z變換期末考試題及答案Z變換期末考試題一、選擇題（每題3分，共15分）1.序列$x[n]=a^nu[n]$的Z變換$X(z)$及其收斂域?yàn)椋ǎ〢.$\frac{1}{1az^{-1}}$，$|z|>|a|$B.$\frac{1}{1az^{-1}}$，$|z|<|a|$C.$\frac{1}{1+az^{-1}}$，$|z|>|a|$D.$\frac{1}{1+az^{-1}}$，$|z|<|a|$2.已知$X(z)=\frac{z}{z2}$，$|z|>2$，則其對(duì)應(yīng)的時(shí)域序列$x[n]$為（）A.$2^nu[n]$B.$-2^nu[-n1]$C.$2^{-n}u[n]$D.$-2^{-n}u[-n1]$3.序列$x[n]=\delta[nn_0]$的Z變換為（）A.$z^{n_0}$B.$z^{-n_0}$C.$1$D.$\delta(zn_0)$4.若$X(z)$是$x[n]$的Z變換，那么$x[nn_0]$的Z變換為（）A.$z^{n_0}X(z)$B.$z^{-n_0}X(z)$C.$X(zn_0)$D.$X(z+n_0)$5.已知$X(z)=\frac{1}{(z1)(z2)}$，$|z|>2$，則$x[n]$為（）A.$(2^n1)u[n]$B.$(2^{n+1}-1)u[n]$C.$(2^n1)u[-n1]$D.$(2^{n+1}-1)u[-n1]$二、填空題（每題3分，共15分）1.序列$x[n]=u[n]-u[n3]$的Z變換$X(z)=$______，收斂域?yàn)開(kāi)_____。2.已知$X(z)=\frac{z}{z0.5}$，$|z|>0.5$，則$x[n]=$______。3.若$X(z)$的收斂域?yàn)?|z|<1$，則對(duì)應(yīng)的時(shí)域序列$x[n]$是______序列。4.序列$x[n]=na^nu[n]$的Z變換$X(z)=$______。5.已知$X(z)=\frac{z^2}{(z1)(z3)}$，$|z|>3$，則$x[n]$的初值$x[0]=$______。三、簡(jiǎn)答題（每題10分，共30分）1.簡(jiǎn)述Z變換的定義，并說(shuō)明雙邊Z變換和單邊Z變換的區(qū)別。2.說(shuō)明Z變換收斂域的重要性，并舉例說(shuō)明不同收斂域?qū)?yīng)不同的時(shí)域序列。3.簡(jiǎn)述利用部分分式展開(kāi)法求Z逆變換的步驟。四、計(jì)算題（每題20分，共40分）1.求序列$x[n]=\begin{cases}2^n,&0\leqn\leq4\\0,&\text{其他}\end{cases}$的Z變換$X(z)$及其收斂域。2.已知$X(z)=\frac{z^2+3z}{(z1)(z2)(z3)}$，$|z|>3$，求其對(duì)應(yīng)的時(shí)域序列$x[n]$。答案一、選擇題1.答案：A解析：根據(jù)Z變換的定義$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$，對(duì)于$x[n]=a^nu[n]$，$X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}(az^{-1})^n$，這是一個(gè)等比級(jí)數(shù)，當(dāng)$|az^{-1}|<1$即$|z|>|a|$時(shí)，$X(z)=\frac{1}{1az^{-1}}$。2.答案：A解析：$X(z)=\frac{z}{z2}=\frac{1}{12z^{-1}}$，$|z|>2$，根據(jù)常用Z變換對(duì)，$x[n]=2^nu[n]$。3.答案：B解析：$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta[nn_0]z^{-n}=z^{-n_0}$。4.答案：B解析：根據(jù)Z變換的時(shí)移性質(zhì)，$Z\{x[nn_0]\}=z^{-n_0}X(z)$。5.答案：A解析：將$X(z)=\frac{1}{(z1)(z2)}=\frac{1}{z2}-\frac{1}{z1}$，$|z|>2$，$Z^{-1}\{\frac{1}{z2}\}=2^{n1}u[n1]$，$Z^{-1}\{\frac{1}{z1}\}=u[n1]$，所以$x[n]=(2^n1)u[n]$。二、填空題1.答案：$1+z^{-1}+z^{-2}$，$|z|>0$解析：$x[n]=u[n]-u[n3]=\begin{cases}1,&0\leqn\leq2\\0,&\text{其他}\end{cases}$，$X(z)=\sum_{n=0}^{2}z^{-n}=1+z^{-1}+z^{-2}$，收斂域?yàn)檎麄€(gè)z平面除去$z=0$。2.答案：$0.5^nu[n]$解析：$X(z)=\frac{z}{z0.5}=\frac{1}{10.5z^{-1}}$，$|z|>0.5$，根據(jù)常用Z變換對(duì)可得$x[n]=0.5^nu[n]$。3.答案：左邊解析：收斂域?yàn)?|z|<R$的形式對(duì)應(yīng)的是左邊序列。4.答案：$\frac{az^{-1}}{(1az^{-1})^2}$解析：由$Z\{a^nu[n]\}=\frac{1}{1az^{-1}}$，根據(jù)Z變換的微分性質(zhì)$Z\{nx[n]\}=-z\fracphlq9gj{dz}X(z)$，可得$Z\{na^nu[n]\}=\frac{az^{-1}}{(1az^{-1})^2}$。5.答案：1解析：根據(jù)初值定理，對(duì)于因果序列$x[n]$，$x[0]=\lim_{z\rightarrow\infty}X(z)$，$X(z)=\frac{z^2}{(z1)(z3)}=\frac{z^2}{z^2-4z+3}$，$\lim_{z\rightarrow\infty}X(z)=1$。三、簡(jiǎn)答題1.Z變換的定義雙邊Z變換：$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$，其中$z$是復(fù)變量，$z=re^{j\omega}$。單邊Z變換：$X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}$。區(qū)別：雙邊Z變換考慮了整個(gè)時(shí)域序列$x[n]$（$n$從$-\infty$到$\infty$），適用于非因果序列；單邊Z變換只考慮$n\geq0$的序列值，主要用于求解因果序列的Z變換以及處理具有初始條件的差分方程。2.Z變換收斂域的重要性收斂域決定了Z變換是否存在。只有當(dāng)Z變換的級(jí)數(shù)收斂時(shí)，Z變換才有意義。不同的收斂域?qū)?yīng)不同的時(shí)域序列。例如，$X(z)=\frac{1}{1az^{-1}}$，當(dāng)收斂域?yàn)?|z|>|a|$時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)域序列是$x[n]=a^nu[n]$（因果序列）；當(dāng)收斂域?yàn)?|z|<|a|$時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)域序列是$x[n]=-a^nu[-n1]$（反因果序列）。3.利用部分分式展開(kāi)法求Z逆變換的步驟首先，將$X(z)$表示為$z$的有理分式形式$\frac{N(z)}{D(z)}$，其中$N(z)$和$D(z)$是$z$的多項(xiàng)式。然后，對(duì)$\frac{X(z)}{z}$進(jìn)行部分分式展開(kāi)，將其分解為多個(gè)簡(jiǎn)單分式之和，如$\frac{X(z)}{z}=\sum_{i=1}^{k}\frac{A_i}{zp_i}$，其中$p_i$是$X(z)$的極點(diǎn)。接著，將部分分式展開(kāi)式兩邊同乘$z$，得到$X(z)=\sum_{i=1}^{k}\frac{A_iz}{zp_i}$。最后，根據(jù)收斂域和常用Z變換對(duì)，求出每個(gè)簡(jiǎn)單分式對(duì)應(yīng)的時(shí)域序列，再將它們相加得到$x[n]$。四、計(jì)算題1.根據(jù)Z變換的定義$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}$，已知$x[n]=\begin{cases}2^n,&0\leqn\leq4\\0,&\text{其他}\end{cases}$，則：\[X(z)=\sum_{n=0}^{4}(2z^{-1})^n\]這是一個(gè)首項(xiàng)為$1$，公比為$2z^{-1}$的等比級(jí)數(shù)，根據(jù)等比級(jí)數(shù)求和公式$S=\frac{a(1r^m)}{1r}$（其中$a=1$，$r=2z^{-1}$，$m=5$），可得：\[X(z)=\frac{1-(2z^{-1})^5}{12z^{-1}}=\frac{z^532}{z^4(z2)}\]由于該序列是有限長(zhǎng)序列，其收斂域?yàn)?|z|>0$。2.首先對(duì)$\frac{X(z)}{z}$進(jìn)行部分分式展開(kāi)，已知$X(z)=\frac{z^2+3z}{(z1)(z2)(z3)}$，則$\frac{X(z)}{z}=\frac{z+3}{(z1)(z2)(z3)}$。設(shè)$\frac{z+3}{(z1)(z2)(z3)}=\frac{A}{z1}+\frac{B}{z2}+\frac{C}{z3}$。求系數(shù)：$A=\lim_{z\rightarrow1}(z1)\frac{z+3}{(z1)(z2)(z3)}=\frac{1+3}{(12)(13)}=2$。$B=\lim_{z\rightarrow2}(z2)\frac{z+3}{(z1)(z2)(z3)}=\frac{2+3}{(21)(23)}=-5$。$C=\lim_{z\rightarrow3}(z3)\frac{z+3}{(z1)(z2)(z3)}=\frac{3+3}{(31)(32)}=3$。所以$\frac{X(z)}{z}=\frac{2}{z1}-\frac{5}{z2}+\frac{3}{z3}$，則$X(z)=\frac{2z}{z1}-\fr