第一章特殊平行四邊形3正方形的性質(zhì)與判定

第一章特殊平行四邊形第1課時正方形的性質(zhì)1.

正方形的定義：有一組鄰邊

，并且有一個角是

?的平

行四邊形叫做正方形.相等

直角

2.

根據(jù)正方形的定義可知，正方形既是矩形，又是菱形，正方形具有矩

形與菱形的所有性質(zhì).圖形性質(zhì)幾何語言周長和面積

(1)四條邊都

?

?；(2)四個角都是

?；(3)對角線

?

?

?；且對角線平分

?.∵四邊形ABCD是正方形，∴邊：

?

?；角：

?

?

?；對角線：

?

?

?.(1)C＝4·邊長；(2)S＝邊長2或S＝

AC·BD.

相

等

直角

互相平

分、垂直且相

等

每一組對角

AB＝BC＝

CD＝DA

∠ABC＝∠BCD

＝∠CDA＝∠DAB＝

90°

AC＝BD，

AC⊥BD，OA＝OB＝

OC＝OD

知識點1

利用正方形的性質(zhì)進行計算【例1】如圖，已知正方形ABCD.

(1)若邊長為2，則對角線長為

，周長為

，面積為

?.(2)圖中有

個等腰直角三角形.

8

4

8

【變式1】如圖，已知正方形ABCD.

(1)若對角線長為2，則邊長為

，面積為

?.(2)若正方形的面積為8，則它的邊長為

，對角線長為

?.注意：正方形的邊長、對角線、周長和面積知一可推三.

2

4

知識點2

利用正方形的性質(zhì)進行證明【例2】(北師教材九上P21例1)如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一

點，F(xiàn)為BC延長線上一點，且CE＝CF.

BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？

請說明理由.解：BE＝DF，BE⊥DF.

解：BE＝DF，BE⊥DF.

理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°.∴∠BCD＝∠DCF＝90°.∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.

∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF.

如圖，延長BE交DF于點G.

∵∠F＋∠CDF＝90°，∴∠F＋∠CBG＝90°.∴∠BGF＝90°.∴BE⊥DF.

【變式2】(十字架模型)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，

CD上的點，CE＝DF，連接AF，DE交于點G.

求證：AF＝DE，

AF⊥DE.

證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°.

∴△ADF≌△DCE(SAS).∴∠DAF＝∠CDE，AF＝DE.

又∵∠ADG＋∠CDE＝90°，∴∠DAF＋∠ADG＝90°.∴∠DGA＝90°.∴AF⊥DE.

1.

正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是(

D

)A.

四個角都相等B.

對角線互相平分C.

對角線相等D.

對角線互相垂直2.

如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊三角形CDE，連接AE，則

∠DAE的度數(shù)是(

A

)A.15°B.20°C.12.5°D.10°DA3.

(北師教材九上P22T2改編)如圖，四邊形ABCD是正方形，△CBE是等

邊三角形.(1)求證：AE＝DE.

解：(1)證明∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD.

∵△CBE是等邊三角形，∴BE＝CE，∠CBE＝∠BCE＝60°.∴∠ABE＝∠DCE＝30°.∴△ABE≌△DCE.

∴AE＝DE.

證明∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝CD.

∵△CBE是等邊三角形，∴BE＝CE，∠CBE＝∠BCE＝60°.∴∠ABE＝∠DCE＝30°.∴△ABE≌△DCE.

∴AE＝DE.

(2)求∠AEB的度數(shù).解：(2)∵AB＝BC，BC＝BE，∴AB＝BE.

∵∠ABE＝30°，∴∠BAE＝∠AEB＝75°.解：∵AB＝BC，BC＝BE，∴AB＝BE.

∵∠ABE＝30°，∴∠BAE＝∠AEB＝75°.3.

(北師教材九上P22T2改編)如圖，四邊形ABCD是正方形，△CBE是等

邊三角形.4.

(燕子模型)如圖，在正方形ABCD中，點E為對角線AC上的一點，連

接EB，ED.

(1)求證：△BEC≌△DEC.

證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，AC平分∠BCD.

∴∠DCE＝∠BCE.

在△BEC和△DEC中，

∴△BEC≌△DEC(SAS).

解：由(1)，得△BEC≌△DEC.

∵∠DCE＝45°，∴∠CDE＝180°－45°－70°＝65°.∴∠EDF＝90°－65°＝25°.又∵∠DEF＝180°－∠DEB＝40°，∴∠AFE＝∠EDF＋∠DEF＝65°.5.

如圖1，在正方形ABCD中，點E在邊CD上(不與點C，D重合)，AE

交對角線BD于點G，GF⊥AE交BC于點F.

(1)求證：AG＝FG.

證明：如圖，連接CG.

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°.∵BG＝BG，∴△ABG≌△CBG.

∴AG＝CG，∠BAG＝∠BCG.

∵∠ABC＋∠BAG＋∠AGF＋∠BFG＝360°，且∠ABC＝∠AGF＝90°，∴∠BAG＋∠BFG＝180°.∴∠BCG＋∠BFG＝180°.∵∠BFG＋∠GFC＝180°，∴∠BCG＝∠GFC.

∴GC＝GF.

∴AG＝FG.

∴GC＝GF.

∴AG＝FG.

5.

如圖1，在正方形ABCD中，點E在邊CD上(不與點C，D重合)，AE

交對角線BD于點G，GF⊥AE交BC于點F.

(2)若AB＝10，BF＝4，求BG的長.解：如圖，過點G作GH⊥BC于點H.

∵AB＝BC＝10，BF＝4，∴CF＝6.∵GC＝GF，GH⊥BC，∴FH＝3.∴BH＝7.∵∠DBC＝45°，∴GH＝BH＝7.

第一章特殊平行四邊形第2課時正方形的判定1.定義：有一組鄰

邊

，并且有一

個角是

?的平行

四邊形是正方形.∵

?

?，∴四邊形ABCD是正方形.

2.矩形＋邊：有一組鄰

邊

?的矩形是正

方形.∵

?

?，∴四邊形ABCD是正方形.相等

直角

四邊形ABCD是平行四邊

形，AB＝BC，∠ABC＝90°

相等

四邊形ABCD是矩形，AB＝

BC

3.矩形＋對角線：

對角線

?的

矩形是正方形.∵

?

?，∴四邊形ABCD是正方形.

4.菱形＋角：有一

個角是

?的

菱形是正方形.∵

?

?，∴四邊形ABCD是正方形.5.菱形＋對角線：

對角線

?的

菱形是正方形.∵

?

?，∴四邊形ABCD是正方形.垂直

四邊形ABCD是矩形，

AC⊥BD

直角

四邊形ABCD是菱形，∠ABC

＝90°

相等

四邊形ABCD是菱形，AC＝

BD

知識點1

正方形的判定【例1】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，請?zhí)砑右粋€

條件

，使矩形ABCD是正方形.【變式1】下列條件中，能使菱形ABCD為正方形的是(

B

)A.

AB＝ADB.

AB⊥BCC.

AC⊥BDD.

AC平分∠BAD(答案不唯一)AC⊥BD

B知識點2

先證矩形再證正方形【例2】如圖，在矩形ABCD中，點E在邊AB上，將矩形ABCD沿DE折

疊，點A的對稱點F落在邊CD上，連接EF.

求證：四邊形ADFE是正

方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADF＝90°.由折疊，得∠DFE＝∠A＝90°，∴四邊形ADFE是矩形.由折疊，得AE＝FE，∴四邊形ADFE是正方形.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADF＝90°.由折疊，得∠DFE＝∠A＝90°，∴四邊形ADFE是矩形.由折疊，得AE＝FE，∴四邊形ADFE是正方形.【變式2】(北師教材九上P27T13改編)如圖，在△ABC中，∠ACB＝

90°，

CD平分∠ACB，DE⊥BC于點E，DF⊥AC于點F.

求證：四邊

形CFDE是正方形.證明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠CFD＝∠CED＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四邊形CFDE是矩形.∵CD平分∠ACB，∴DF＝DE.

∴四邊形CFDE是正方形.證明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠CFD＝∠CED＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四邊形CFDE是矩形.∵CD平分∠ACB，∴DF＝DE.

∴四邊形CFDE是正方形.知識點3

先證菱形再證正方形【例3】(北師教材九上P23例2)已知：如圖，在矩形ABCD中，BE平分

∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.

求證：四邊形BECF是

正方形.證明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四邊形BECF是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°.∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，

∴BE＝CE.

∴平行四邊形BECF是菱形.∵∠E＝180°－∠CBE－∠BCE＝90°，∴菱形BECF是正方形.

(1)求證：△ABD≌△CBD.

證明：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.

又∵AB＝CB，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD.

證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.

又∵AB＝CB，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD.

證明：由(1)，得△ABD≌△CBD，∴AD＝CD.

∴AB＝BC＝CD＝AD.

∴四邊形ABCD是菱形.

∴BD2＝8＝4＋4＝BC2＋CD2.∴△BCD是直角三角形.∴∠BCD＝90°.∴菱形ABCD是正方形.1.

如圖，下列四組條件中，能判定?ABCD是正方形的有(

D

)①AB＝BC，∠BAD＝90°；②AC⊥BD，AC＝BD；③OA＝OD，

BC＝CD；④∠BOC＝90°，∠ABD＝∠DCA.

A.1個B.2個C.3個D.4個D2.

(北師教材九上P25T3)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別

在它的四條邊上，且AE＝BF＝CG＝DH.

四邊形EFGH是什么特殊四

邊形？你是如何判斷的？解：四邊形EFGH是正方形.理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝AD.

∵AE＝BF＝DH，∴AB－AE＝AD－DH，即BE＝AH.

∴△AEH≌△BFE.

∴∠AEH＝∠BFE，EH＝EF.

∵∠BFE＋∠BEF＝90°，∴∠AEH＋∠BEF＝90°.∴∠FEH＝90°.同理，可證∠EFG＝∠FGH＝90°.∴四邊形EFGH是矩形.∵EF＝EH，∴矩形EFGH是正方形.同理，可證∠EFG＝∠FGH＝90°.∴四邊形EFGH是矩形.∵EF＝EH，∴矩形EFGH是正方形.3.

如圖，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于點D，分別以AB，

AC為對稱軸，畫出△ABD，△ACD的軸對稱圖形，點D的對稱點分別

為點E，F(xiàn)，延長EB，F(xiàn)C相交于點G.

(1)求證