初三等腰三角形專題數(shù)學練習等腰三角形作為初中幾何的重要組成部分，不僅是全等三角形知識的延伸與應用，更是后續(xù)學習四邊形、圓等內(nèi)容的基礎。其“等邊對等角”、“等角對等邊”以及“三線合一”的特性，使得它在解決角度計算、線段相等證明、圖形對稱性分析等問題中扮演著不可或缺的角色。初三階段，對等腰三角形的考查更趨于綜合與靈活，因此，系統(tǒng)梳理知識要點，加強針對性練習，對于提升幾何推理能力至關重要。一、核心知識回顧與梳理在進入練習之前，我們有必要對等腰三角形的核心概念與性質(zhì)定理進行一次梳理，確保基礎扎實，方能舉一反三。1.等腰三角形的定義有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形。相等的兩邊稱為腰，另一邊稱為底邊，兩腰的夾角稱為頂角，腰和底邊的夾角稱為底角。特別地，三邊都相等的三角形是等邊三角形，它是等腰三角形的特例。2.等腰三角形的性質(zhì)*性質(zhì)1(等邊對等角)：等腰三角形的兩個底角相等。*這是等腰三角形最基本也最常用的性質(zhì)，常用于角度的計算與等量代換。*性質(zhì)2(三線合一)：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。*這是等腰三角形最為核心的性質(zhì)，它將角平分線、中線、高線三條重要線段的性質(zhì)集于一身，為我們添加輔助線、證明線段相等或垂直提供了重要依據(jù)。這里要特別注意，是“頂角”的平分線和“底邊”上的中線、高，不可混淆。3.等腰三角形的判定*判定1(定義法)：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。*判定2(等角對等邊)：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。*此判定定理是證明線段相等的重要工具，通常需要結(jié)合三角形內(nèi)角和定理來尋找相等的角。二、典型例題精析掌握了基本概念和性質(zhì)，我們通過幾道典型例題來深化理解，學習解題思路與技巧。例題1：利用等腰三角形性質(zhì)求角度題目：在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，求∠B和∠C的度數(shù)。分析：這是一道直接應用等腰三角形“等邊對等角”性質(zhì)的基礎題。已知頂角∠A的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，即可求出兩個底角的度數(shù)。解答：∵AB=AC(已知)∴∠B=∠C(等邊對等角)∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形內(nèi)角和定理)，∠A=40°(已知)∴∠B=∠C=(180°-40°)/2=70°點評：解這類題的關鍵是準確識別等腰三角形的頂角和底角，牢記“等邊對等角”。例題2：利用“三線合一”性質(zhì)解決問題題目：在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，若BC=6cm，∠BAD=35°，求∠BAC的度數(shù)和AD的長（AD為高時）。分析：由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，AD是底邊BC上的中線。根據(jù)“三線合一”性質(zhì)，AD同時也是頂角∠BAC的平分線和底邊BC上的高。因此，∠BAC=2∠BAD，AD⊥BC，且BD=DC=BC/2。解答：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線(已知)∴AD平分∠BAC，AD⊥BC(等腰三角形三線合一)∵∠BAD=35°(已知)∴∠BAC=2∠BAD=2×35°=70°∵BC=6cm(已知)∴BD=DC=BC/2=3cm(若題目明確AD為高，且已知其他條件如AB的長度，可進一步利用勾股定理求出AD的長度。本題未給出AB長度，故AD的長無法求出具體數(shù)值，僅能說明其位置和性質(zhì)。)點評：“三線合一”是等腰三角形中一個非常重要的性質(zhì)，它能將多個條件聯(lián)系起來，簡化計算和證明過程?？吹降妊切蔚走叺闹芯€、頂角平分線或底邊上的高時，要立刻聯(lián)想到“三線合一”。例題3：等腰三角形的判定與性質(zhì)綜合應用題目：如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各內(nèi)角的度數(shù)。分析：題中給出了多條線段相等（AB=AC，BD=BC=AD），這提示我們圖中存在多個等腰三角形。我們可以設其中一個較小的角為未知數(shù)，然后利用等腰三角形的性質(zhì)（等邊對等角）和三角形內(nèi)角和定理，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示其他角，最后列方程求解。解答：設∠A=x?！逜D=BD(已知)∴∠ABD=∠A=x(等邊對等角)∴∠BDC=∠A+∠ABD=x+x=2x(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和)∵BD=BC(已知)∴∠C=∠BDC=2x(等邊對等角)∵AB=AC(已知)∴∠ABC=∠C=2x(等邊對等角)在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°(三角形內(nèi)角和定理)即x+2x+2x=180°5x=180°x=36°∴∠A=36°，∠ABC=∠C=2x=72°點評：當題目中出現(xiàn)多個等腰三角形，且角度關系復雜時，設未知數(shù)并利用方程思想是一種非常有效的解題方法。關鍵在于找出角之間的等量關系和倍數(shù)關系。三、專題練習題以下練習題旨在幫助同學們鞏固所學知識，提升解題能力。請認真思考，獨立完成?；A鞏固1.等腰三角形的一個底角是50°，則它的頂角是______度。2.等腰三角形的兩邊長分別為5和7，則它的周長是______。(注意：分類討論腰長)3.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求證：DE=DF。能力提升4.在△ABC中，∠B=∠C，點D、E分別在AB、AC上，且BD=CE。求證：DE∥BC。5.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC邊上的中線，且BD=BE，求∠AED的度數(shù)。四、總結(jié)與學習建議等腰三角形的學習，核心在于對其性質(zhì)與判定的深刻理解和靈活運用?！暗冗厡Φ冉恰?、“等角對等邊”以及“三線合一”這三大法寶，在解決各類幾何問題時常常能起到“四兩撥千斤”的作用。學習建議：1.夯實基礎：務必準確記憶和理解等腰三角形的定義、性質(zhì)和判定定理，這是解決一切相關問題的前提。2.勤于動手：幾何學習離不開圖形，要養(yǎng)成畫圖、標圖的習慣，將文字條件直觀化，有助于發(fā)現(xiàn)隱含條件和解題思路。3.善于總結(jié)：對于典型的題目類型和解題方法要及時總結(jié)歸納，如“遇中線、角平分線、高，聯(lián)想三線合一”、“多等腰三角形問題，嘗試設元列方程”等。4.多做練習：通過適量的練習來檢驗和鞏固所學知識，提高解題的熟練度和應變能力。但要注意，練習不在多而在精，要注重反思和錯題整理。5.培養(yǎng)邏輯：幾何證明講究