2025年下學(xué)期高中等比數(shù)列及其應(yīng)用試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知等比數(shù)列${a_n}$中，$a_1=2$，公比$q=3$，則$a_5$的值為（）A.162B.54C.18D.6若等比數(shù)列${a_n}$的前三項(xiàng)依次為$2$，$x$，$8$，則$x$的值為（）A.$4$B.$-4$C.$\pm4$D.$2$等比數(shù)列${a_n}$中，$a_2=6$，$a_5=162$，則公比$q$為（）A.2B.3C.4D.5已知等比數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=2^n-1$，則$a_3$的值為（）A.4B.8C.16D.32若等比數(shù)列${a_n}$中，$a_1+a_2=3$，$a_3+a_4=12$，則$a_5+a_6$的值為（）A.24B.36C.48D.60已知等比數(shù)列${a_n}$的各項(xiàng)均為正數(shù)，且$a_2a_4+2a_3a_5+a_4a_6=25$，則$a_3+a_5$的值為（）A.5B.10C.15D.20等比數(shù)列${a_n}$中，若$a_1=1$，$q=2$，則數(shù)列的前5項(xiàng)和$S_5$為（）A.15B.31C.32D.63若等比數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=Aq^n+B$（$A$，$B$為常數(shù)，且$A\neq0$，$q\neq0$，$q\neq1$），則$A$與$B$的關(guān)系是（）A.$A+B=0$B.$A-B=0$C.$AB=1$D.$AB=-1$已知等比數(shù)列${a_n}$中，$a_3=2$，$a_7=8$，則$a_5$的值為（）A.4B.$-4$C.$\pm4$D.16某工廠(chǎng)2023年的產(chǎn)值為100萬(wàn)元，計(jì)劃從2024年開(kāi)始，每年的產(chǎn)值比上一年增長(zhǎng)$10%$，則2027年的產(chǎn)值約為（）（精確到萬(wàn)元）A.133萬(wàn)元B.146萬(wàn)元C.161萬(wàn)元D.177萬(wàn)元二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）等比數(shù)列${a_n}$中，$a_1=3$，$a_4=81$，則公比$q=$________。若等比數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n=3^n-1$，則數(shù)列的公比$q=$________。已知等比數(shù)列${a_n}$中，$a_2=4$，$a_5=32$，則數(shù)列的前4項(xiàng)和$S_4=$________。若等比數(shù)列${a_n}$的各項(xiàng)均為正數(shù)，且$a_1a_10=9$，則$\log_3a_1+\log_3a_2+\cdots+\log_3a_{10}=$________。某企業(yè)今年投入研發(fā)資金100萬(wàn)元，計(jì)劃以后每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)$20%$，則從今年開(kāi)始，第5年投入的研發(fā)資金為_(kāi)_______萬(wàn)元（結(jié)果保留整數(shù)）。三、解答題（本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）16.（本小題滿(mǎn)分12分）已知等比數(shù)列${a_n}$中，$a_1=2$，$a_3=8$，求：（1）數(shù)列的公比$q$；（2）數(shù)列的前5項(xiàng)和$S_5$。解：（1）設(shè)等比數(shù)列${a_n}$的公比為$q$，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n=a_1q^{n-1}$，得：$a_3=a_1q^2$，即$8=2q^2$，解得$q^2=4$，所以$q=\pm2$。（2）當(dāng)$q=2$時(shí)，前5項(xiàng)和$S_5=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{2(1-2^5)}{1-2}=\frac{2(1-32)}{-1}=62$；當(dāng)$q=-2$時(shí)，前5項(xiàng)和$S_5=\frac{2[1-(-2)^5]}{1-(-2)}=\frac{2(1+32)}{3}=\frac{66}{3}=22$。綜上，公比$q=\pm2$，前5項(xiàng)和$S_5=62$或$22$。17.（本小題滿(mǎn)分12分）已知等比數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$a_1=1$，$S_3=13$，求數(shù)列的公比$q$及前5項(xiàng)和$S_5$。解：由等比數(shù)列前$n$項(xiàng)和公式$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\neq1$），得$S_3=\frac{1(1-q^3)}{1-q}=13$，即$1+q+q^2=13$，整理得$q^2+q-12=0$，解得$q=3$或$q=-4$。當(dāng)$q=3$時(shí)，$S_5=\frac{1(1-3^5)}{1-3}=\frac{1-243}{-2}=121$；當(dāng)$q=-4$時(shí)，$S_5=\frac{1[1-(-4)^5]}{1-(-4)}=\frac{1+1024}{5}=205$。綜上，公比$q=3$或$q=-4$，前5項(xiàng)和$S_5=121$或$205$。18.（本小題滿(mǎn)分13分）已知等比數(shù)列${a_n}$中，$a_2=2$，$a_5=16$，數(shù)列${b_n}$滿(mǎn)足$b_n=\log_2a_n$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$。解：設(shè)等比數(shù)列${a_n}$的公比為$q$，則$a_5=a_2q^3$，即$16=2q^3$，解得$q=2$。又$a_2=a_1q=2$，所以$a_1=1$，則$a_n=a_1q^{n-1}=2^{n-1}$。因此，$b_n=\log_2a_n=\log_22^{n-1}=n-1$，即數(shù)列${b_n}$是首項(xiàng)$b_1=0$，公差$d=1$的等差數(shù)列。故前$n$項(xiàng)和$T_n=\frac{n(b_1+b_n)}{2}=\frac{n(0+n-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$。19.（本小題滿(mǎn)分14分）已知等比數(shù)列${a_n}$的各項(xiàng)均為正數(shù)，且$a_1=1$，$a_3=4$，數(shù)列${b_n}$滿(mǎn)足$b_n=a_n+2n$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$。解：設(shè)等比數(shù)列${a_n}$的公比為$q$，由$a_3=a_1q^2=4$，得$q^2=4$，又各項(xiàng)均為正數(shù)，所以$q=2$，則$a_n=2^{n-1}$。因此，$b_n=a_n+2n=2^{n-1}+2n$，數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$為等比數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和與等差數(shù)列${2n}$的前$n$項(xiàng)和之和。等比數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$\frac{1(1-2^n)}{1-2}=2^n-1$；等差數(shù)列${2n}$的前$n$項(xiàng)和為$\frac{n(2+2n)}{2}=n(n+1)$；故$S_n=2^n-1+n(n+1)=2^n+n^2+n-1$。20.（本小題滿(mǎn)分13分）某公司計(jì)劃通過(guò)技術(shù)升級(jí)實(shí)現(xiàn)產(chǎn)值增長(zhǎng)，2024年的產(chǎn)值為500萬(wàn)元，計(jì)劃從2025年開(kāi)始，每年的產(chǎn)值比上一年增長(zhǎng)$x%$，若到2027年（含2027年）的總產(chǎn)值達(dá)到2320萬(wàn)元，求$x$的值（精確到$1%$）。解：2024年的產(chǎn)值為500萬(wàn)元，2025年的產(chǎn)值為$500(1+x%)$萬(wàn)元，2026年的產(chǎn)值為$500(1+x%)^2$萬(wàn)元，2027年的產(chǎn)值為$500(1+x%)^3$萬(wàn)元。由題意，四年總產(chǎn)值為$500+500(1+x%)+500(1+x%)^2+500(1+x%)^3=2320$，設(shè)$t=1+x%$，則方程可化為$500(1+t+t^2+t^3)=2320$，即$1+t+t^2+t^3=4.64$。通過(guò)試算：當(dāng)$t=1.2$時(shí)，$1+1.2+1.44+1.728=5.368>4.64$；當(dāng)$t=1.1$時(shí)，$1+1.1+1.21+1.331=4.641\approx4.64$，因此$t\approx1.1$，即$1+x%\approx1.1$，解得$x\approx10$。故$x$的值約為$10%$。21.（本小題滿(mǎn)分13分）已知等比數(shù)列${a_n}$中，$a_1=2$，公比$q=2$，數(shù)列${b_n}$滿(mǎn)足$b_n=a_n\cdot\log_2a_n$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$。解：由題意，$a_n=2\cdot2^{n-1}=2^n$，則$b_n=a_n\cdot\log_2a_n=2^n\cdot\log_22^n=n\cdot2^n$。因此，$T_n=1\cdot2^1+2\cdot2^2+3\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^n$，兩邊同時(shí)乘以2得：$2T_n=1\cdot2^2+2\cdot2^3+\cdots+(n-1)\cdot2^n+n\cdot2^{n+1}$，兩式相減得：$-T_n=2^1+2^2+2^3+\cdots+2^n-n\cdot2^{n+1}=\frac{2(1-2^n)}{1-2}-n\cdot2^{n+1}=2^{n+1}-2-n\cdot2^{n+1}$，故$T_n=(n-1)2^{n+1}+2$。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的學(xué)生選做）已知等比數(shù)列${a_n}$中，$a_1=1$，公比$q>0$，且$a_2$，$a_3+1$，$a_4$成等差數(shù)列，求數(shù)列的前$n$項(xiàng)和$S_n$。設(shè)等比數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$S_2=2$，$S_4=6$，求$S_6$的值。附加題參考答案：由