14.3（第2課時）

第十四章

全等三角形角的平分線的判定探究1：回顧：作角的平分線及性質活動一：復習作角的平分線及性質1.如圖，△ABC中，（1）求作：射線BM，CN；使得BM，CN分別是∠ABC，∠ACB的平分線

（2）在（1）情況下，BM與CN相交于點P；求證：點P到三邊AB，BC，AC的距離相等活動一：復習作角的平分線及性質

（2）在（1）情況下，BM與CN相交于點P；求證：點P到三邊AB，BC，AC的距離相等證明:(1)過點P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥CA,垂足分別為D,E,F.∵BM是△ABC的角平分線,點P在BM上,∴PD=PE.同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即點P到三邊AB,BC,CA的距離相等.

（3）連接AP，問射線AP是否也是∠BAC的平分線？為什么？解：是。Rt△ADP≌Rt△AFP∠DAP=∠FAPAP是∠BAC的平分線探究：角的平分線的判定

我們知道，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；反過來，角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.所以在角的內部，角的平分線(頂點除外)可以看成到角兩邊距離相等的所有點的集合活動二：角的平分線判定

問題2：我們知道通過定義法“角平分線的定義”可以判定一個點是否在角的平分線上?，F在我們在角平分線性質的基礎上來研究另一個判定方法?；顒佣航堑钠椒志€判定例1.已知：如圖，點P是∠AOB內的一點，PD⊥OA，PE⊥OB，

垂足分別為D，E，且PD=PE.求證：點P在∠AOB的平分線OC上.OABCPDE┐證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PEO=∠PDO=90°.∵在Rt△PEO和Rt△PDO中，

PE=PD，

PO=PO，∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）.

∴∠AOC=∠BOC.∴點P在∠AOB的平分線OC上.活動二：角的平分線判定角的平分線判定：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.∵PD⊥OA，PE⊥OB，

PD=PE，∴點

P在∠AOB的平分線上.應用所具備的條件：（1）位置關系：點在角的內部；（2）數量關系：該點到角兩邊的距離相等.幾何語言：證明一條射線(或線段)是角平分線，有兩種方法①利用三角形全等證兩角相等；②利用角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上探究3：例題精煉

例1如圖,已知CE⊥AB于點E,BF⊥AC于點F,BF交CE于點D,且BD=CD.求證:點D在∠BAC的平分線上.題型1：證明點在角平分線上證明∵CE⊥AB,BF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°.方法1：例1如圖,已知CE⊥AB于點E,BF⊥AC于點F,BF交CE于點D,且BD=CD.求證:點D在∠BAC的平分線上.題型1：證明點在角平分線上方法2：（角平分線的定義）證明∵CE⊥AB,BF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°.在△DEB和△DFC中

∠DEB=∠DFC∠BDE=∠CDFBD=CD∴△DEB≌△DFC（AAS）∴DE=DF∵在Rt△ADE和Rt△ADF中，

DE=DF，

AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴∠DAE=∠DAF，∴點D在∠BAC的平分線.

如圖,AB⊥CD,CE⊥AD,垂足分別為B,E,AB=CE,AB,CE相交于點F,連接DF.求證:FD平分∠BFE.題型1：證明點在角平分線上變式1：例2如圖，CP，BP是△ABC兩外角的平分線，PE⊥AC且與AC的延長線交于點E，PF⊥AB且與AB的延長線交于點F，試探究BC，CE，BF三條線段有什么關系？解：如圖，作PD⊥BC，垂足為D.∵CP平分∠BCE，PE⊥AC，∴PE＝PD，在Rt△PDC和Rt△PEC中，PD＝PE，

PC＝PC，∴Rt△PDC≌Rt△PEC(HL)，∴CD＝CE.同理可證BD＝BF.∴CD＋BD＝CE＋BF，即BC＝CE＋BF.題型2：證明線段之間的數量關系例3圖,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別為E,F,連接EF,EF與AD相交于點G.AD與EF垂直嗎?證明你的結論解：如圖，AD是△ABC的角平分線,

DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，

DE＝DF，

AD＝AD

，∴Rt△ADEC≌Rt△ADC(HL)，∴AE＝AF.題型3：證明線段之間的位置關系在△AGE和△AGF中，AE＝AF，

∠DAE=∠DAFAD＝AD

，∴△AGE

≌△AGF(SAS)，∴∠AGE＝∠AGF=90°，∴AD⊥EF.課堂小結內容角的平分線的判定角的內部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上結論判斷一個點是否在角的平分線上作用三角形的角平分線相交于內部一點，該點到三角形三邊的距離相等1.如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，在邊AC上求作一點P，使點P到邊BC和邊AB的距離相等過關檢測2.如圖，在△ABC中，CE