第1頁：封面標(biāo)題：27.4正多邊形與圓副標(biāo)題：從圓的等分到正多邊形的性質(zhì)與計算落款：初中數(shù)學(xué)教研組第2頁：學(xué)習(xí)目標(biāo)與知識銜接一、學(xué)習(xí)目標(biāo)理解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系，掌握正多邊形的中心、半徑、中心角、邊心距等核心概念推導(dǎo)并掌握正n邊形的內(nèi)角、中心角、邊長、周長及面積的計算方法，深化數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識正多邊形的對稱性，學(xué)會用量角器畫正多邊形及用尺規(guī)作特殊正多邊形（如正四邊形、正六邊形）能運用正多邊形與圓的性質(zhì)解決幾何計算與實際應(yīng)用問題二、知識銜接（回顧與引入）舊知回顧：圓的基本性質(zhì)（同圓中相等的圓心角對應(yīng)相等的?。?、圓周角定理、扇形面積公式（為正多邊形計算奠定基礎(chǔ)）；生活引入：展示蜂巢、鐘表表盤、正多邊形地磚、古建筑窗欞等實例（配圖），提問：這些圖形有何共同特征？它們與圓有怎樣的聯(lián)系？（引出正多邊形與圓的關(guān)聯(lián)）；核心關(guān)聯(lián)：任意正多邊形都有一個外接圓，將圓等分即可得到內(nèi)接正多邊形（本質(zhì)是“圓的等分→正多邊形構(gòu)造”的轉(zhuǎn)化思想）。第3頁：一、正多邊形的概念與圓的關(guān)聯(lián)1.正多邊形的定義與判定定義：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形（如正三角形、正方形、正五邊形等）；判定要點：需同時滿足“邊相等”和“角相等”兩個條件，缺一不可。例如：菱形各邊相等但角不相等，不是正多邊形；矩形各角相等但邊不相等，不是正多邊形；正方形邊、角均相等，是正四邊形。2.正多邊形與圓的內(nèi)在聯(lián)系核心定理：把一個圓分成n（n≥3）等份，依次連接各等分點，所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正n邊形，這個圓叫做正n邊形的外接圓；驗證操作：以正五邊形為例（配圖）：將⊙O五等分，得到等分點A、B、C、D、E；連接AB、BC、CD、DE、EA，得到五邊形ABCDE；證明：∵弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA，∴AB=BC=CD=DE=EA（等弧對等弦），∠A=∠B=∠C=∠D=∠E（等弧對等圓周角），故為正五邊形。第4頁：二、正多邊形的核心元素與性質(zhì)1.正多邊形的關(guān)鍵概念（以正六邊形為例，配圖標(biāo)注）畫一個正六邊形ABCDEF及其外接圓⊙O，標(biāo)注以下元素：中心：正多邊形外接圓的圓心（即⊙O的圓心O）；半徑：正多邊形外接圓的半徑（即OA、OB等，記為R）；中心角：正多邊形每一邊所對的外接圓圓心角（如∠AOB），記為α，計算公式：\(\alpha=\frac{360^\circ}{n}\)（n為邊數(shù)）；邊心距：中心到正多邊形一邊的距離（如OH⊥AB，OH為邊心距，記為r），邊心距是正多邊形內(nèi)切圓的半徑；邊長：正多邊形的一條邊的長度（如AB，記為a）。2.正多邊形的重要性質(zhì)幾何性質(zhì)：正n邊形的半徑和邊心距將其分成2n個全等的直角三角形（如Rt△AOH，直角邊為r和\(\frac{a}{2}\)，斜邊為R）；任意正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，且兩圓是同心圓；對稱性質(zhì)：正n邊形是軸對稱圖形，有n條對稱軸，每條對稱軸都經(jīng)過中心；當(dāng)n為偶數(shù)時，正n邊形也是中心對稱圖形，中心即為對稱中心；相似性質(zhì)：邊數(shù)相同的正多邊形相似，其周長比、半徑比、邊心距比等于相似比，面積比等于相似比的平方。第5頁：三、正多邊形的有關(guān)計算（重點）1.核心公式推導(dǎo)（基于Rt△AOH的邊角關(guān)系）以正n邊形為例，已知半徑R，推導(dǎo)關(guān)鍵量計算公式：中心角：\(\alpha=\frac{360^\circ}{n}\)；內(nèi)角：正n邊形內(nèi)角和為(n-2)×180°，每個內(nèi)角\(\beta=\frac{(n-2)??180?°}{n}=180?°-\frac{360?°}{n}=180?°-\alpha\)；邊長：在Rt△AOH中，\(\frac{a}{2}=R?·sin\frac{\alpha}{2}=R?·sin\frac{180?°}{n}\)，故\(a=2R?·sin\frac{180?°}{n}\)；邊心距：\(r=R?·cos\frac{180?°}{n}\)；周長：\(C=n?·a=2nR?·sin\frac{180?°}{n}\)；面積：正n邊形面積=n個等腰△AOB的面積之和，\(S=n??\frac{1}{2}??a??r=\frac{1}{2}??C??r\)（類比扇形面積公式“\(\frac{1}{2}????§é??????????\)”）。2.公式匯總表（以常見正多邊形為例）正多邊形（n）中心角α內(nèi)角β邊長a（半徑R）邊心距r（半徑R）面積S（半徑R）正三角形120°60°\(\sqrt{3}R\)\(\frac{1}{2}R\)\(\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2\)正四邊形90°90°\(\sqrt{2}R\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}R\)\(2R^2\)正六邊形60°120°\(R\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}R\)\(\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2\)第6頁：四、基礎(chǔ)應(yīng)用：公式的直接計算1.類型1：已知半徑求其他量例題1：正六邊形的計算已知正六邊形ABCDEF的外接圓半徑為4cm，求其中心角、內(nèi)角、邊長、邊心距和面積。解：1.中心角\(\alpha=\frac{360?°}{6}=60?°\)；2.內(nèi)角\(\beta=180?°-60?°=120?°\)；3.邊長\(a=R=4cm\)（正六邊形邊長等于外接圓半徑）；4.邊心距\(r=R?·cos\frac{60?°}{2}=4??cos30?°=4??\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}a??3.46cm\)；5.周長\(C=6??4=24cm\)；6.面積\(S=\frac{1}{2}??C??r=\frac{1}{2}??24??2\sqrt{3}=24\sqrt{3}a??41.57cm^2\)。2.類型2：已知邊心距求其他量例題2：正三角形的計算一個正三角形的邊心距為2cm，求其外接圓半徑和面積。解：1.設(shè)外接圓半徑為R，由正三角形邊心距公式\(r=\frac{1}{2}R\)，得\(R=2r=4cm\)；2.邊長\(a=2R?·sin60?°=2??4??\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}cm\)；3.面積\(S=\frac{1}{2}??a??3r=\frac{1}{2}??4\sqrt{3}??6=12\sqrt{3}a??20.78cm^2\)（或用\(S=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2\)驗證）。第7頁：五、進(jìn)階應(yīng)用：綜合計算與實際場景1.類型1：結(jié)合圓周角的計算例題3：圓內(nèi)接正多邊形的角度問題如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點P是劣弧BC上不同于點C的任意一點，求∠BPC的度數(shù)。解：1.連接OB、OC，正方形的中心角∠BOC=\(\frac{360?°}{4}=90?°\)；2.由圓周角定理，圓周角是同弧所對圓心角的一半，得\(a?

BPC=\frac{1}{2}a?

BOC=45?°\)；答：∠BPC的度數(shù)為45°。2.類型2：實際場景中的用料與設(shè)計例題4：正多邊形地磚與花壇設(shè)計地磚計算：用邊長為60cm的正六邊形地磚鋪地面，求一塊地磚的面積及每平方米需要多少塊地磚（結(jié)果保留整數(shù)）。解：1.正六邊形可分成6個全等的正三角形，邊長R=60cm；2.單個正三角形面積\(S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}??60^2=900\sqrt{3}cm^2\)；3.地磚面積\(S=6??900\sqrt{3}=5400\sqrt{3}a??9353cm^2a??0.94m^2\)；4.每平方米數(shù)量\(\frac{1}{0.94}a??2???\)；答：一塊地磚面積約9353cm2，每平方米約需2塊?；▔O(shè)計：一個圓形花壇的半徑為8m，計劃在花壇內(nèi)種植正六邊形花卉區(qū)域，求該正六邊形區(qū)域的最大面積。解：1.最大正六邊形為圓的內(nèi)接正六邊形，半徑R=8m；2.面積\(S=\frac{3\sqrt{3}}{2}R^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}??8^2=96\sqrt{3}a??166.28m^2\)；答：正六邊形區(qū)域的最大面積約為166.28m2。第8頁：六、正多邊形的畫法（難點）1.用量角器等分圓法（通用方法）以畫正五邊形為例，步驟如下：畫一個圓⊙O，用量角器畫中心角∠AOB=\(\frac{360?°}{5}=72?°\)；以O(shè)B為一邊，繼續(xù)畫∠BOC=72°，依次得到等分點A、B、C、D、E；連接AB、BC、CD、DE、EA，即得正五邊形ABCDE。要點：等分圓的關(guān)鍵是計算中心角，邊數(shù)n確定后，中心角為固定值\(\frac{360?°}{n}\)。2.用尺規(guī)作特殊正多邊形（精準(zhǔn)方法）作正四邊形（正方形）：畫圓⊙O，作兩條互相垂直的直徑AC、BD；連接A、B、C、D，即得正方形ABCD。作正六邊形：畫圓⊙O，以半徑為長度，在圓上依次截取等分點A、B、C、D、E、F；連接各點，即得正六邊形ABCDEF（正六邊形邊長等于外接圓半徑）。原理：特殊正多邊形的中心角是360°

的約數(shù)（如90°、60°），可通過尺規(guī)作角實現(xiàn)等分。第9頁：七、易錯點解析與避坑技巧1.常見易錯點易錯點1：正多邊形判定遺漏條件——僅依據(jù)“邊相等”或“角相等”判定正多邊形（如誤將菱形當(dāng)作正四邊形）；易錯點2：概念混淆——混淆“半徑”與“邊心距”，或誤將邊心距當(dāng)作邊長計算；易錯點3：公式應(yīng)用錯誤——計算內(nèi)角時誤用中心角公式，或面積計算漏乘“\(\frac{1}{2}\)”；易錯點4：作圖誤區(qū)——用尺規(guī)作任意正多邊形（如正七邊形），忽視尺規(guī)作圖的局限性（僅能作中心角為360°

約數(shù)的正多邊形）。2.避坑技巧“雙條件驗證”：判定正多邊形時，必須同時驗證“各邊相等”和“各角相等”；“直角三角形建?！保河嬎阏噙呅芜呴L、邊心距時，先構(gòu)造半徑、邊心距、半邊長組成的直角三角形，再用三角函數(shù)或勾股定理求解；“公式對應(yīng)表”：熟記常見正多邊形（n=3、4、6）的公式特例，如正六邊形邊長=半徑，正三角形邊心距=\(\frac{1}{2}\)半徑；“作圖先算角”：用量角器畫正多邊形前，先計算中心角，確保等分精準(zhǔn)。第10頁：課堂練習(xí)（分層設(shè)計）一、基礎(chǔ)題正五邊形的中心角為______，內(nèi)角為______（答案：72°；108°）；已知正六邊形的外接圓半徑為5cm，其邊心距為______，面積為______（答案：\(\frac{5\sqrt{3}}{2}cm\)；\(\frac{75\sqrt{3}}{2}cm^2\)）。二、提升題如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為4的圓，求B、E兩點間的距離（答案：8cm）；一個正三角形的面積為\(3\sqrt{3}cm^2\)，求其外接圓半徑（答案：2cm）。三、拓展題用一個含30°

角的直角三角板，借助正六邊形的中心，把正六邊形面積等分，求等分份數(shù)n的所有可能值（答案：2、3、4、6、12）。第11頁：課堂小結(jié)與作業(yè)布置一、課堂小結(jié)核心關(guān)聯(lián)：正多邊形與圓互為依托——圓的n等分對應(yīng)內(nèi)接正n邊形，正n邊形必有外接圓；關(guān)鍵概念：中心、半徑、中心角、邊心距（核心是“直角三角形建?！保缓诵墓剑褐行慕牵篭(\alpha=\frac{360?°}{n}\)；內(nèi)角：\(\beta=180?°-\frac{360?°}{n}\)；面積：\(S=\frac{1}{2}??C??r\)（C為周長，r為邊心距）；思想方法：轉(zhuǎn)化思想（正多邊形→直角三角形→圓）、數(shù)形結(jié)合（公式與圖形對應(yīng)）；作圖方法：量角器法（通用）、尺規(guī)法（特殊正多邊形）。二、作業(yè)布置必做：教材中“正多邊形與圓”基礎(chǔ)計算題（3道）、作圖題（畫正五邊形和正六邊形）；選做：測量家中正多邊形物品（如地磚、鐘表）的邊長，計算其外接圓半徑；思考：為什么邊數(shù)相同的正多邊形一定相似？它們的面積比與半徑比有何關(guān)系？2025-2026學(xué)年華東師大版數(shù)學(xué)九年級下冊【示范課精品課件】授課教師：

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28.1抽樣調(diào)查的意義第28章

樣本與總體aiTujmiaNg媽媽：“小明，再幫媽媽去買些雞蛋.”媽媽：“這次注意點，上次你買的雞蛋有幾個是壞的．”（過了一會兒……）小明這樣買雞蛋對嗎？小明：“媽媽，這次的雞蛋全是好的，我每個都打開看過了.”媽媽：“?。俊鼻榫骋牒献魈骄繂栴}1我們班級每個學(xué)生的家里各有多少人？平均每個家庭有多少人？普查和抽樣調(diào)查你能回答下面的問題嗎？

問題1容易回答，我們只要調(diào)查全班每一個學(xué)生，將結(jié)果填入下表，就可計算得到所要的結(jié)果.

或者完成表(二)，也可計算得到問題的答案.

像這樣的全面調(diào)查叫普查.

第2個問題稍難一些，因為要調(diào)查的家庭數(shù)太多了.不過，利用2021年第七次全國人口普查數(shù)據(jù)，我們還是能夠回答的.在中華人民共和國國家統(tǒng)計局網(wǎng)上，能夠查到“全國共有家庭戶49416萬戶，家庭戶人口為129281萬人，平均每個家庭戶的人口為2.62人.”問題22021年，全國平均每個家庭有多少人？問題3今年，全國平均每個家庭有多少人？

第3個問題最難回答，因為全國人口普查的工作量極大，我國一般每十年進(jìn)行一次全國人口普查，每五年進(jìn)行一次全國1%人口的抽樣調(diào)查.抽樣全國1%人口調(diào)查總體估計樣本普查概念學(xué)習(xí)抽樣調(diào)查

為特定目的而對部分考察對象作的全面調(diào)查叫做抽樣調(diào)查.

為特定目的而對所有考察對象作的全面調(diào)查叫做普查.1.想知道一批燈泡的壽命采用什么調(diào)查方法？2.想知道一批導(dǎo)彈的殺傷半徑，采用什么調(diào)查方法？為什么？抽樣調(diào)查抽樣調(diào)查試一試普查3.保證天宮二號的成功發(fā)射，對重要零部件采用何種方式檢查？思考：在什么情況下使用普查？什么情況下使用抽樣調(diào)查？思考：在什么情況下使用全面調(diào)查？什么情況下使用抽樣調(diào)查？當(dāng)調(diào)查的對象個數(shù)較少，調(diào)查容易進(jìn)行時，普查當(dāng)調(diào)查的結(jié)果有特別要求，或調(diào)查的結(jié)果有特殊意義時，如國家的人口普查.普查調(diào)查對象個數(shù)較多，不易調(diào)查，調(diào)查結(jié)果不需要高精確值時，抽樣調(diào)查調(diào)查對象個數(shù)眾多甚至無限，不可能一一考察時，抽樣調(diào)查當(dāng)對調(diào)查對象具有破壞性，或會產(chǎn)生某些的危害時.抽樣調(diào)查抽樣調(diào)查優(yōu)點缺點普查通過調(diào)查總體來收集數(shù)據(jù)，調(diào)查的結(jié)果準(zhǔn)確.工作量大，難度大，而且有些調(diào)查不宜使用普查通過調(diào)查樣本來收集數(shù)據(jù)，工作量較小，便于進(jìn)行.調(diào)查結(jié)果往往不如普查得到的結(jié)果準(zhǔn)確.普查與抽樣調(diào)查的比較做一做1.下列調(diào)查中適合采用普查的是（）A.了解某市學(xué)生的視力情況B.了解某市中學(xué)生課外閱讀情況C.了解某市百歲以上老年人的健康情況D.了解某市老年人參加晨練的情況C人數(shù)比較少，適合普查2.下列調(diào)查中，不適合采用普查的是（）A.旅客上飛機前的安檢B.了解全班同學(xué)的課外讀書時間C.了解一批燈泡的使用壽命D.學(xué)校招聘老師，對應(yīng)聘人員的面試C調(diào)查具有破壞性，且耗時長概念學(xué)習(xí)在統(tǒng)計里，為了敘述上的方便，我們引入了幾個概念：總體所要考察對象的全體.個體樣本樣本容量組成總體的每一個考察對象.從總體中取出的一部分個體.一個樣本包含的個體的數(shù)量.總體、個體、樣本與樣本容量

例1分別指出下列調(diào)查中的總體、個體、樣本和樣本容量.（1）為調(diào)查電風(fēng)扇的使用壽命，從一批電風(fēng)扇中抽取

20臺進(jìn)行測試；典例精析解：（1）電風(fēng)扇的使用壽命為總體，每一個電風(fēng)扇使用壽命為個體，抽出來

20

臺電風(fēng)扇的使用壽命為樣本，樣本容量為

20.（2）為調(diào)查某校七年級學(xué)生每周用于做課外作業(yè)的時間，從該校七年級中抽取

50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.（2）該校七年級學(xué)生每周用于做課外作業(yè)的時間為總體，該校每名七年級學(xué)生做課外作業(yè)的時間為個體，從七年級中抽出來調(diào)查的

50名學(xué)生每周用于做課外作業(yè)的時間為樣本，樣本容量為50.

為了了解我市七年級學(xué)生的體重，對全市七年級全體學(xué)生的體重進(jìn)行的調(diào)查是___________，而對部分學(xué)生(例如1000名)的體重進(jìn)行的調(diào)查是___________．全市七年級學(xué)生體重的全體是________，每名七年級學(xué)生的體重是________，從中抽測的1000名學(xué)生的體重是總體的一個________.

普查抽樣調(diào)查總體個體樣本練一練1．下列調(diào)查中：①調(diào)査本班同學(xué)的視力；②調(diào)查一批節(jié)能燈管的使用壽命；③為保證神舟九號的成功發(fā)射，對其零部件進(jìn)行檢查；④對乘坐某班次客車的乘客進(jìn)行安檢．其中適合采用抽樣調(diào)查的是

(

)A．①B．②C．③D．④B2．每年4月23日是“世界讀書日”，為了了解某校八年級500名學(xué)生對“世界讀書日”的知曉情況，從中隨機抽取了50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，在這次調(diào)查中，樣本是(

)A.500名學(xué)生

C.50名學(xué)生C.所抽取的50名學(xué)生對“世界讀書日”的知曉情況D.每一名學(xué)生對“世界讀書日”的知曉情況C3.為了了解全校學(xué)生的視力情況，從16個班級中各抽取5名學(xué)生來檢查視力，在這個問題中總體是（）A.80名學(xué)生

B.80名學(xué)生的視力C.全校學(xué)生

D.全校學(xué)生的視力D4.下列調(diào)查中，你認(rèn)為應(yīng)該采用哪種調(diào)查方式，并說出理由.①調(diào)查池塘里魚的數(shù)量；②調(diào)查你們學(xué)校七年級學(xué)生的體重；③調(diào)查一批彩電的質(zhì)量情況；④調(diào)查你們班學(xué)生早餐是否有喝牛奶的習(xí)慣.抽樣調(diào)查普查抽樣調(diào)查普查5.

某中學(xué)七年級共100人，為了了解這些學(xué)生的家庭經(jīng)濟情況，校長決定做一次調(diào)查，每個同學(xué)發(fā)一張調(diào)查問卷，等同學(xué)們填好后再收起來統(tǒng)計整理，則在這次調(diào)查活動中，(1)校長要調(diào)查的問題是_________________________________；(2)校長的調(diào)查對象是________________________；(3)校長使用的調(diào)查方式是__________．問卷調(diào)查學(xué)校七年級學(xué)生的家庭經(jīng)濟情況學(xué)校七年級100名學(xué)生7．全班50人的英語考試成績?nèi)缦卤硭荆瑒t該班英語考試成績在90～100分范圍內(nèi)的人數(shù)是________，成績在80～90分范圍內(nèi)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比是________．560%6．在調(diào)查某班50名同學(xué)的到校方式中得知，有乘坐公共汽車、騎自行車、步行這三種方式．在這個調(diào)查中總體是__________________________________，個體是_______________________________________.這個班全體同學(xué)的到校方式這個班每個同學(xué)的到校方式返回1．下列調(diào)查中，適合普查的是(

)①調(diào)查一批新藥物的藥效持續(xù)時間；②神舟十八號載人飛船設(shè)備的檢查；③調(diào)查某班學(xué)生觀看“今日說法”這一節(jié)目的人數(shù)；④調(diào)查全國各地中學(xué)生的視力情況．A．①②B．①④C．②④D．②③D2．下列調(diào)查：①調(diào)查本班同學(xué)的身高；②調(diào)查一批節(jié)能燈管的使用壽命；③語文老師檢查某學(xué)生某篇作文中的錯別字；④對乘坐某班次客車的乘客進(jìn)行安檢．其中適合采用抽樣調(diào)查的是(

)A．①B．②C．③D．④B返回返回A3.學(xué)生的心理健康問題越來越受關(guān)注．為了解學(xué)生的心理健康狀況，某學(xué)校從4000名學(xué)生中隨機抽取400名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，下列說法錯誤的是(

)A．400名學(xué)生是樣本的容量B．400名學(xué)生的心理健康狀況是一個樣本C．每名學(xué)生的心理健康狀況是個體D．4000名學(xué)生的心理健康狀況是總體4．[2024通州期末]某校開展課后服務(wù)，其中在體育類活動中開設(shè)了四種運動項目：乒乓球、排球、籃球、足球．為了解學(xué)生最喜歡哪種運動項目，隨機選取若干名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(每名學(xué)生僅選一種)．若最喜歡足球的學(xué)生為80人，占比40%，則樣本容量為_____．200返回5．某中學(xué)七年級共10個班，為了了解本年級學(xué)生一周中收看電視節(jié)目所用的時間，小亮利用放學(xué)時間在校門口調(diào)查了他認(rèn)識的60名七年級同學(xué)．(1)小亮的調(diào)查是抽樣調(diào)查嗎？【解】小亮的