函數(shù)與導(dǎo)數(shù)單選題1.(2025·北京)為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)（）A.橫坐標(biāo)變成原來的倍，縱坐標(biāo)不變B.橫坐標(biāo)變成原來的2倍，縱坐標(biāo)不變C.縱坐標(biāo)變成原來的倍，橫坐標(biāo)不變D.縱坐標(biāo)變成原來的3倍，橫坐標(biāo)不變【答案】A【解析】【分析】由，根據(jù)平移法則即可解出．【詳解】因?yàn)椋詫⒑瘮?shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來的倍，縱坐標(biāo)不變，即可得到函數(shù)的圖象，故選：A2．(2025·天津)已知函數(shù)的圖象如下，則的解析式可能為（

） B． C． D．【答案】D【分析】先由函數(shù)奇偶性排除AB，再由時(shí)函數(shù)值正負(fù)情況可得解.【詳解】由圖可知函數(shù)為偶函數(shù)，而函數(shù)和函數(shù)為奇函數(shù)，故排除選項(xiàng)AB；又當(dāng)時(shí)，此時(shí)，由圖可知當(dāng)時(shí)，，故C不符合，D符合.故選：D3．(2025·天津)函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理計(jì)算即可.【詳解】由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以在定義域上單調(diào)遞減，顯然，所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知的零點(diǎn)位于.故選：B4．(2025·全國(guó)一卷)若點(diǎn)是函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱中心的結(jié)論求解.【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)滿足，即的對(duì)稱中心是，即，又，則時(shí)最小，最小值是，即.故選：C5．(2025·全國(guó)一卷)設(shè)是定義在上且周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)周期性和奇偶性把待求自變量轉(zhuǎn)化為的范圍中求解.【詳解】由題知對(duì)一切成立，于是.故選：A6.(2025·北京)已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，則“函數(shù)的值域?yàn)椤笔恰皩?duì)任意，存在，使得”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)值域的概念結(jié)合特例，再根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可求解.【詳解】若函數(shù)的值域?yàn)?，則對(duì)任意，一定存在，使得，取，則，充分性成立；取，，則對(duì)任意，一定存在，使得，取，則，但此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋匾圆怀闪?；所以“函?shù)的值域?yàn)椤笔恰皩?duì)任意，存在，使得”的充分不必要條件.故選：A.7.(2025·北京)設(shè)函數(shù)，若恒成立，且在上存在零點(diǎn)，則的最小值為（）A8 B.6 C.4 D.3【答案】C【分析】由輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)的最小正周期與零點(diǎn)即可求解.【詳解】函數(shù)，設(shè)函數(shù)的最小正周期為T，由可得，所以，即；又函數(shù)在上存在零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，所以，即；綜上，的最小值為4.故選：C.8．(2025·天津)，在上單調(diào)遞增，且為它的一條對(duì)稱軸，是它的一個(gè)對(duì)稱中心，當(dāng)時(shí)，的最小值為（

）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性得出，根據(jù)單調(diào)性得出，從而確定，結(jié)合對(duì)稱軸與對(duì)稱中心再求出，得出函數(shù)解析式，利用整體思想及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】設(shè)的最小正周期為，根據(jù)題意有，，由正弦函數(shù)的對(duì)稱性可知，即，又在上單調(diào)遞增，則，∴，則，∵，∴時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知.故選：A9.(2025·北京)在一定條件下，某人工智能大語言模型訓(xùn)練N個(gè)單位的數(shù)據(jù)量所需要時(shí)間（單位：小時(shí)），其中k為常數(shù)．在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加20小時(shí)；當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加（單位：小時(shí)）（）A.2 B.4 C.20 D.40【答案】B【分析】由題給條件列出不同訓(xùn)練數(shù)據(jù)量時(shí)所需的時(shí)間，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)當(dāng)N取個(gè)單位、個(gè)單位、個(gè)單位時(shí)所需時(shí)間分別為,由題意，，，，因?yàn)椋?，所以，所以?dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加4小時(shí).故選：B.10．(2025·上海)設(shè)．下列各項(xiàng)中，能推出的一項(xiàng)是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分類討論與1的關(guān)系即可判定選項(xiàng).【詳解】∵，∴，當(dāng)時(shí)，定義域上嚴(yán)格單調(diào)遞減，此時(shí)若，則一定有成立，故D正確，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，定義域上嚴(yán)格單調(diào)遞增，要滿足，需，即A、B錯(cuò)誤.故選：D11．(2025·上海)已知數(shù)列、、的通項(xiàng)公式分別為，、，.若對(duì)任意的，、、的值均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的正整數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．1個(gè) D．無數(shù)個(gè)【答案】B【分析】由可知范圍，再由三角形三邊關(guān)系可得的不等關(guān)系，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)解不等式可得.【詳解】由題意，不妨設(shè)，三點(diǎn)均在第一象限內(nèi)，由可知，，故點(diǎn)恒在線段上，則有.即對(duì)任意的，恒成立，令，構(gòu)造函數(shù)，則，由單調(diào)遞增，又，存在，使，即當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故至多個(gè)零點(diǎn)，又由，可知存在個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，且.①若，即時(shí)，此時(shí)或.則，可知成立，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得；②若，即時(shí)，此時(shí).則，可知成立，要使、、的值均能構(gòu)成三角形，所以恒成立，故，所以有，解得或；綜上可知，正整數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè).故選：B.12．(2025·全國(guó)一卷)若實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則x，y，z的大小關(guān)系不可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】法一：設(shè)，對(duì)討論賦值求出，即可得出大小關(guān)系，利用排除法求出；法二：根據(jù)數(shù)形結(jié)合解出.【詳解】法一：設(shè)，所以令，則，此時(shí)，A有可能；令，則，此時(shí)，C有可能；令，則，此時(shí)，D有可能；故選：B．法二：設(shè)，所以，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，易知各方程只有唯一的根，作出函數(shù)的圖象，以上方程的根分別是函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，如圖所示：易知，隨著的變化可能出現(xiàn)：，，，，故選：B．二、多選題13．(2025·全國(guó)二卷)已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)且僅當(dāng) D．是的極大值點(diǎn)【答案】ABD【分析】對(duì)A，根據(jù)奇函數(shù)特點(diǎn)即可判斷；對(duì)B，利用代入求解即可；對(duì)C，舉反例即可；對(duì)D，直接求導(dǎo)，根據(jù)極大值點(diǎn)判定方法即可判斷.【詳解】對(duì)A，因?yàn)槎x在上奇函數(shù)，則，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，則，故B正確；對(duì)C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，則，令，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，則是極大值點(diǎn)，故D正確；故選：ABD.三、填空題14．(2025·上海)函數(shù)在上的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥坷糜嘞液瘮?shù)的單調(diào)性可得.【詳解】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，故函數(shù)在上的值域?yàn)?故答案為：.15．(2025·全國(guó)一卷)若直線是曲線的切線，則.【答案】【分析】法一：利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算求得切點(diǎn)，進(jìn)而代入曲線方程即可得解；法二：利用導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算得到關(guān)于切點(diǎn)與的方程組，解之即可得解.【詳解】法一：對(duì)于，其導(dǎo)數(shù)為，因?yàn)橹本€是曲線的切線，直線的斜率為2，令，即，解得，將代入切線方程，可得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榍悬c(diǎn)在曲線上，所以，即，解得.故答案為：.法二：對(duì)于，其導(dǎo)數(shù)為，假設(shè)與的切點(diǎn)為，則，解得.故答案為：.16．(2025·全國(guó)二卷)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則【答案】【分析】由題意得即可求解，再代入即可求解.【詳解】由題意有，所以，因?yàn)槭呛瘮?shù)極值點(diǎn)，所以，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)單調(diào)遞增，當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點(diǎn)，符合題意；所以.故答案為：.17.(2025·北京)關(guān)于定義域?yàn)镽的函數(shù)，以下說法正確的有________．①存在在R上單調(diào)遞增的函數(shù)使得恒成立；②存在在R上單調(diào)遞減的函數(shù)使得恒成立；③使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個(gè)；④使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個(gè)．【答案】②③【解析】【分析】利用反證法可判斷①④的正誤，構(gòu)造函數(shù)并驗(yàn)證后可判斷②③的正誤.【詳解】對(duì)于①，若存在上的增函數(shù)，滿足，則即，故時(shí)，，故，故即，矛盾，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，取，該函數(shù)為上的減函數(shù)且，故該函數(shù)符合，故②正確；對(duì)于③，取，此時(shí)，由可得有無窮多個(gè)，故③正確；對(duì)于④，若存在，使得，令，則，但，矛盾，故滿足的函數(shù)不存在，故④錯(cuò)誤.故答案為：②③18．(2025·天津)若，對(duì)，均有恒成立，則的最小值為【答案】【分析】先設(shè)，根據(jù)不等式的形式，為了消可以取，得到，驗(yàn)證時(shí)，是否可以取到，進(jìn)而判斷該最小值是否可取即可得到答案.【詳解】設(shè)，原題轉(zhuǎn)化為求的最小值，原不等式可化為對(duì)任意的，，不妨代入，得，得，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，即，觀察可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)一定成立，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，此時(shí)，，說明時(shí)，均可取到，滿足題意，故的最小值為.故答案為：解答題19．(2025·全國(guó)二卷)已知函數(shù)．(1)求;(2)設(shè)函數(shù)，求的值域和單調(diào)區(qū)間．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）直接由題意得，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（2）由三角恒等變換得，由此可得值域，進(jìn)一步由整體代入法可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）由題意，所以；（2）由（1）可知，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?，解得，令，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.20．(2025·全國(guó)一卷)設(shè)函數(shù)．(1)求在的最大值；(2)給定，設(shè)a為實(shí)數(shù)，證明：存在，使得；(3)若存在使得對(duì)任意x，都有，求b的最小值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合三角變換得導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)，討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)后得單調(diào)性，從而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值.（2）利用反證法可證三角不等式有解；（3）先考慮時(shí)的范圍，對(duì)于時(shí)，可利用（2）中的結(jié)論結(jié)合特值法求得，從而可得的最小值；或者先根據(jù)函數(shù)解析特征得，再結(jié)合特值法可得，結(jié)合（1）的結(jié)果可得的最小值.【詳解】（1）法1：，因?yàn)?，故，故，?dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故在上的最大值為.法2：我們有.所以：.這得到，同時(shí)又有，故在上的最大值為，在上的最大值也是.（2）法1：由余弦函數(shù)的性質(zhì)得的解為，，若任意與交集為空，則且，此時(shí)無解，矛盾，故無解；故存在，使得，法2：由余弦函數(shù)的性質(zhì)知的解為，若每個(gè)與交集都為空，則對(duì)每個(gè)，必有或之一成立.此即或，但長(zhǎng)度為的閉區(qū)間上必有一整數(shù)，該整數(shù)不滿足條件，矛盾.故存在，使得成立.（3）法1：記，因?yàn)?，故為周期函?shù)且周期為,故只需討論的情況.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，令，則，而，，故，當(dāng)，在（2）中取，則存在，使得，取，則，取即，故，故，綜上，可取，使得等號(hào)成立.綜上，.法2：設(shè).①一方面，若存在，使得對(duì)任意恒成立，則對(duì)這樣的，同樣有.所以對(duì)任意恒成立，這直接得到.設(shè)，則根據(jù)恒成立，有所以均不超過，再結(jié)合，就得到均不超過.假設(shè)，則，故.但這是不可能的，因?yàn)槿齻€(gè)角和單位圓的交點(diǎn)將單位圓三等分，這三個(gè)點(diǎn)不可能都在直線左側(cè).所以假設(shè)不成立，這意味著.②另一方面，若，則由（1）中已經(jīng)證明，知存在，使得.從而滿足題目要求.綜合上述兩個(gè)方面，可知的最小值是.21．(2025·全國(guó)二卷)已知函數(shù)，其中．(1)證明：在區(qū)間存在唯一的極值點(diǎn)和唯一的零點(diǎn)；(2)設(shè)分別為在區(qū)間的極值點(diǎn)和零點(diǎn).（i）設(shè)函數(shù)·證明：在區(qū)間單調(diào)遞減；（ii）比較與的大小，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見解析；(2)（i）證明見解析；（ii），證明見解析.【分析】（1）先由題意求得，接著構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)值情況，從而得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得證函數(shù)在區(qū)間上存在唯一極值點(diǎn)；再結(jié)合和時(shí)的正負(fù)情況即可得證在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)；（2）（i）由（1）和結(jié)合（1）中所得導(dǎo)函數(shù)計(jì)算得到，再結(jié)合得即可得證；（ii）由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減得到，再結(jié)合，和函數(shù)的單調(diào)性以以及函數(shù)值的情況即可得證.【詳解】（1）由題得，因?yàn)?，所以，設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，，令，所以當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上存在唯一極值點(diǎn)，對(duì)函數(shù)有在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，又因?yàn)?，時(shí)，所以時(shí)，所以存在唯一使得，即在上存在唯一零點(diǎn).（2）（i）由（1）知，則，，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（ii），證明如下：由（i）知：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以即，又，由（1）可知在上單調(diào)遞減，，且對(duì)任意，所以.22.(2025·北京)函數(shù)的定義域?yàn)?，為處的切線．（1）的最大值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，除點(diǎn)A外，曲線均在上方；（3）若時(shí)，直線過A且與垂直，，分別于x軸的交點(diǎn)為與，求的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可求出最大值；（2）求出直線的方程，再構(gòu)造函數(shù)，只需證明其最小值（或者下確界）大于零即可；（3）求出直線的方程，即可由題意得到的表示，從而用字母表示出，從而求出范圍.【小問1詳解】設(shè)，，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的最大值為.【小問2詳解】因?yàn)?，所以直線的方程為，即，設(shè)，，由（1）可知，在上單調(diào)遞增，而，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，而當(dāng)時(shí)，，所以總有，單調(diào)遞增故，從而命題得證；【小問3詳解】由可設(shè)，又，所以，即，因?yàn)橹本€的方程為，易知，所以直線的方程為,，.所以,由（1）知,當(dāng)時(shí)，，所以,所以.23．(2025·上海)已知．(1)若，求不等式的解集；(2)若函數(shù)滿足在上存在極大值，求m的取值范圍；【答案】(1)(2)且.【分析】（1）先求出，從而原不等式即為，構(gòu)建新函數(shù)，由該函數(shù)為增函數(shù)可求不等式的解；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，故，故，故，故即為，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而即為，故，故原不等式的解為.（2）在有極大值即為有極大值點(diǎn).，若，則時(shí)，，時(shí)，，故為的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)，故舍；若即，則時(shí)，，時(shí)，，故為的極大值點(diǎn)，符合題設(shè)要求；若，則時(shí)，，無極值點(diǎn)，舍；若即，則時(shí)，，時(shí)，，故為的極大值點(diǎn)，符合題設(shè)要求；綜上，且.24．(2025·上海)已知函數(shù)的定義域?yàn)椋畬?duì)于正實(shí)數(shù)a，定義集合．(1)若，判斷是否是中的元素，請(qǐng)說明理由；(2)若，求a的取值范圍；(3)若是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意，均有．寫出，解析式，并證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)c，函數(shù)在上至多有9個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)不是；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）直接代入計(jì)算和即可；（2）法一：轉(zhuǎn)化為在實(shí)數(shù)使得，分析得，再計(jì)算得，最后根據(jù)的范圍即可得到答案；法二：畫出函數(shù)圖象，轉(zhuǎn)化為直線與該函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，將用表示，最后利用二次函數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得到答案；（3）利用函數(shù)奇偶性和集合新定義即可求出時(shí)解析式，再分析出，最后對(duì)的范圍進(jìn)行分類討論即可.【詳解】（1）（1），，則不是中的元素.（2）法一：因?yàn)?，則存在實(shí)數(shù)使得，且，當(dāng)時(shí)，，其在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，其在上也嚴(yán)格單調(diào)遞增，則，則，令，解得，則，則.法二：作出該函數(shù)圖象，則由題意知直線與該函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖知，假設(shè)交點(diǎn)分別為，，聯(lián)立方程組得（3）對(duì)任意，因?yàn)槠涫桥己瘮?shù)，則，而，所以，所以，因?yàn)?，則，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，，則，，則，而，，則，則，所以當(dāng)時(shí)，，而為偶函數(shù)，畫出函數(shù)圖象如下：其中，但其對(duì)應(yīng)的值