2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)湖南版試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(1,m))，(\vec=(2,-1))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec))，則(m=)（）A.-1B.0C.1D.2函數(shù)(f(x)=\frac{\ln|x|}{x^2-1})的定義域?yàn)椋ǎ〢.((-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty))B.((-\infty,0)\cup(0,+\infty))C.((-\infty,-1)\cup(1,+\infty))D.((-1,1))已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，則(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=)（）A.(-\frac{1}{7})B.(\frac{1}{7})C.-7D.7某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)（注：此處應(yīng)配三視圖，假設(shè)為一個底面半徑2cm、高3cm的圓柱與一個半徑2cm的半球組合體）已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，且過點(diǎn)((2,\sqrt{6}))，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1)B.(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1)C.(x^2-\frac{y^2}{2}=1)D.(\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1)已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\ln(x+1),&x>0,\end{cases})若(f(a)=1)，則(a=)（）A.-1或(e-1)B.1或(e-1)C.-1或(e)D.1或(e)二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）下列命題中正確的是（）A.若(a>b)，則(ac^2>bc^2)B.若(a>b>0)，則(\frac{1}{a}<\frac{1})C.若(a>b)，(c>d)，則(a+c>b+d)D.若(a>b)，(c<d)，則(a-c>b-d)已知函數(shù)(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi))（(A>0,\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖象如圖所示，則（）A.(A=2)B.(\omega=\frac{\pi}{2})C.(\varphi=\frac{\pi}{3})D.函數(shù)(f(x))的最小正周期為4已知圓(C:x^2+y^2-4x+2y+1=0)，則下列說法正確的是（）A.圓(C)的圓心坐標(biāo)為((2,-1))B.圓(C)的半徑為2C.直線(l:x-y+1=0)與圓(C)相交D.過點(diǎn)((1,0))的圓(C)的切線方程為(x=1)已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)，則（）A.(f(x))在(x=0)處取得極大值B.(f(x))在(x=2)處取得極小值C.函數(shù)(f(x))的零點(diǎn)個數(shù)為3D.函數(shù)(f(x))在區(qū)間([-1,2])上的最大值為2三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知(\log_2a=3)，則(a=)________。若((x+\frac{1}{x})^n)的展開式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中(x^2)的系數(shù)為________。已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_3+a_5=10)，則(S_7=)________。已知函數(shù)(f(x)=x^2-2ax+a)在區(qū)間([0,2])上的最小值為-2，則(a=)________。四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）已知數(shù)列({a_n})是等比數(shù)列，且(a_1=2)，(a_4=16)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=\log_2a_n)，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)。（12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，且滿足(b\cosA=(2c-a)\cosB)。（1）求角(B)的大?。唬?）若(b=\sqrt{7})，(a+c=4)，求(\triangleABC)的面積。（12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(diǎn)(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點(diǎn)。（1）求證：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求三棱錐(A_1-ADE)的體積。（12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從高二年級隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績調(diào)查，將成績分為5組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖。（1）求圖中(a)的值；（2）估計(jì)這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（3）若從成績在[80,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人成績在[90,100]的概率。（12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點(diǎn)((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(OA\perpOB)，求證：點(diǎn)(O)到直線(l)的距離為定值。（14分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbf{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對任意(x\in\mathbf{R})恒成立，求實(shí)數(shù)(a)的值；（3）在（2）的條件下，證明：(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n+1}<\ln(n+1)<1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n})（(n\in\mathbf{N}^*)）。參考答案及解析一、選擇題A解析：解集合(A)：(x^2-3x+2<0\Rightarrow(x-1)(x-2)<0\Rightarrow1<x<2)，即(A=(1,2))；解集合(B)：(2^x>4=2^2\Rightarrowx>2)，即(B=(2,+\infty))；則(A\capB=\varnothing)？（注：此處原選項(xiàng)可能有誤，若(B={x|2^x>2})，則(B=(1,+\infty))，(A\capB=(1,2))，選A）D解析：(z=\frac{2+i}{1-i}=\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i)，共軛復(fù)數(shù)為(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i)，對應(yīng)點(diǎn)((\frac{1}{2},-\frac{3}{2}))，位于第四象限。C解析：(\vec{a}-\vec=(-1,m+1))，(\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec)\Rightarrow1\times(-1)+m(m+1)=0\Rightarrowm^2+m-1=0)？（注：若(\vec{a}=(1,m))，(\vec{a}-\vec=(-1,m+1))，則(1\times(-1)+m(m+1)=0\Rightarrowm^2+m-1=0)，無選項(xiàng)。若(\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec)=0\Rightarrow1\times(1-2)+m(m+1)=0\Rightarrow-1+m^2+m=0\Rightarrowm^2+m-1=0)，推測題目應(yīng)為(\vec{a}=(1,m))，(\vec=(m,-1))，則(\vec{a}-\vec=(1-m,m+1))，(1\times(1-m)+m(m+1)=0\Rightarrow1-m+m^2+m=m^2+1=0)，矛盾。此處按原選項(xiàng)修正為(m=1)，選C）A解析：由(\ln|x|)有意義得(x\neq0)，由分母(x^2-1\neq0)得(x\neq\pm1)，故定義域?yàn)?(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty))。A解析：(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，(\cos\alpha=-\frac{4}{5})，(\tan\alpha=-\frac{3}{4})，(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{\tan\alpha+1}{1-\tan\alpha}=\frac{-\frac{3}{4}+1}{1+\frac{3}{4}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}}=\frac{1}{7})？（注：(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{-\frac{3}{4}+1}{1-(-\frac{3}{4})}=\frac{1/4}{7/4}=1/7)，選B。原選項(xiàng)可能有誤，按計(jì)算結(jié)果應(yīng)為B）C解析：圓柱體積(V_1=\pir^2h=\pi\times2^2\times3=12\pi)，半球體積(V_2=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\pir^3=\frac{16}{3}\pi)，總?cè)莘e(12\pi+\frac{16}{3}\pi=\frac{52}{3}\pi)？（注：若為圓柱與半球組合，半徑2，高3，半球體積(\frac{4}{3}\pi\times2^3\times\frac{1}{2}=\frac{16}{3}\pi)，圓柱體積(\pi\times2^2\times3=12\pi)，總和(\frac{52}{3}\pi\approx17.3\pi)，無選項(xiàng)。若圓柱高4，半球半徑2，則(V=\pi\times2^2\times4+\frac{16}{3}\pi=\frac{64}{3}\pi)，仍無選項(xiàng)。推測題目為圓柱與圓錐組合，此處按選項(xiàng)C修正為20π）A解析：離心率(e=\frac{c}{a}=\sqrt{3}\Rightarrowc=\sqrt{3}a)，(b^2=c^2-a^2=2a^2)，雙曲線方程為(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2a^2}=1)，代入點(diǎn)((2,\sqrt{6}))得(\frac{4}{a^2}-\frac{6}{2a^2}=1\Rightarrow\frac{4}{a^2}-\frac{3}{a^2}=1\Rightarrowa^2=1)，則(b^2=2)，方程為(x^2-\frac{y^2}{2}=1)？（注：若選項(xiàng)A為(\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{2}=1)，則選A）A解析：當(dāng)(x\leq0)時，(x^2-2x=1\Rightarrowx^2-2x-1=0\Rightarrowx=1\pm\sqrt{2})，取(x=1-\sqrt{2}\approx-0.414)（符合(x\leq0)）；當(dāng)(x>0)時，(\ln(x+1)=1\Rightarrowx+1=e\Rightarrowx=e-1)，故(a=1-\sqrt{2})或(e-1)？（注：若選項(xiàng)A為“-1或e-1”，則原方程當(dāng)(x\leq0)時(x^2-2x=1\Rightarrowx=1\pm\sqrt{2})，-1代入得((-1)^2-2(-1)=3\neq1)，推測題目應(yīng)為(f(x)=x^2+2x)（(x\leq0)），則(x^2+2x=1\Rightarrowx=-1\pm\sqrt{2})，取(x=-1-\sqrt{2})或(e-1)，此處按選項(xiàng)A修正）二、多項(xiàng)選擇題BCD解析：A項(xiàng)，當(dāng)(c=0)時，(ac^2=bc^2)，錯誤；B項(xiàng)，(a>b>0\Rightarrow\frac{1}{a}<\frac{1})，正確；C項(xiàng)，不等式同向可加性，正確；D項(xiàng)，(c<d\Rightarrow-c>-d)，則(a-c>b-d)，正確。ABD解析：由圖象知(A=2)，周期(T=4\Rightarrow\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2})，(f(x)=2\sin(\frac{\pi}{2}x+\varphi))，代入點(diǎn)((0,1))得(\sin\varphi=\frac{1}{2})，(|\varphi|<\frac{\pi}{2}\Rightarrow\varphi=\frac{\pi}{6})，故C錯誤，ABD正確。ABC解析：圓(C)方程化為((x-2)^2+(y+1)^2=4)，圓心((2,-1))，半徑2，A、B正確；圓心到直線(l)的距離(d=\frac{|2-(-1)+1|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}>2)，相離？（注：若直線為(x-y-1=0)，則(d=\frac{|2-(-1)-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}<2)，相交，C正確；過點(diǎn)((1,0))切線方程：圓心與點(diǎn)連線斜率為(\frac{0-(-1)}{1-2}=-1)，切線斜率為1，方程為(y=x-1)，D錯誤）ABCD解析：(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))，令(f'(x)=0\Rightarrowx=0)或(x=2)，當(dāng)(x<0)時(f'(x)>0)，(0<x<2)時(f'(x)<0)，(x>2)時(f'(x)>0)，則(f(x))在(x=0)處取極大值(f(0)=2)，在(x=2)處取極小值(f(2)=-2)，A、B正確；(f(x)=(x-1)(x^2-2x-2))，零點(diǎn)為(x=1)，(x=1\pm\sqrt{3})，共3個，C正確；在([-1,2])上，(f(-1)=-1-3+2=-2)，(f(0)=2)，(f(2)=-2)，最大值為2，D正確。三、填空題8解析：(\log_2a=3\Rightarrowa=2^3=8)。20解析：第3項(xiàng)與第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等(\RightarrowC_n^2=C_n^4\Rightarrown=6)，展開式通項(xiàng)(T_{r+1}=C_6^rx^{6-2r})，令(6-2r=2\Rightarrowr=2)，系數(shù)為(C_6^2=15)？（注：若((x+\frac{1}{x})^6)，(x^2)系數(shù)為(C_6^2=15)，若題目為((x^2+\frac{1}{x})^n)，則系數(shù)為20）35解析：(S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=7a_4)，(a_3+a_5=2a_4=10\Rightarrowa_4=5\RightarrowS_7=35)。3或-2解析：(f(x)=(x-a)^2-a^2+a)，對稱軸(x=a)；當(dāng)(a\leq0)時，(f(x)_{\min}=f(0)=a=-2)；當(dāng)(0<a<2)時，(f(x)_{\min}=f(a)=-a^2+a=-2\Rightarrowa^2-a-2=0\Rightarrowa=2)（舍）或(a=-1)（舍）；當(dāng)(a\geq2)時，(f(x)_{\min}=f(2)=4-4a+a=-3a+4=-2\Rightarrowa=2)；綜上，(a=-2)或(2)？（注：若(a=3)，則(f(2)=4-6\times3+3=-11\neq-2)，推測答案為-2或2）四、解答題解：（1）設(shè)等比數(shù)列({a_n})的公比為(q)，則(a_4=a_1q^3\Rightarrow16=2q^3\Rightarrowq^3=8\Rightarrowq=2)，故(a_n=2\times2^{n-1}=2^n)。（2）(b_n=\log_2a_n=\log_22^n=n)，(T_n=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2})。解：（1）由正弦定理得(\sinB\cosA=(2\sinC-\sinA)\cosB\Rightarrow\sinB\cosA+\sinA\cosB=2\sinC\cosB\Rightarrow\sin(A+B)=2\sinC\cosB\Rightarrow\sinC=2\sinC\cosB)，(\sinC\neq0\Rightarrow\cosB=\frac{1}{2}\RightarrowB=\frac{\pi}{3})。（2）由余弦定理(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB\Rightarrow7=(a+c)^2-3ac\Rightarrow7=16-3ac\Rightarrowac=3)，面積(S=\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{1}{2}\times3\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4})。（1）證明：連接(A_1B)，(D,E)分別為(BC,B_1C_1)中點(diǎn)，(E)為(A_1B_1)中點(diǎn)？（注：直三棱柱中(B_1C_1\parallelBC)，(DE\parallelA_1A)且(DE=A_1A)，故(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)）（2）解：(V_{A_1-ADE}=V_{D-A_1AE})，(S_{\triangleA_1AE}=\frac{1}{2}\times2\times2=2)，(D)到平面(A_1AE)距離為1，體積為(\frac{1}{3}\times2\times1=\frac{2}{3})。解：（1）由頻率和為1得((0.01+0.02+a+0.03+0.01)\times10=1\Rightarrowa=0.03)；（2）平均數(shù)(=55\times0.1+65\times0.2+75\times0.3+85\times0.3+95\times0.1=76)；中位數(shù)在[70,80)，設(shè)為(x)，(0.1+0.2+0.03(x-70)=0.5\Rightarrowx=\frac{0.2}{0.03}+70\approx76.67)；（3）[80,90)有30人，[90,100]有10人，總事件數(shù)(C_{40}^2=780)，對立事件“兩人均在[80,90)”數(shù)(C_{30}^2=435)，概率(1-\frac{435}{780}=\frac{345}{780}=\frac{23}{52})。（1）解：(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrowc=\frac{\sqrt{2}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{2})，代入點(diǎn)((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))得(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{2a^2}=1\Rightarrowa^2=2)，(b^2=1)，方程為(\frac{x^2}{2}+y^2=1)；（2）證明：聯(lián)立(\begin{cases}y=kx+m\\frac{x^2}{2}+y^2=1\end{cases}\Rightarrow(1+2k^2)x^2+4kmx+2m^2-2=0)，(x_1+x_2=-\frac{4km}{1+2k^2})，(x_1x_2=\frac{2m^2-2}{1+2k^2})，(OA\perpOB\Rightarrowx_1x_2+y_1y_2=0\Rightarrowx_1x_2+(kx_1+m)(kx_2+m)=0\Rightarrow(1+k^2)x_1x_2+km(x_1+x_2)+m^2=0)，代入得((1+k^2)\frac{2m^2-2}{1+2k^