第1頁：封面標(biāo)題：2.1圓的對稱性副標(biāo)題：湘教版九年級數(shù)學(xué)下冊配圖：左側(cè)為圓的軸對稱性示意圖（過圓心的直線為對稱軸，標(biāo)注對稱點），右側(cè)為中心對稱性示意圖（圓心為對稱中心，標(biāo)注旋轉(zhuǎn)180°

后的重合點）落款：授課教師/日期第2頁：學(xué)習(xí)目標(biāo)知識與技能理解圓的軸對稱性（無數(shù)條對稱軸，均為過圓心的直線）和中心對稱性（對稱中心為圓心），掌握圓的旋轉(zhuǎn)不變性能運(yùn)用圓的對稱性推導(dǎo)垂徑定理及其推論，理解圓心角、弧、弦之間的關(guān)系能利用圓的對稱性解決實際問題（如求弦長、圓心到弦的距離等）過程與方法通過“觀察—折疊—旋轉(zhuǎn)—推理”，經(jīng)歷圓的對稱性從直觀感知到理論驗證的過程培養(yǎng)動手操作能力與邏輯推理能力，體會“實驗—猜想—證明”的數(shù)學(xué)探究方法情感態(tài)度感受圓的對稱美與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，體會對稱性在幾何研究中的重要作用，增強(qiáng)學(xué)習(xí)幾何的興趣第3頁：情境引入——生活中的圓形與對稱性視覺呈現(xiàn)（配圖+文字說明）：自然與建筑：向日葵花盤的種子排列、圓形鐘表的表盤、圓形拱橋的輪廓、摩天輪的座艙分布藝術(shù)與設(shè)計：圓形剪紙圖案、對稱的圓形徽章、旋轉(zhuǎn)對稱的風(fēng)扇葉片科技與工具：光盤的紋路、自行車的車輪、羅盤的刻度盤問題鏈：這些圓形物體有什么共同的視覺特征？（均呈現(xiàn)對稱形態(tài)）我們學(xué)過的圖形中，哪些具有軸對稱性或中心對稱性？（如正方形、等腰三角形等）圓的對稱性與這些圖形相比，有什么特別之處？今天我們共同探究“圓的對稱性”。第4頁：探究1——圓的軸對稱性（折疊實驗）實驗操作：準(zhǔn)備工具：圓形紙片（標(biāo)注圓心O）、直尺、鉛筆實驗步驟：步驟1：將圓形紙片沿任意一條過圓心O的直線對折，觀察紙片兩側(cè)是否完全重合；步驟2：改變折痕位置（仍過圓心），重復(fù)對折操作，記錄觀察結(jié)果；步驟3：嘗試沿不過圓心的直線對折，觀察是否能完全重合。實驗結(jié)論：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線；圓有無數(shù)條對稱軸（因過圓心的直線有無數(shù)條）；不過圓心的直線不能作為圓的對稱軸（對折后無法完全重合）。延伸思考：圓的直徑所在的直線是否為對稱軸？（是，因直徑過圓心）如何利用圓的軸對稱性研究圓的其他性質(zhì)？（如后續(xù)的垂徑定理）第5頁：探究2——垂徑定理（基于軸對稱性推導(dǎo)）推導(dǎo)過程：情境設(shè)定：如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為E。利用軸對稱性分析：因AB是對稱軸，將⊙O沿AB對折，點C與點D重合（對稱點），弧AC與弧AD重合，弧BC與弧BD重合；對應(yīng)線段相等：CE=DE；對應(yīng)弧相等：\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}\)，\(\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}\)。垂徑定理內(nèi)容：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。符號語言：∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD于E，∴CE=DE，\(\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}\)，\(\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}\)。定理推論（小組討論）：推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。蛔⒁猓喝粝覟橹睆?，平分直徑的直線不一定垂直于直徑（如任意兩條相交的直徑）；推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。即時應(yīng)用：例：已知⊙O的半徑為5cm，弦CD長為8cm，求圓心O到弦CD的距離（答案：3cm，利用垂徑定理與勾股定理求解）。第6頁：探究3——圓的中心對稱性與旋轉(zhuǎn)不變性（旋轉(zhuǎn)實驗）實驗操作：準(zhǔn)備工具：兩個完全相同的圓形紙片（標(biāo)注圓心O?、O?，分別在圓周上取點A、B和對應(yīng)點A'、B'）實驗步驟：步驟1：將兩個圓形紙片重合，使O?與O?重合，A與A'重合，B與B'重合；步驟2：將其中一個圓形紙片繞圓心旋轉(zhuǎn)180°，觀察兩圓是否仍完全重合；步驟3：改變旋轉(zhuǎn)角度（如90°、60°、任意角度），觀察重合情況。實驗結(jié)論：圓是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心（旋轉(zhuǎn)180°

后與自身重合）；圓具有旋轉(zhuǎn)不變性：繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度后，都能與自身重合（這是圓區(qū)別于其他中心對稱圖形的獨特性質(zhì)）。第7頁：探究4——圓心角、弧、弦之間的關(guān)系（基于旋轉(zhuǎn)不變性推導(dǎo)）推導(dǎo)過程：定義引入：圓心角：頂點在圓心，兩邊與圓相交的角（如∠AOB）；等?。耗軌蛲耆睾系幕?；等弦：長度相等的弦。情境設(shè)定：在⊙O中，∠AOB=∠COD（兩個圓心角相等）。利用旋轉(zhuǎn)不變性分析：將∠AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)，使OA與OC重合，因∠AOB=∠COD，故OB與OD重合；對應(yīng)弧重合：\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\)；對應(yīng)弦重合：AB=CD。核心性質(zhì)：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等。符號語言：∵在⊙O中，∠AOB=∠COD，∴\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\)，AB=CD。推論（雙向推導(dǎo)）：推論1：在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，所對的弦相等；推論2：在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，所對的優(yōu)弧和劣弧分別相等。注意事項：性質(zhì)成立的前提是“同圓或等圓”，若兩圓半徑不同，即使圓心角相等，弧和弦也不相等；弦所對的弧有優(yōu)弧和劣弧之分，推論中需明確“優(yōu)弧對優(yōu)弧，劣弧對劣弧”。第8頁：典例精析例題1：垂徑定理的應(yīng)用已知在⊙O中，弦AB的長為16cm，圓心O到AB的距離為6cm，求⊙O的半徑。解答：過O作OC⊥AB于C，由垂徑定理得AC=BC=\(\frac{1}{2}\)AB=8cm；在Rt△OAC中，OC=6cm，AC=8cm，由勾股定理得：OA=\(\sqrt{OC^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10\)cm；故⊙O的半徑為10cm。例題2：圓心角、弧、弦關(guān)系的應(yīng)用已知在⊙O中，\(\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}\)，AB=5cm，求CD的長及∠AOB與∠COD的關(guān)系。解答：由“相等的弧所對的弦相等”得CD=AB=5cm；由“相等的弧所對的圓心角相等”得∠AOB=∠COD。例題3：綜合應(yīng)用已知⊙O的直徑為10cm，弦EF⊥直徑AB于點G，EG=3cm，求OG的長。解答：連接OE，OE為半徑，故OE=5cm；由垂徑定理得EG=FG=3cm；在Rt△OEG中，由勾股定理得：OG=\(\sqrt{OE^2-EG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\)cm；故OG的長為4cm（注意：OG可能在AB上方或下方，長度均為4cm）。第9頁：課堂練習(xí)基礎(chǔ)題：（1）圓的對稱軸是________，有________條；（2）在⊙O中，直徑AB⊥弦CD于E，若CD=8cm，OE=3cm，則⊙O的半徑為________cm；（3）在同圓中，若∠AOB=∠COD，且AB=4cm，則CD=________cm。（答案：（1）過圓心的直線，無數(shù)；（2）5；（3）4）提升題：已知⊙O的半徑為5cm，弦AB與CD相交于點P，AB=8cm，CD=6cm，且OP平分∠AOC，求證：AB⊥CD。（提示：過O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，利用角平分線性質(zhì)得OE=OF，結(jié)合垂徑定理與勾股定理證明四邊形OEPF為正方形，故∠EPF=90°）第10頁：課堂小結(jié)知識梳理（思維導(dǎo)圖）：圓的對稱性→

軸對稱性（過圓心的直線為對稱軸）→

垂徑定理及推論；└→

中心對稱性與旋轉(zhuǎn)不變性（對稱中心為圓心）→

圓心角、弧、弦關(guān)系及推論。核心結(jié)論：圓的對稱性是推導(dǎo)垂徑定理、圓心角弧弦關(guān)系的理論基礎(chǔ)；運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)時，常通過作“輔助線”（如過圓心作弦的垂線）構(gòu)建直角三角形，結(jié)合勾股定理求解；“同圓或等圓”是圓心角、弧、弦關(guān)系成立的重要前提，需特別注意。第11頁：作業(yè)布置基礎(chǔ)作業(yè)：教材P58第1、2、3題（垂徑定理應(yīng)用+圓心角弧弦關(guān)系應(yīng)用）提升作業(yè)：已知⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=16cm，CD=12cm，求AB與CD之間的距離（提示：分AB與CD在圓心同側(cè)和異側(cè)兩種情況）實踐作業(yè)：用圓形紙片制作一個“垂徑定理演示模型”，通過折疊展示垂徑定理的內(nèi)容，拍照或錄制小視頻提交2025-2026學(xué)年湘教版數(shù)學(xué)九年級下冊【示范課精品課件】授課教師：

.班級：

.

時間：

.

2.1圓的對稱性第2章

圓aiTujmiaNg情境引入

如圖所示，一些學(xué)生正在做投圈游戲，他們呈“一”字排開.

問題

這樣的隊形對每一人都公平嗎？你認(rèn)為他們應(yīng)當(dāng)怎樣站隊？不公平；四個人應(yīng)該站在離玩偶距離相等的位置上.概念學(xué)習(xí)圓是到一定點的距離等于定長的所有點組成的圖形.·定長叫作半徑.這個定點叫作圓心.OA圓的概念·rOA圓也可以看成是一個動點繞一個定點旋轉(zhuǎn)一周所形成的圖形，定點叫作圓心.以點

O為圓心的圓叫作圓

O，記作

⊙O.定點與動點的連線段叫作半徑.如圖，點

O是圓心.線段

OA

的長度是一條半徑.線段

OA的長度也叫作半徑，記作半徑

r.概念學(xué)習(xí)典例精析例1

矩形

ABCD的對角線

AC、BD相交于

O.求證：A、B、C、D在以

O為圓心的同一圓上.ABCDO證明：∵四邊形

ABCD是矩形，∴AO=OC，OB=OD.

又∵AC=BD，∴OA=OB=OC=OD.∴A、B、C、D在以

O為圓心，以

OA為半徑的圓上..問題1：觀察下圖中點和圓的位置關(guān)系有哪幾種？.o.C....B..A點與圓的位置關(guān)系有三種：點在圓內(nèi)，點在圓上，點在圓外.點和圓的位置關(guān)系問題2：設(shè)點到圓心的距離為

d,圓的半徑為

r，量一量在點和圓三種不同位置關(guān)系時，d與

r有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點

P在⊙O

內(nèi)

點

P在⊙O上點

P在

⊙O

外dddrPdPrd

Prd＜rr=＞r反過來，由

d與

r的數(shù)量關(guān)系，怎樣判定點與圓的位置關(guān)系呢？OOO要點歸納rPdPrd

Prd點

P

在

⊙O

內(nèi)

d<r點

P

在

⊙O

上

d=r點

P

在

⊙O

外

d>r數(shù)形結(jié)合：位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系OOO1.⊙O

的半徑為

10

cm，A、B、C

三點到圓心的距離分別為

8

cm、10

cm、12

cm，則點

A、B、C

與⊙O

的位置關(guān)系是：點

A

在

；點

B

在

；點

C在

.

圓內(nèi)圓上圓外典例精析2.圓心為

O的兩個同心圓，半徑分別為1和2，若OP=，則點

P在

(

)A.大圓內(nèi)

B.小圓內(nèi)C.小圓外

D.大圓內(nèi)，小圓外oD

弦:·COAB連接圓上任意兩點的線段(如圖中的

AC，AB)叫做弦.經(jīng)過圓心的弦(如圖中的

AB)叫做直徑．1.弦和直徑都是線段.2.直徑是弦，是經(jīng)過圓心的特殊弦，是圓中最長的弦，但弦不一定是直徑.注意圓的有關(guān)概念弧:·COAB圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．半圓

圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，弧用符號“

”表示.以A、B為端點的弧記作

，讀作“圓弧AB”或“弧AB”．劣弧與優(yōu)弧小于半圓的弧叫做劣弧.如圖中的

;大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.如圖中的

.·COAB如圖.(1)請寫出以點

A

為端點的優(yōu)弧及劣弧;(2)請寫出以點

A

為端點的弦及直徑.弦

AF,

AB

,

AC.其中弦

AB

又是直徑.ABCEFDO劣弧：優(yōu)?。篈F,(AD,(AC,(AE.(AFE,(AFC,(AED,(AEF.(練一練知識要點1.根據(jù)圓的定義,“圓”指的是“圓周”,而不是“圓面”.2.直徑是圓中最長的弦.附圖解釋：·COAB連接OC，在

△AOC

中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系有

AO+OC

＞

AC，而

AB

=

2OA，AO

=

OC，所以

AB

＞AC.這兩個圓

問題3用一塊硬紙板和一張薄的白紙分別畫一個圓，它們的半徑相等，把白紙放在硬紙板上面，使兩個圓的圓心重合，觀察這兩個圓是否重合？重合圓的對稱性探究把能夠互相重合的弧叫作等弧.概念學(xué)習(xí)問題4現(xiàn)在用一根大頭針穿過這兩個圓的圓心，讓硬紙板保持不動，讓白紙繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，觀察旋轉(zhuǎn)后，白紙上的圓是否仍然與硬紙板上的圓重合？能夠重合的兩個圓叫作等圓，·仍然重合問題5這體現(xiàn)圓具有什么樣的性質(zhì)？圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能與自身重合.特別地，將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)180°

時能與自身重合.圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心.知識要點問題6在白紙的圓上面畫任意一條直徑，把白紙沿著這條直徑所在的直線折疊．觀察圓的兩部分是否互相重合？·OABCDE能夠重合你能講出圓具有這種對稱性的道理嗎？圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸.知識要點為什么車輪要做成圓形的？中心與路面距離相等中心與邊緣距離相等中心與邊緣距離不相等中心與路面距離不相等觀察與思考把車輪做成圓形，車輪上各點到車輪中心(圓心)的距離都等于車輪的半徑，當(dāng)車輪在平面上滾動時，車輪中心與平面的距離保持不變，因此，當(dāng)車輛在平坦的路上行駛時，坐車的人會感覺到非常平穩(wěn)，這也是車輪都做成圓形的數(shù)學(xué)道理．1.填空：（1）______是圓中最長的弦，它是______的

2

倍．（2）圖中有

條直徑，

條非直徑的弦，

圓中以

A

為一個端點的優(yōu)弧有

條，

劣弧有

條．直徑半徑一二四四ABCDOFE2.判斷下列說法的正誤，并說明理由或舉反例.(1)弦是直徑；(2)半圓是?。?3)過圓心的線段是直徑；(4)過圓心的直線是直徑；(5)半圓是最長的?。?6)直徑是最長的弦；(7)長度相等的弧是等弧.

3.正方形

ABCD

的邊長為

2

cm，以

A

為圓心，2

cm

為

半徑作

⊙A，則點

B

在⊙A

；點

C

在⊙A

；點

D

在⊙A

.上外上4.⊙O的半徑

r為

5cm，O為原點，點

P的坐標(biāo)為(3，4)，則點

P與⊙O的位置關(guān)系為(

)A.在⊙O內(nèi)

B.在⊙O上

C.在⊙O外

D.在⊙O上或⊙O外B5.觀察下列圖形：請問以上三個圖形中是軸對稱圖形的有______，是中心對稱圖形的有______(分別用以上三個圖形的代號填空)．①③①②③

6.一點和

⊙O

上的最近點距離為

4

cm，最遠(yuǎn)的距離為

10

cm，則這個圓的半徑是

.7cm或3cm①一石激起千層浪②方向盤③銅錢返回D1．下列說法中，錯誤的有(

)①弦是直徑；②長度相等的兩條弧是等??；③半圓是弧，但弧不一定是半圓；④直徑是圓的對稱軸；⑤圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都會與自身重合；⑥優(yōu)弧一定比劣弧長．A．1個

B．2個

C．3個

D．4個2．[2025永州月考]如圖，CD是⊙O的直徑，若AB⊥CD，垂足為B，∠OAB＝40°，則∠C的度數(shù)為(

)A．15°B．20°C．25°D．30°C返回3.

如圖，在⊙O中，弦有________，直徑是________，劣弧有______________________，優(yōu)弧有___________________________，半圓有____________，若圖中最長的弦為12，則⊙O的面積為________．返回AC