第三章圓6直線和圓的位置關(guān)系第三章圓第1課時直線和圓的位置關(guān)系及切線的性質(zhì)直線與圓的位置關(guān)系相交相切相離圖示(r為☉O的半徑，d為圓

心O到直線l的距離)

公共點的個數(shù)2(交點)1(切點)0直線l的名稱割線切線d與半徑r的關(guān)系d＜rd

?rd

?r＝

＞

知識點1

根據(jù)d與r判斷直線與圓的位置關(guān)系【例1】已知☉O的半徑r＝2，圓心到直線的距離為d.(1)若d＝1，則直線和圓的位置關(guān)系是

?；(2)若d＝

?，則直線和圓相切；(3)若d＝5，則直線和圓有

個公共點.【變式1】☉O的直徑為8

cm，圓心O到直線l的距離為8

cm，則直線l與

☉O的位置關(guān)系是(

C

)A.

相交B.

相切C.

相離D.

不能確定相交

2

0

C知識點2

根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求d或r的取值范圍【例2】已知☉O的半徑為6

cm，直線l與☉O有公共點，設(shè)點O到直線l

的距離為d

cm，則d的取值范圍是

?.【變式2】已知☉O與直線l有公共點，圓心O到直線l的距離為4，則r的

取值范圍是

?.0≤d≤6

r≥4

知識點3

切線的性質(zhì)切線的性質(zhì)定理：圓的切線

于過切點的半徑.幾何語言：∵

?，∴

?.練習(xí)：如圖，AB是☉O的切線，A為切點，連接OA，OB，若∠B＝

20°，則∠AOB＝

?.垂直

l是☉O的切線，OA是☉O的半徑

OA⊥l

70°

【例3】如圖，AB為☉O的直徑，點C為☉O上的一點，AD和過點C的

切線互相垂直，垂足為D.

求證：AC平分∠DAB.

證明：如圖，連接OC.∵CD為☉O的切線，OC為☉O的半徑，∴OC⊥CD.

∵AD⊥CD，∴OC∥AD.

∴∠1＝∠2.∵OC＝OA，∴∠1＝∠3.∴∠2＝∠3.∴AC平分∠DAB.

∵OC＝OA，∴∠1＝∠3.∴∠2＝∠3.∴AC平分∠DAB.

【變式3】如圖，PA是☉O的切線，點A為切點，PO的延長線交☉O于

點B，若∠B＝32°，求∠P的度數(shù).解：如圖，連接OA.

∵PA是☉O的切線，OA為☉O的半徑，∴OA⊥AP.

∴∠PAO＝90°.∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB.

∴∠B＝∠OAB.

∵∠B＝32°，∠AOP＝∠B＋∠OAB，∴∠AOP＝64°.∴∠P＝90°－64°＝26°.∵∠B＝32°，∠AOP＝∠B＋∠OAB，∴∠AOP＝64°.∴∠P＝90°－64°＝26°.1.

在平面直角坐標(biāo)系中，☉A的圓心坐標(biāo)為(3，5)，半徑為方程x2－2x－

15＝0的一個根，那么☉A與x軸的位置關(guān)系是

?.2.

如圖，已知AB是☉O的直徑，點C，D在☉O上，點E在☉O外，AE

是☉O的切線.求證：∠EAC＝∠D.

相切

證明：∵AB是直徑，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵∠ADC和∠ABC所對的弧相同，∴∠ABC＝∠ADC.

∴∠ADC＋∠BAC＝90°.∵AE是☉O的切線，∴∠EAB＝∠EAC＋∠BAC＝90°.∴∠EAC＝ADC.

證明：如圖，連接OB，交AD于點E.

∵BC是☉O的切線，切點為點B，∴OB⊥BC.

∴∠OBC＝90°.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.

∴∠OED＝∠OBC＝90°.∴OE⊥AD.

3.

(核心素養(yǎng))如圖，在?ABCD中，AD是☉O的弦，BC是☉O的切線，

切點為點B.

(2)若AB＝5，AD＝8，求☉O的半徑.解：如圖，連接OA.

∵OE⊥BC，OE過圓心O，

在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，

設(shè)☉O的半徑為r，則OE＝r－3.在Rt△AOE中，∠OEA＝90°，OE2＋AE2＝OA2，即(r－3)2＋42＝r2，

第三章圓第2課時切線的判定與三角形的內(nèi)切圓切線的判定(1)切線的判定(2)文字描述若圓心到直線的距離(d)

?半徑

(r)，則這條直線是圓的切線.經(jīng)過半徑的

?并

且

?這條半徑的

直線是圓的切線.圖形OA＝OB＝5，AB＝8，☉O的半徑為3.則AB與☉O相切.

幾何語言∵

?，∴AB是☉O的切線.∵

?

?，∴AB是☉O的切線.口訣無切點，作垂直(d)，證半徑(d＝r).有切點，連半徑，證垂

直.等于

外端

垂直

OC＝3，且OC⊥AB

OA是☉O的半

徑，OA⊥l

知識點1

切線的判定——直線與圓有交點【例1】如圖，線段AB經(jīng)過圓心O，交☉O于點A，C，AD為☉O的

弦，連接BD，∠BAD＝∠B＝30°.求證：BD是☉O的切線.證明：如圖，連接OD.∵OA＝OD，∠A＝∠ABD＝30°，∴∠A＝∠ADO＝30°.∴∠DOB＝∠A＋∠ADO＝60°.∴∠ODB＝180°－∠DOB－∠B＝90°.∵OD是☉O的半徑，∴BD是☉O的切線.【變式1】如圖，以BC為直徑的☉O交△ABC的邊AB于點D，DE⊥AC

于點E，AC＝BC.

求證：DE是☉O的切線.證明：如圖，連接OD.∵AC＝BC，∴∠B＝∠A.

∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB.

∴∠A＝∠ODB.

∴OD∥AC.

∵DE⊥AC，∴∠DEA＝90°.∴∠ODE＝∠DEA＝90°.∴OD⊥DE.

又∵OD是☉O的半徑，∴DE是☉O的切線.知識點2

切線的判定——直線與圓無交點【例2】如圖，△ABC為等腰三角形，點O是底邊BC的中點，過點O作

OD⊥AB于點D，以點O為圓心，OD的長為半徑作☉O.

求證：AC是

☉O的切線.證明：如圖，連接OA，過點O作OF⊥AC于點F.∵△ABC為等腰三角形，點O是底邊BC的中點，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC.

∵OD⊥AB，OF⊥AC，∴OF＝OD.

∴OF為☉O的半徑.∴AC是☉O的切線.【變式2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是△ABC的角平分

線，以點O為圓心，OC為半徑作☉O.

求證：AB是☉O的切線.證明：如圖，過點O作OF⊥AB于點F.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴OC⊥AC.

∵AO是△ABC的角平分線，OF⊥AB，∴OF＝OC.

∴OF為☉O的半徑.∴AB是☉O的切線.知識點3

三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心圖形三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心的概念(1)與三角形

的圓叫做三角形的內(nèi)切圓；(2)三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個三角形的

?.三角形內(nèi)心的性質(zhì)(1)三角形的內(nèi)心到三角形

的距離相等；(2)三角形的內(nèi)心是三角形

的交點.各邊都相切

內(nèi)心

各邊

三條角平分線

【例3】如圖，求作△ABC的內(nèi)心O(三角形三條角平分線的交點，即內(nèi)

切圓的圓心).解：如圖所示.

(1)若∠ABC＝60°，∠C＝40°，則∠BOC＝

?.(2)若∠A＝80°，則∠BOC＝

?.解：如圖所示.130°

130°

解：(1)如圖所示.

(2)若△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，△ABC的周長為C，則△ABC的面積

S＝

?.解：(1)如圖所示.

【變式3】(1)作出△ABC的內(nèi)切圓☉O.

1.

(北師教材九下P93習(xí)題T1)如圖，直線AB經(jīng)過☉O上的點C，并且OA

＝OB，CA＝CB，那么直線AB是☉O的切線嗎？為什么？解：直線AB是☉O的切線.理由如下：如圖，連接OC.∵OA＝OB，CA＝CB，∴OC⊥AB.

∴直線AB是☉O的切線.2.

如圖，AB是☉O的一條弦，點E是劣弧AB的中點，直線CD經(jīng)過點E

且與直線AB平行.求證：直線CD是☉O的切線.證明：如圖，連接OE交AB于點F.∵點E是劣弧AB的中點，∴OE⊥AB.

∵AB∥CD，∴CD⊥OE.

∵OE是☉O的半徑，∴直線CD是☉O的切線.3.

如圖，AB是☉O的弦，OP⊥OA

交AB于點P，過點B的直線交OP的

延長線于點C，且CP＝CB.

(1)求證：BC是☉O的切線.證明：如圖，連接OB.

∵OP⊥OA，∴∠AOP＝90°.∴∠A＋∠APO＝90°.∵CP＝CB，∴∠CBP＝∠CPB.

∵∠CPB＝∠APO，∴∠APO＝∠CBP.

∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA.

∴∠OBC＝∠CBP＋∠OBA＝∠APO＋∠A＝90°.∴OB