專題1.2空間向量的數(shù)量積運算-重難點題型精講1．空間向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a⊥b.2．空間向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．向量的投影(1)如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．(2)如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．【題型1數(shù)量積的計算】求空間向量數(shù)量積的步驟：(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．(3)代入求解．【例1】已知四面體ABCD，所有棱長均為2，點E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，則AF→A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【解題思路】先得到四面體ABCD為正四面體，再利用空間向量的數(shù)量積運算和線性運算求解即可．【解答過程】解：∵四面體ABCD，所有棱長均為2，∴四面體ABCD為正四面體，∵E，F(xiàn)分別為棱AB，CD的中點，∴AF→?CE→==12AC→?AE→=12×2×1×1＝﹣2．故選：D．【變式1-1】已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都為a，E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點，則GE→?GFA．2a28 B．a(chǎn)28 C．【解題思路】由題意，四面體是正四面體，每個三角形是等邊三角形，再利用向量的數(shù)量積的定義解答即可．【解答過程】解：∵空間四邊形ABCD的每條邊及AC、BD的長都為a，∴四面體是正四面體，所以每個面都是等邊三角形，∵點E、F、G分別是AB、AD、DC的中點，∴GE→?GF→=（=12DC→?12=14a2×（?12）+12a2×故選：D．【變式1-2】在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，設(shè)AB→=a→，AD→A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合正方體的性質(zhì)，以及向量數(shù)量積的運算規(guī)律，即可求解．【解答過程】解：由正方體的性質(zhì)可得，AB→⊥AD故AB→?AD∵AB→=a→，∴a→故選：B．【變式1-3】已知MN是棱長為4的正方體內(nèi)切球的一條直徑，點P在正方體表面上運動，則PM→A．4 B．12 C．8 D．6【解題思路】利用空間向量的線性運算和數(shù)量積運算得到PM→?PN→【解答過程】解：設(shè)正方體內(nèi)切球的球心為G，則GM＝GN＝2，PM→?PN→=（PG→+GM→）?（PG→+因為MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，所以GM→+GN→=0所以PM→?PN→又點P在正方體表面上運動，所以當(dāng)P為正方體頂點時，|PG→|最大，且最大值為2所以PM→?PN→=PG→2?4≤8故選：C．【題型2向量的夾角及其應(yīng)用】求兩個向量的夾角：利用公式＝求，進(jìn)而確定．【例2】已知正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為a，設(shè)AB→=a→，AD→=bA．30° B．60° C．90° D．120°【解題思路】由B'D'→=DB→，得到＜A'B→，B'D'→＞是∠DBA′的補角，由A′D＝【解答過程】解：∵正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為a，設(shè)AB→=a→，AD→∴＜A'B→，B'∵A′D＝A′B＝BD，∴∠DBA′＝60°，∴＜A'B→，B故選：D．【變式2-1】已知空間中四個不共面的點O、A、B、C，若|OB→|＝|OC→|，且cos＜OA→，OB→＞=cos＜OAA．1 B．12 C．32 D【解題思路】根據(jù)cos＜OA→，OB→＞=cos＜OA→，OC→＞和|OB→|＝|OC→|可得OA→?OB→【解答過程】解：∵cos＜OA→，OB→＞=cos＜∵|OB→|＝|OC→|，∴OA→?OB→=OA→?OC→，∴OA→∴sin＜OA→，BC→＞故選：A．【變式2-2】空間四邊形OABC中，OB＝6，OC＝4，BC＝4，∠AOB=∠AOC=π3，則cos＜OA→，【解題思路】利用OB＝6，OC＝4，BC＝4，∠AOB=∠AOC=π3，以及兩個向量的數(shù)量積的定義化簡cos【解答過程】解：∵OB＝6，OC＝4，BC＝4，∠AOB=∠AOC=π∴cos＜OA故答案為：?1【變式2-3】如圖，在△ABC和△AEF中，B是EF的中點，AB＝2，EF＝4，CA＝CB＝3，若AB→?AE→+AC→?AF【解題思路】推導(dǎo)出BC→2=9＝（AC→?AB→）2=AC→2+AB→2?2AC→?AB→【解答過程】解：由題意得：BC→2=9＝（AC→?AB→）∴AC→∵AB→∴AB→?(AB=AB＝6+＝6+1∴EF→?BC∴EF→與BC→的夾角的余弦值為cos故答案為：16【題型3利用數(shù)量積求向量的模】求線段長度(距離)：①取此線段對應(yīng)的向量；②用其他已知夾角和模的向量表示該向量；③利用＝，計算出，即得所求長度(距離)．【例3】在平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，則AC1的長為（）A．3 B．3 C．6 D．6【解題思路】由ACAC1→2=(AB→【解答過程】解：AC則AC1→2=(AB＝1+1+1+3×2×1×1×cos60°＝6．∴|AC1【變式3-1】如圖，在大小為45°的二面角A﹣EF﹣D中，四邊形ABFE與CDEF都是邊長為1的正方形，則B與D兩點間的距離是（）A．3 B．2 C．1 D．3?【解題思路】由DB→【解答過程】解：∵四邊形ABFE與CDEF都是邊長為1的正方形，∴DE→又大小為45°的二面角A﹣EF﹣D中，∴DE→?FB→=∵DB→=DE→+∴|DB→|=【變式3-2】在平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，則AC1的長為（）A．3 B．3 C．6 D．6【解題思路】由ACAC1→2=(AB→【解答過程】解：AC則AC1→2=(AB＝1+1+1+3×2×1×1×cos60°＝6．∴|AC1【變式3-3】如圖，圓臺的高為4，上、下底面半徑分別為3、5，M、N分別在上、下底面圓周上，且＜O2M→，O1NA．65 B．52 C．35 D．5【解題思路】用MO2→，O2O1→【解答過程】解：∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，∴MO2→?O2O又MO2→?O1N→∵M(jìn)N→∴MN→2＝（MO=MO2→2+O2O1→2+O1N→∴|MN→|=故選：A．【題型4向量垂直的應(yīng)用】【例4】已知a，b是異面直線，e1→，e2→分別為取自直線a，b上的單位向量，且a→=2e1→+3e2→，bA．﹣6 B．6 C．3 D．﹣3【解題思路】e1→，e2→分別為取自直線a，b上的單位向量，且a→⊥b→，則|e1→|＝|e2→|＝1【解答過程】解：e1→，e2→分別為取自直線a，b上的單位向量，且a→⊥b→，則|e1→|＝|e2a→?b→=2ke1→2?12e2→2+（3k﹣8）e1→【變式4-1】已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1，下列向量的數(shù)量積一定不為0的是（）A．AD1→?B1C→ B．B【解題思路】選項A，當(dāng)四邊形ADD1A1為正方形時，可證AD1⊥B1C，選項B，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時，可證AC⊥BD1，選項C，由長方體的性質(zhì)可證AB⊥AD1，分別可得數(shù)量積為0，選項D，可推在△BCD1中，∠BCD1為直角，可判BC與BD1不可能垂直，可得結(jié)論．【解答過程】解：選項A，當(dāng)四邊形ADD1A1為正方形時，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此時有AD1選項B，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時，可得AC⊥BD，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此時有BD1選項C，由長方體的性質(zhì)可得AB⊥平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此時必有AB→?選項D，由長方體的性質(zhì)可得BC⊥平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1為直角三角形，∠BCD1為直角，故BC與BD1不可能垂直，即BD1故選：D．【變式4-2】若A，B，C，D是空間中不共面的四點，且滿足AB→?AC→=AC→?AD→A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不確定【解題思路】由題意知，AB⊥AC，AC⊥AD，AB⊥AD，設(shè)AB＝a，AC＝b，AD＝c，由勾股定理可求BC、CD、BD的長度，在△BCD中，由余弦定理得B，C，D三個角的余弦值都是正數(shù)，可得B，C，D都是銳角，得到△BCD的形狀．【解答過程】解：∵AB→?AC→=AC→?AD→=AB→?AD→=0，∴AB設(shè)AB＝a，AC＝b，AD＝c，則BC=a2+b2，CD△BCD中，由余弦定理得cosB=a2同理可得，cosC＞0，cosD＞0，∴內(nèi)角B，C，D都是銳角，即△BCD是銳角三角形．故選：B．【變式4-3】如圖，已知四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是（）A．PC→與BD→ B．DA→與PB→ C．PD→與AB→【解題思路】根據(jù)題意，若空間非零向量的數(shù)量積為0，則這兩個向量必然互相垂直．據(jù)此依次分析選項，判定所給的向量是否垂直，即可得答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A、PC與BD不一定垂直，即向量PC→、BD→不一定垂直，則向量PC→、BD對于B、根據(jù)題意，有PA⊥平面ABCD，則PA⊥AD，又由AD⊥AB，則有AD⊥平面PAB，進(jìn)而有AD⊥PB，即向量DA→、PB→一定垂直，則向量DA→、PB對于C、根據(jù)題意，有PA⊥平面ABCD，則PA⊥AB，又由AD⊥AB，則有AB⊥平面PAD，進(jìn)而有AB⊥PD，即向量PD→、AB→一定垂直，則向量PD→、AB對于D、根據(jù)題意，有PA⊥平面ABCD，則PA⊥CD，即向量PA→、CD→一定垂直，則向量PA→、CD故選：A．專題1.2空間向量的數(shù)量積運算-重難點題型檢測參考答案與試題解析一．選擇題1．如圖，在空間四邊形ABCD中，AB→?CDA．﹣1 B．1 C．0 D．不確定【解題思路】用AB→、AD→和【解答過程】解：空間四邊形ABCD中，AB→?=AB→?（AD→?AC→）+AC=AB→?AD→?AB→?AC→+AC→?AB→?2．若A，B，C，D是空間中不共面的四點，且滿足AB→?AC→=AC→?AD→A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不確定【解題思路】由題意知，AB⊥AC，AC⊥AD，AB⊥AD，設(shè)AB＝a，AC＝b，AD＝c，由勾股定理可求BC、CD、BD的長度，在△BCD中，由余弦定理得B，C，D三個角的余弦值都是正數(shù)，可得B，C，D都是銳角，得到△BCD的形狀．【解答過程】解：∵AB→?AC→=AC→?AD→=AB→?AD→=0，∴AB設(shè)AB＝a，AC＝b，AD＝c，則BC=a2+b2，CD△BCD中，由余弦定理得cosB=a2a2+b2?b2+c∴內(nèi)角B，C，D都是銳角，即△BCD是銳角三角形．故選：B．3．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》商功中記載“斜解立方，得兩塹堵”，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱．在塹堵ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，P為B1C1的中點，則AC1→A．6 B．﹣6 C．2 D．﹣2【解題思路】由條件得AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC，將AC1→，BP→用向量AC→【解答過程】解：根據(jù)塹堵的幾何性質(zhì)可知，AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC，因為AC1→=AC所以AC1→?BP→=（AC→+AA1→）?4．已知單位向量b→與x，y軸的夾角分別為60度，60度，與z軸的夾角為鈍角，向量a→=2j﹣kA．1+2 B．1?2 C．1+22【解題思路】設(shè)向量b→與z軸正向的夾角為α，由cos260°+cos260°+cos2α＝1，求出α【解答過程】解：設(shè)向量b→與z軸正向的夾角為α，∵向量b→與x軸正向的夾角為60°，與y軸正向的夾角為60°，∴cos260°+cos260°+cos2α＝1，解得cos2α＝1?14?14=12，∵與z軸的夾角為鈍角，∴cosα=?22，∴α＝135°，∵a→=2j﹣k，則a→?b→=（2j﹣k）?b故選：C．5．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為a，體對角線AC1與BD1相交于點O，則有（）A．AB→?A1CC．AB→?AO→=12a【解題思路】利用空間向量基本定理、空間向量數(shù)量積的運算律以及向量垂直的充要條件，分別求解四個選項中的數(shù)量積，即可得到答案．【解答過程】解：由題意，AB→?AAB→?AC1AB→?AOBC→?DA16．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，有下列命題：①（AA1→+AD→+AB→）2＝3AB→2；②A1CA．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)空間向量的垂直和異面直線的所成的角即可求出．【解答過程】解：對于①（AA1→+AD→+AB→）2＝（AA1→）2+（AD→）2+（AB→）2+2AA1→?AD→+2AA1→?AB→+2AD→?AB→=3AB→2，故正確，對于②A1C→?（A1B1→?A7．已知四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，則下列結(jié)論中，不一定成立的是（）A．|ABB．|ABC．(ABD．AB【解題思路】作出如圖的圖形，從圖形上把各個向量對應(yīng)的有向線段表示出來，對四個選項進(jìn)行判別．【解答過程】解：作出如圖的形，對于選項A|AB→+AC→+AD→|=|AB→+AC→?AD→對于選項B，|AB→+AC→+AD→|2=|AB對于選項C，由于三個線段的長度未知，不確定，故C不一定正確．對于D選項，由線面垂直可得三組向量之間都是垂直的關(guān)系，故它們的內(nèi)積都是0，D正確．綜上知，C不一定正確，故應(yīng)選C．8．在四面體P﹣ABC中給出以下四個結(jié)論，則說法錯誤的是（）A．若AD→=13ACB．若Q為△ABC的重心，則PQ→C．若PA→?BC→=0，PC→?AB→=0D．若四面體P﹣ABC各棱長都為2，M，N分別為PA，BC的中點，則|MN→|＝【解題思路】根據(jù)向量的線性運算與數(shù)量積的公式，逐一對選項進(jìn)行計算即可．【解答過程】解：對于A，AD→=13AC→整理得2AD→?2AB→=AC→?AD→，所以2BD→對于B，由于Q為△ABC的重心，所以QA→+QB→+QC整理得PQ→=1對于C，PA→?BC→=0，PC→?AB→=0整理得（PA→?PC→）?BC轉(zhuǎn)換為AC→?CB→+PC→對于D，由題可知，四面體各個面均為正三角形，則|PA→|＝|PB→|＝|PC→|＝2，PA→，PB→，PC→兩兩之間的夾角均為由于|PB→+所以|MN→|=2，故D錯誤，故選：二．多選題9．已知四面體ABCD的所有棱長都是2，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點，則（）A．AB→?AC→=2 B．EF→?FG【解題思路】由題意，四面體是正四面體，每個三角形都是等邊三角形，利用向量的數(shù)量積的定義解答．【解答過程】解：由題意，空間四邊形ABCD的每條邊及AC、BD的長都為2，四面體時正四面體，所以每個面都是等邊三角形，點E、F、G分別是AB、AD、DC的中點，所以AB→?AC→=|AB→||AC→|cos60EF→?FG→=12BD→?12AC→=1AB→?EG→=AB→?（FG→?FE→）=AB→?12AC→GE→?GF→=（GC→+CB→+BE→）?GF→=GC→?GF→+CB→10．已知空間四邊形ABCD的四條邊和對角線長都為a，且E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點，則下列四個數(shù)量積中結(jié)果為﹣a2的式子的有（）A．2BA→?AC→ B．2AD→?【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算，即可求解．【解答過程】解：對于A，2BA→?AC→=2|BA→||AC→對于B，2AD→?BD→=2|AD→||BD→對于C，2GF→?對于D，2EF→?CB→11．定義空間兩個向量的一種運算a→?b→=|a→|?|b→A．a(chǎn)→?b→=B．λ（a→?b→）＝（λa→）C．（a→+b→）?c→=（a→?c→D．若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），則a→?b→=|x1y【解題思路】A和B需要根據(jù)定義列出左邊和右邊的式子，再驗證兩邊是否恒成立；C由定義驗證若a→=λb→，且λ＞0，結(jié)論成立，從而得到原結(jié)論不成立；D根據(jù)數(shù)量積求出cos＜a→，b【解答過程】解：對于A，a→?b→=|a→|?|b→|sin＜a→，b→＞，b→?a→故a→?b→=對于B：λ（a→?b→）＝λ（|a→|?|b→|sin＜a→，b→＞），（λa→）?b→=|λ||a故λ（a→?b→）＝（λa→）對于C，若a→=λb→，（a→+b→）?c→=（1+|λ|）|（a→?c→）+（b→?c→）＝|λb→|?|c→|sin＜b→，c→＞+|b→|?|c→|sin＜b→，c顯然（a→+b→）?c→=（a→?c對于D，cos＜a→，b→＞=x即有a→?b→=|a→|?|b→|?1=x12=(x12+y12)(x22則a→?b→=|x1y2﹣x2y故選：AD．12．已知ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，下列說法中正確的是（）A．(AB．A1C．向量AD1→與向量A1D．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積為|【解題思路】本題考查的是用向量的知識和方法研究正方體中的線線位置關(guān)系及夾角與體積．用到向量的加法、減法、夾角及向量的數(shù)量積，研究了正方體中的線線平行、垂直，異面直線的夾角及正方體的對角線的計算、體積的計算．【解答過程】解：由向量的加法得到：A1A→+A1D1→+A1B1→=A1C→∵△ACD1是等邊三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴異面直線AD1與A1B所成的夾角為60°，但是向量AD1→與向量A1B∵AB⊥AA1，∴AB→?AA1→=0，故三．填空題13．在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC1→?A【解題思路】直接把向量轉(zhuǎn)化再結(jié)合數(shù)量積即可求解結(jié)論．【解答過程】解：∵在棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥BC，AB⊥CC1，如圖：故AC1→?A1B1→14．已知四面體ABCD的每條棱長都等于2，點E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點，則GE→?GF→等于【解題思路】求出EG、EF、GF的長，從而求出∠EGF＝45°，再由GE→?GF→=|EG→|?【解答過程】解：∵四面體ABCD的每條棱長都等于2，點E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點，∴GF∥AC，GF=12AC=1，EF∥BD，EF=12BD=1GE=AG2?AE2=3?1∴GE→?GF→=|EG→|?|GF→|?15．如圖，四個棱長為1的正方體排成一個正四棱柱，AB是一條側(cè)棱，Pi（i＝1，2，…，8）是上底面上其余的八個點，則集合{y|y=AB→?APi→，i＝1，2，3，…，8}中的元素個數(shù)為【解題思路】根據(jù)向量的垂直和向量的數(shù)量積即可求出．【解答過程】解：APi→=AB→+BPi→，則AB→?∵AB→⊥BPi→，∴AB→?BPi→=0，∴AB→?APi→=|AB→|2＝1即集合{y|y=AB→?APi→，i＝1，2，3，…，8}16．點P是棱長為26的正四面體表面上的動點，MN是該四面體內(nèi)切球的一條直徑，則PM→?PN→的最大值是8【解題思路】點P位于正四面體ABCD的頂點時取得最大值，求出即可．【解答過程】解：如圖所示：設(shè)正四面體ABCD的棱長為26，設(shè)其內(nèi)切球球心為點O，連接AO并延長交底面BCD于點E，則E為正三角形BCD的中點，且AE⊥平面BCD，連接BE并延長交CD于點F，則F為CD的中點，且BF⊥CD，∴BF=BC2?CF2=32，∴∵AE⊥平面BCD，BE?平面BCD，∴AE⊥BE，∴AE=AB∴S△BCD=12?CD?BF＝6∴正四面體ABCD的體積V=13S△BCD?AE＝8設(shè)球O的半徑為R，則V＝VO﹣BCD+VO﹣ACD+VO﹣ABD+VO﹣ABC＝4VO﹣BCD＝4×13S△BCD?∴R=3V4S△BCD=1，∴AO＝AE∵PM→=PO∴PM→?PN→=（PO→+OM→）（當(dāng)PO→2最大，即點P位于正四面體ABCD的頂點時，則PM→此時，PM→?PN→=PO→2﹣1≤AO2﹣1＝9故答案為：8．四．解答題17．如圖，三棱錐O﹣ABC各棱的棱長都是1，點D是棱AB的中點，點E在棱OC上，且OE→=λOC→，記OA→=（1）用向量a→，b→，c→（2）求DE的最小值．【解題思路】（1）根據(jù)題意，根據(jù)題意，連接OD，CD，由空間向量的運算方法可得DE→=OE→?（2）根據(jù)題意，由正三棱錐的幾何結(jié)構(gòu)分析可得|OD|=32，且cos∠DOE=33，由空間向量的運算法則可得|DE→|2＝|OE→?OD→|2，變形可得|DE【解答過程】解：（1）根據(jù)題意，連接OD，CD，點D是棱AB的中點，點E在棱OC上，且OE→=λOC→，記OA→=∴DE→=OE→?OD→=（2）根據(jù)題意，點D是棱AB的中點，則|OD|=32，且cos∠DOE|DE→|2＝|OE→?OD→|2=OE→2﹣2OE→?OD→+OD→2＝（λc→）2﹣2×λ×1×32×則當(dāng)λ=12時，|DE→|2取得最小值12，則|DE18．如圖，在平行六面體ABCD﹣A'B'C'D′中，AB＝4，AD＝3，AA'＝5，∠BAD＝90°，∠BAA'＝∠DAA′＝60°．求：（1）AA'（2）AB′的長；（3）AC′的長．【解題思路】（1）利用數(shù)量積的定義得AA'→?AB→=|AA'（3）因為AC'→=【解答過程】解：（1）AA'（2）因為AB'→=（3）因為AA'→?所以|AC'19．如圖，已知平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，設(shè)AB→=a→，（1）用a→，b→，c→表示A（2）求AA【解題思路】（1）利用向量的數(shù)量積運算，向量的求模公式求解即可．（2）利用向量數(shù)量積運算求解即可．【解答過程】解：（1）∵AB→=a→，∴AC∵底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∴|=1+