，可得BF，BA之間的數(shù)量關(guān)系；（2）類比延伸：過點(diǎn)作，交于，可證，，可得，可證，可得之間的數(shù)量關(guān)系；（3）拓展遷移：過點(diǎn)作，交于，由平行線分線段成比例可得，可得，即可求之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1）嘗試探究如圖，過點(diǎn)作，交于∵是中線，∴∵，∴，∴∴∴∴∴（2）類比延伸：結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖，過點(diǎn)作，交于∵是中線,∴∵，∴，∴∴∴∴∴（3）拓展遷移如圖，過點(diǎn)作，交于∵，且∴∴∵∴∴∴∴∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)綜合，根據(jù)題干條件作出輔助線并得到對(duì)應(yīng)的相似三角形是解決本題的關(guān)鍵.11．問題背景：如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．實(shí)驗(yàn)探究：（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小王同學(xué)將圖1中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2所示，得到結(jié)論：①_____；②直線與所夾銳角的度數(shù)為______．（2）小王同學(xué)繼續(xù)將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置.請(qǐng)問探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由．拓展延伸：在以上探究中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至、、三點(diǎn)共線時(shí)，則的面積為______．解析：（1），30°；（2）成立，理由見解析；拓展延伸：或【分析】（1）通過證明，可得，，即可求解；（2）通過證明，可得，，即可求解；拓展延伸：分兩種情況討論，先求出，的長，即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，，，，，如圖2，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，，，，，又，，直線與所夾銳角的度數(shù)為，故答案為：，；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖3，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，，又，，，，又，，直線與所夾銳角的度數(shù)為．拓展延伸：如圖4，當(dāng)點(diǎn)在的上方時(shí)，過點(diǎn)作于，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，，，，，，、、三點(diǎn)共線，，，，，由（2）可得：，，，的面積；如圖5，當(dāng)點(diǎn)在的下方時(shí)，過點(diǎn)作，交的延長線于，同理可求：的面積；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．12．（探究函數(shù)y=x+的圖象與性質(zhì)）（1）函數(shù)y=x+的自變量x的取值范圍是；（2）下列四個(gè)函數(shù)圖象中函數(shù)y=x+的圖象大致是；（3）對(duì)于函數(shù)y=x+，求當(dāng)x＞0時(shí)，y的取值范圍．請(qǐng)將下列的求解過程補(bǔ)充完整．解：∵x＞0∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+∵（﹣）2≥0∴y≥．[拓展運(yùn)用]（4）若函數(shù)y=，則y的取值范圍．解析：（1）x≠0；（2）C（3）4；4；（4）y≥13【解析】試題分析：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可.試題解析：（1）函數(shù)y=x+的自變量x的取值范圍是x≠0；（2）函數(shù)y=x+的圖象大致是C；（3）解：∵x＞0∴y=x+=（）2+（）2=（﹣）2+4∵（﹣）2≥0∴y≥4．（4）y==x+﹣5═（）2+（）2﹣5=（+）2+13∵（﹣）2≥0，∴y≥13．考點(diǎn)：1.反比例函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì).13．如圖（1），已知點(diǎn)G在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，GE⊥BC，垂足為點(diǎn)E，GF⊥CD，垂足為點(diǎn)F．（1）證明與推斷：①求證：四邊形CEGF是正方形；②推斷：的值為：（2）探究與證明：將正方形CEGF繞點(diǎn)C順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜45°），如圖（2）所示，試探究線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：（3）拓展與運(yùn)用：正方形CEGF在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖（3）所示，延長CG交AD于點(diǎn)H．若AG=6，GH=2，則BC=．解析：（1）①四邊形CEGF是正方形；②；（2）線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=BE；（3）3【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形CEGF是矩形，再由即可得證；②由正方形性質(zhì)知、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2）連接CG，只需證∽即可得；（3）證∽得，設(shè)，知，由得、、，由可得a的值．【詳解】（1）①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，∴四邊形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，∴EG=EC，∴四邊形CEGF是正方形；②由①知四邊形CEGF是正方形，∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，∴，GE∥AB，∴，故答案為；（2）連接CG，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知∠BCE=∠ACG=α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，=、=，∴=，∴△ACG∽△BCE，∴，∴線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=BE；（3）∵∠CEF=45°，點(diǎn)B、E、F三點(diǎn)共線，∴∠BEC=135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC=∠BEC=135°，∴∠AGH=∠CAH=45°，∵∠CHA=∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴，設(shè)BC=CD=AD=a，則AC=a，則由得，∴AH=a，則DH=AD﹣AH=a，CH==a，∴由得，解得：a=3，即BC=3，故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.14．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，連接AC，BD交于點(diǎn)M．填空：①的值為；②∠AMB的度數(shù)為．（2）類比探究如圖2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，連接AC交BD的延長線于點(diǎn)M．請(qǐng)判斷的值及∠AMB的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下，將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點(diǎn)M，若OD=1，OB=，請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長．解析：（1）①1；②40°；（2），90°；（3）AC的長為3或2．【分析】（1）①證明△COA≌△DOB（SAS），得AC=BD，比值為1；②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得：∠AMB=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°；（2）根據(jù)兩邊的比相等且夾角相等可得△AOC∽△BOD，則，由全等三角形的性質(zhì)得∠AMB的度數(shù)；（3）正確畫圖形，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，有兩種情況：如圖3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，則∠AMB=90°，，可得AC的長．【詳解】（1）問題發(fā)現(xiàn)：①如圖1，∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB，∵OC=OD，OA=OB，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC=BD，∴②∵△COA≌△DOB，∴∠CAO=∠DBO，∵∠AOB=40°，∴∠OAB+∠ABO=140°，在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°-140°=40°，（2）類比探究：如圖2，，∠AMB=90°，理由是：Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°，∴，同理得：，∴，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴，∠CAO=∠DBO，在△AMB中，∠AMB=180°-（∠MAB+∠ABM）=180°-（∠OAB+∠ABM+∠DBO）=90°；（3）拓展延伸：①點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖3，同理得：△AOC∽△BOD，∴∠AMB=90°，，設(shè)BD=x，則AC=x，Rt△COD中，∠OCD=30°，OD=1，∴CD=2，BC=x-2，Rt△AOB中，∠OAB=30°，OB=，∴AB=2OB=2，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，(x)2+(x?2)2＝(2)2，x2-x-6=0，（x-3）（x+2）=0，x1=3，x2=-2，∴AC=3；②點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖4，同理得：∠AMB=90°，，設(shè)BD=x，則AC=x，在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，(x)2+（x+2）2=(2)2.x2+x-6=0，（x+3）（x-2）=0，x1=-3，x2=2，∴AC=2；.綜上所述，AC的長為3或2．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等和相似的性質(zhì)和判定，幾何變換問題，解題的關(guān)鍵是能得出：△AOC∽△BOD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，并運(yùn)用類比的思想解決問題，本題是一道比較好的題目．15．問題背景：我們學(xué)習(xí)等邊三角形時(shí)得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．即：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，則：AC=AB．探究結(jié)論：小明同學(xué)對(duì)以上結(jié)論作了進(jìn)一步研究．（1）如圖1，連接AB邊上中線CE，由于CE=AB，易得結(jié)論：①△ACE為等邊三角形；②BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，點(diǎn)D是邊CB上任意一點(diǎn)，連接AD，作等邊△ADE，且點(diǎn)E在∠ACB的內(nèi)部，連接BE．試探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想并加以證明．（3）當(dāng)點(diǎn)D為邊CB延長線上任意一點(diǎn)時(shí)，在（2）條件的基礎(chǔ)上，線段BE與DE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論．拓展應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，1），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等邊△ABC，當(dāng)C點(diǎn)在第一象限內(nèi)，且B（2，0）時(shí)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)．解析：（1）EC=EB；（2）ED=EB，理由見解析；（3）ED=EB；拓展應(yīng)用：C（1，2+）．【分析】探究結(jié)論：（1）只要證明△ACE是等邊三角形即可解決問題；（2）如圖2中，結(jié)論：ED=EB．想辦法證明EP垂直平分線段AB即可解決問題；（3）結(jié)論不變，證明方法類似；拓展應(yīng)用：利用（2）中結(jié)論，可得CO=CB，設(shè)C（1，n），根據(jù)OC=CB=AB，構(gòu)建方程即可解決問題.【詳解】探究結(jié)論（1），如圖1中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∵AC=AB=AE=EB，∴△ACE是等邊三角形，∴EC=AE=EB，故答案為：EC=EB；（2）如圖2中，結(jié)論：ED=EB．理由：連接PE，∵△ACP，△ADE都是等邊三角形，∴AC=AD=DE，AD=AE，∠CAP=∠DAE=60°，∴∠CAD=∠PAE，∴△CAD≌△PAE，∴∠ACD=∠APE=90°，∴EP⊥AB，∵PA=PB，∴EA=EB，∵DE=AE，∴ED=EB；（3）當(dāng)點(diǎn)D為邊CB延長線上任意一點(diǎn)時(shí)，同法可證：ED=EB，故答案為：ED=EB；拓展應(yīng)用：如圖3中，作AH⊥x軸于H，CF⊥OB于F，連接OA，∵A（﹣，1），∴∠AOH=30°，由（2）可知，CO=CB，∵CF⊥OB，∴OF=FB=1，∴可以假設(shè)C（1，n），∵OC=BC=AB，∴1+n2=1+（+2）2，∴n=2+，∴C（1，2+）．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，正確添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵.16．小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，與恰好為對(duì)頂角，，連接，，點(diǎn)F是線段上一點(diǎn)．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)時(shí)，連接（如圖（2），小明經(jīng)過探究，得到結(jié)論：．你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？_________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：若，則點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)．請(qǐng)判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．問題解決：（3）若，求的長．解析：（1）是；（2）結(jié)論成立，理由見解析；（3）【分析】（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E，再通過AB=BD求出∠A=∠ADB，緊接著根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求出FD=FE=FC，由此得出∠E=∠FDE，據(jù)此進(jìn)一步得出∠ADB=∠FDE，最終通過證明∠ADB+∠EDC=90°證明結(jié)論成立即可；（2）根據(jù)垂直的性質(zhì)可以得出90°，90°，從而可得，接著證明出，利用可知，從而推出，最后通過證明得出，據(jù)此加以分析即可證明結(jié)論；（3）如圖，設(shè)G為的中點(diǎn)，連接GD，由（1）得，故而，在中，利用勾股定理求出，由此得出，緊接著，繼續(xù)通過勾股定理求出，最后進(jìn)一步證明，再根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出，從而求出，最后進(jìn)一步分析求解即可.【詳解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，∴∠A+∠ACB=∠E+∠ECD，∵∠ACB=∠ECD，∴∠A=∠E，∵AB=BD，∴∠A=∠ADB，在中，∵F是斜邊CE的中點(diǎn)，∴FD=FE=FC，∴∠E=∠FDE，∵∠A=∠E，∴∠ADB=∠FDE，∵∠FDE+∠FDC=90°，∴∠ADB+∠FDC=90°，即∠FDB=90°，∴BD⊥DF，結(jié)論成立，故答案為：是；（2）結(jié)論成立，理由如下：∵，∴90°，90°，∴，∵，∴．∴．又∵，∴．∴．又90°，90°，，∴，∴．∴．∴F為的中點(diǎn)；（3）如圖，設(shè)G為的中點(diǎn)，連接GD，由（1）可知，∴，又∵，在中，，∴，在中，，在與中，∵∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)及判定的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.17．（1）（閱讀與證明）如圖1，在正的外角內(nèi)引射線，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在內(nèi)），連接，、分別交于點(diǎn)F、G．①完成證明：點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，，．正中，，，，得．在中，，______．在中，，______．②求證：．（2）（類比與探究）把（1）中的“正”改為“正方形”，其余條件不變，如圖2．類比探究，可得：①______；②線段、、之間存在數(shù)量關(guān)系___________．（3）（歸納與拓展）如圖3，點(diǎn)A在射線上，，，在內(nèi)引射線，作點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E（點(diǎn)E在內(nèi)），連接，、分別交于點(diǎn)F、G．則線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為__________．解析：（1）①60°，30°；②證明見解析；（2）①45°；②BF=(AF+FG)；（3）．【分析】（1）①根據(jù)等量代換和直角三角形的性質(zhì)即可確定答案；②在FB上取AN=AF，連接AN．先證明△AFN是等邊三角形，得到∠BAN=∠2=∠1，然后再證明△ABN≌△AEF，然后利用全等三角形的性質(zhì)以及線段的和差即可證明；（2）類比（1）的方法即可作答；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論，即可總結(jié)出答案．【詳解】解：（1）①∵，，∴，即60°；∵∴故答案為60°，30°；②在FB上取FN=AF，連接AN∵∠AFN=∠EFG=60°∴△AFN是等邊三角形∴AF=FN=AN∵FN=AF∴∠BAC=∠NAF=60°∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2∴∠BAN=∠2∵點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEFFN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE∴△ABN≌△AEF∴BN=EF∵AG⊥CE，∠FEG=30°∴EF=2FG∴BN=EF=2FG∵BF=BN+NF∴BF=2FG+AF（2）①點(diǎn)E是點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，，，．正方形ABCD中，，，，得．在中，，45．在中，，45．故答案為45°；②在FB上取FN=AF，連接AN∵∠AFN=∠EFG=45°∴△AFN是等腰直角三角形∴∠NAF=90°，AF=AN∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2=90°,FN=AF∴∠BAN=∠2∵點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEFFN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE∴△ABN≌△AEF∴BN=EF∵AG⊥CE，∠FEG=45°∴EF=FG∴BN=EF=FG∵BF=BN+NF∴BF=FG+AF（3）由（1）得：當(dāng)∠BAC=60°時(shí)BF=AF+2FG=；由（2）得：當(dāng)∠BAC=90°時(shí)BF=AF+2FG=；以此類推，當(dāng)當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．18．在中，，．點(diǎn)D在邊上，且，交邊于點(diǎn)F，連接．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)時(shí)，①求證：；②推斷：_________．；（2）探究證明：如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄康亩葦?shù)是否為定值，并說明理由；（3）拓展運(yùn)用：如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)D作的垂線，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)K，若，求的長．解析：（1）①證明見解析，②；（2）為定值，證明見解析；（3）【分析】（1）①利用已知條件證明即可得到結(jié)論，②先證明利用相似三角形的性質(zhì)再證明結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得答案；（2）由（1）中②的解題思路可得結(jié)論；（3）設(shè)則利用等腰直角三角形的性質(zhì)分別表示：由表示再證明利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解，即可得到答案．【詳解】證明：（1）①②推斷：理由如下：（2）為定值，理由如下：由（1）得：（3），設(shè)則，解得：【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，更重要的是考查學(xué)生的學(xué)習(xí)探究的能力，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．如圖1，已知，，點(diǎn)D在上，連接并延長交于點(diǎn)F，（1）猜想：線段與的數(shù)量關(guān)系為_____；（2）探究：若將圖1的繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)小于時(shí)，得到圖2，連接并延長交于點(diǎn)F，則（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）拓展：圖1中，過點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)G．當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化，其它條件不變時(shí)，若，，直接寫出的長．解析：(1)AF=EF；(2)成立，理由見解析；(3)12【分析】(1)延長DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進(jìn)而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；(2)證明原理同(1)，延長DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，證明△ACF△EDG，進(jìn)而得到△GEF為等腰三角形，即可證明AF=GE=EF；(3)補(bǔ)充完整圖后證明四邊形AEGC為矩形，進(jìn)而得到∠ABC=∠ABE=∠EBG=60°即可求解．【詳解】解：(1)延長DF到G點(diǎn)，并使FG=DC，連接GE，如下圖所示∵，∴DE=AC，BD=BC，∴∠CDB=∠DCB，且∠CDB=∠ADF，∴∠ADF=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°，∵∠EDB=90°，∴∠ADF+∠FDE=90°，∴∠ACD=∠FDE，又延長DF使得FG=DC，∴FG+DF=DC+DF，∴DG=CF，在△ACF和△EDG中，，∴△ACF△EDG(SAS)，∴GE=AF，∠G