測(cè)繪工程專升本2025年測(cè)量平差理論專項(xiàng)訓(xùn)練試卷（含答案）考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述測(cè)量平差的定義及其主要目的。2.什么是觀測(cè)值的精度？常用的精度評(píng)定指標(biāo)有哪些？3.簡(jiǎn)要說明條件平差法和參數(shù)平差法在原理上的主要區(qū)別。4.在水準(zhǔn)測(cè)量平差中，通常會(huì)遇到哪幾種類型的幾何條件方程？請(qǐng)分別說明。二、計(jì)算題（共60分）1.（10分）設(shè)對(duì)某量進(jìn)行了4次獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值分別為L1=10.1,L2=10.3,L3=10.2,L4=10.4（單位：mm）。已知該量的真值未知，但知其先驗(yàn)中誤差為σ0=0.1mm。試用最小二乘原理求該量的平差值及其平差值中誤差。2.（15分）在水準(zhǔn)測(cè)量中，對(duì)A、B兩點(diǎn)間的高差進(jìn)行了3次獨(dú)立觀測(cè)，觀測(cè)值及測(cè)站高差分別為：h1=1.532m,h2=1.535m,h3=1.534m；測(cè)站高差為n1=4,n2=3,n3=5。試用條件平差法求該高差h的平差值及其單位權(quán)中誤差。設(shè)每個(gè)測(cè)站的高差觀測(cè)中誤差均為0.005m。3.（15分）設(shè)有一水準(zhǔn)網(wǎng)，觀測(cè)了三條高差線路，觀測(cè)值及線路長度（單位：km）如下：L1=+1.532,L=4L2=-0.684,L=3L3=+0.848,L=2已知水準(zhǔn)測(cè)量的誤差傳播定律為：m_h^2=(c^2*m_l^2*L)，其中c為比例常數(shù)，m_l為每公里觀測(cè)中誤差，設(shè)m_l=0.005m。試用參數(shù)平差法（間接平差）求三個(gè)待定點(diǎn)高程的平差值，并計(jì)算單位權(quán)中誤差。4.（20分）在一個(gè)三角形中，對(duì)三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行了觀測(cè)，觀測(cè)值分別為：L1=60°20′30″,L2=59°40′15″,L3=60°00′15″。設(shè)每個(gè)角度的觀測(cè)中誤差為m=5″。試用附有參數(shù)的條件平差法（即將三個(gè)角度和三個(gè)角平差值之差作為參數(shù)）求三個(gè)角度的平差值及其平差值中誤差。三、綜合應(yīng)用題（共20分）某矩形建筑物場(chǎng)地，需要測(cè)定其四個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)。采用極坐標(biāo)法觀測(cè)，觀測(cè)數(shù)據(jù)及已知數(shù)據(jù)如下（單位：m，角度單位：°′″）：已知：A點(diǎn)坐標(biāo)(100.00,200.00)；觀測(cè)：∠A=90°00′00″,∠B=60°30′15″,∠C=120°00′00″,∠D=90°30′00″；距離DA=80.00,DB=70.00,DC=60.00,DD'=90.00。設(shè)角度觀測(cè)中誤差為m_∠=5″，距離觀測(cè)中誤差為m_D=0.01m。試用參數(shù)平差法（誤差方程法）求B,C,D'三點(diǎn)坐標(biāo)的平差值，并評(píng)定其精度。假設(shè)可以選用A點(diǎn)坐標(biāo)作為參考點(diǎn)。試卷答案一、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.測(cè)量平差的定義及其主要目的：定義：測(cè)量平差是處理帶有隨機(jī)誤差的觀測(cè)數(shù)據(jù)，按照最小二乘原理或其他最優(yōu)估計(jì)原理，求未知量（參數(shù)）最或然估值及其精度的數(shù)學(xué)方法。主要目的：①消除觀測(cè)值中的矛盾；②求出未知量的最或然估值；③評(píng)定觀測(cè)值和未知量的精度。2.什么是觀測(cè)值的精度？常用的精度評(píng)定指標(biāo)有哪些？觀測(cè)值的精度是指觀測(cè)值與其真值之間的接近程度，反映觀測(cè)結(jié)果的可靠程度。常用的精度評(píng)定指標(biāo)：中誤差（m）、相對(duì)中誤差（1/m）、容許誤差（限差，T或m_p）、精度指數(shù)（C）。3.簡(jiǎn)要說明條件平差法和參數(shù)平差法在原理上的主要區(qū)別：條件平差法：基于最小二乘原理，通過引入約束條件（平差方程），使改正數(shù)平方和最小。其未知量是觀測(cè)值的平差值，參數(shù)是引入的虛擬未知量。適用于直接平差。參數(shù)平差法：直接將未知量（參數(shù)）作為平差對(duì)象，建立誤差方程，使參數(shù)的加權(quán)平方和最小。適用于間接平差和附有參數(shù)的條件平差。直接對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。4.在水準(zhǔn)測(cè)量平差中，通常會(huì)遇到哪幾種類型的幾何條件方程？請(qǐng)分別說明。通常遇到的幾何條件方程有：①鉛垂線條件（閉合差條件）：對(duì)于閉合水準(zhǔn)路線，高差和為零；對(duì)于附合水準(zhǔn)路線，起訖點(diǎn)高差等于已知高差；對(duì)于支水準(zhǔn)路線，無幾何條件。②水平條件（方位角條件）：用于邊角測(cè)量平差，所有待定點(diǎn)連接構(gòu)成的閉合多邊形內(nèi)角和應(yīng)為（n-2）*180°。在純水準(zhǔn)測(cè)量中通常不涉及此條件。③距離條件（在三角高程測(cè)量中可能出現(xiàn)）：當(dāng)采用三角高程測(cè)量且無法精確測(cè)定儀器高、目標(biāo)高或地球曲率、大氣折光改正時(shí)，可能引入距離觀測(cè)，形成距離條件。二、計(jì)算題（共60分）1.（10分）解：1.求觀測(cè)值的平均值：x?=(10.1+10.3+10.2+10.4)/4=10.25mm2.求觀測(cè)值的改正數(shù)：v_i=L_i-x?(i=1,2,3,4)v_1=10.1-10.25=-0.15mmv_2=10.3-10.25=+0.05mmv_3=10.2-10.25=-0.05mmv_4=10.4-10.25=+0.15mm3.檢核改正數(shù)和：∑v_i=-0.15+0.05-0.05+0.15=0（符合最小二乘原理要求）4.求平差值：x?=x?=10.25mm5.計(jì)算觀測(cè)值中誤差：m=sqrt[∑(v_i^2)/(n-1)]=sqrt[(-0.15)^2+(0.05)^2+(-0.05)^2+(0.15)^2/(4-1)]=sqrt[0.005/3]=sqrt(0.001666...)≈0.0408mm6.計(jì)算單位權(quán)中誤差：σ?=m/sqrt[1/(n-1)]=0.0408/sqrt[1/3]=0.0408*sqrt(3)≈0.0706mm7.計(jì)算平差值中誤差：σ_?=σ?*sqrt[1/n]=0.0706*sqrt[1/4]=0.0706*0.5=0.0353mm答：平差值x?=10.25mm，平差值中誤差σ_?≈0.0353mm。2.（15分）解：1.設(shè)高差平差值為h?，引入一個(gè)約束條件：h?=h1+h2+h3（因?yàn)閔1,h2,h3的測(cè)站數(shù)和為n1+n2+n3=12，若視為一個(gè)整體閉合差，則此條件為0）2.寫出觀測(cè)值方程：L_i=h?+a_i(i=1,2,3)，其中a_i為常數(shù)項(xiàng)（即各觀測(cè)值本身）L1=h?+1.532L2=h?+1.535L3=h?+1.5343.寫出條件方程：w_L=∑a_i*L_i-[∑a_i*h?]=0w_L=(1.532+1.535+1.534)-3h?=0=>w_L=4.601-3h?=04.計(jì)算系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：A=[a_i]=[1,1,1],W=[w_L]=[0],h?=[h?]5.計(jì)算改正數(shù)方程系數(shù)陣和常數(shù)向量：B?B=12+12+12=3,B?L=1*1.532+1*1.535+1*1.534=4.6016.組成法方程：B?B*h?=B?L=>3h?=4.601=>h?=4.601/3=1.5333...m7.計(jì)算平差值：h?=1.5333...m8.計(jì)算改正數(shù)：v_i=L_i-h?=a_i*v?v_1=1.532-1.5333...=-0.0013mv_2=1.535-1.5333...=+0.0017mv_3=1.534-1.5333...=+0.0007m9.檢核改正數(shù)和：∑v_i=-0.0013+0.0017+0.0007=0（符合）10.計(jì)算單位權(quán)中誤差：σ?=sqrt[∑(v_i2)/(r-1)]=sqrt[(-0.0013)2+(0.0017)2+(0.0007)2/(3-1)]=sqrt[0.00000391/2]=sqrt(0.000001955...)≈0.0014mm11.計(jì)算平差值中誤差：σ_h?=σ?*sqrt[1/n]=0.0014*sqrt[1/3]=0.0014/1.732...≈0.00081mm答：高差平差值h?≈1.5333m，單位權(quán)中誤差σ?≈0.0014mm。3.（15分）解：1.設(shè)待定點(diǎn)高程平差值為x??,x??,x??，真值為X?,X?,X?。已知A點(diǎn)高程X_A=0（假設(shè)），則X?=X_A+h?=0+h?,X?=X_A+h?=0+h?,X?=X_A+h?=0+h?。2.寫出誤差方程：V=AX+LV=[v?,v?,v?]?A=[[-1,0,0],[0,-1,0],[0,0,-1]]（參數(shù)為三個(gè)待定點(diǎn)高程）X=[[x??],[x??],[x??]]?L=[L?-X?,L?-X?,L?-X?]?=[L?-(h?),L?-(h?),L?-(h?)]?=[-0.018,-0.0316,0.0184]?V=A[X]-Lv?=-x??+h?-(-0.018)=-x??+1.532+0.018=-x??+1.550v?=-x??+h?-(-0.0316)=-x??+1.535+0.0316=-x??+1.5666v?=-x??+h?-(-0.0184)=-x??+1.848+0.0184=-x??+1.86643.寫出參數(shù)方程：X=AX?+LX=[[X?],[X?],[X?]]?=[[x??],[x??],[x??]]?+[[h?],[h?],[h?]]?=X?+HH=[[h?],[h?],[h?]]?=[[1.532],[1.535],[1.848]]?4.計(jì)算參數(shù)協(xié)方差陣：C_XX=σ?2*(B?PB)?1=σ?2*[1/4+1/3+1/2]?1=σ?2*[11/12]?1=(12/11)*σ?25.計(jì)算參數(shù)中誤差：σ_x??=sqrt[diag(C_XX)]=sqrt[12/11*σ?2]=sqrt(12/11)*σ?=sqrt(1.0909...)*σ?≈1.044*σ?6.計(jì)算單位權(quán)中誤差：σ?=sqrt[∑(v_i2)/(n-1)]=sqrt[(-0.015)2+(-0.0066)2+(0.0156)2/(3-1)]=sqrt[(0.000225+0.00004356+0.00024336)/2]=sqrt(0.00050292/2)=sqrt(0.00025146...)≈0.0159m7.計(jì)算參數(shù)中誤差：σ_x??≈1.044*0.0159≈0.0167m,σ_x??≈1.044*0.0159≈0.0167m,σ_x??≈1.044*0.0159≈0.0167m答：B,C,D'三點(diǎn)坐標(biāo)平差值分別為x??=1.535m,x??=1.848m,x??=0m（基于假設(shè)），精度均為σ_x??≈0.0167m。4.（20分）解：1.設(shè)角度平差值為x??,x??,x??，引入?yún)?shù)：d?=x??-60°00′00″,d?=x??-59°40′15″,d?=x??-60°00′00″。則x??=60°00′00″+d?,x??=59°40′15″+d?,x??=60°00′00″+d?。2.寫出觀測(cè)值方程：L_i=x??+a_i*d(i=1,2,3)L?=60°20′30″=(60+20/60+30/3600)π=(60.3344...)πL?=59°40′15″=(59+40/60+15/3600)π=(59.6672...)πL?=60°00′15″=(60+0/60+15/3600)π=(60.0042...)πa?=1,a?=1,a?=-1（d?,d?,d?的系數(shù)）V=[v?,v?,v?]?=[L?-x??,L?-x??,L?-x??]?=[L?-(60+20/60+30/3600)π-d?,L?-(59+40/60+15/3600)π-d?,L?-(60+0/60+15/3600)π+d?]?3.計(jì)算常數(shù)項(xiàng)：L=[L?,L?,L?]?=[(60.3344...)π,(59.6672...)π,(60.0042...)π]?A=[[1,0,0],[1,1,0],[0,-1,1]]4.計(jì)算改正數(shù)方程系數(shù)陣：B=A?=[[1,1,0],[0,1,-1],[0,0,1]]5.寫出誤差方程：V=B[d]-Lv?=1*d?+0*d?+0*d?-L?=d?-(60.3344...)πv?=1*d?+1*d?+0*d?-L?=d?+d?-(59.6672...)πv?=0*d?-1*d?+1*d?+L?=-d?+d?+(60.0042...)π6.寫出參數(shù)方程：X=AX?+LX=[x??,x??,x??]?=[[60.3344...]π,[59.6672...]π,[60.0042...]π]?+[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]*[d?,d?,d?]?=X?+B[d]X?=[[60.3344...]π,[59.6672...]π,[60.0042...]π]?7.計(jì)算法方程系數(shù)陣：B?B=[[1,1,0],[0,1,-1],[0,0,1]]?*[[1,1,0],[0,1,-1],[0,0,1]]=[[1,1,0],[1,1,-1],[0,-1,1]]B?L=[[1,1,0],[0,1,-1],[0,0,1]]?*[(60.3344...)π,(59.6672...)π,(60.0042...)π]?=[(120.0016...)π,(-0.666...)π,(60.0042...)π]8.組成法方程：B?B*[d?,d?,d?]?=B?L[1,1,0][d?][(120.0016...)π][1,1,-1]*[d?]=[-0.666...]π[0,-1,1][d?][(60.0042...)π]=>d?+d?=(120.0016...)π=>d?+d?-d?=-0.666...π=>-d?+d?=(60.0042...)π9.解算法方程：由第一式得d?=(120.0016...)π-d?代入第二式：d?+(120.0016...)π-d?-d?=-0.666...π=>(120.0016...)π-d?=-0.666...π=>d?=(120.0016+0.666...)π=(120.668...)π代入第三式：-((120.0016...)π-d?)+d?=(60.0042...)π=>-120.0016π+d?+120.668π=60.0042π=>d?=(120.0016+120.668-60.0042)π=(180.6654...)πd?=(120.0016...)π-(180.6654...)π=(-60.6638...)π（注：π值取到足夠精度，如π=3.141592653589793）10.計(jì)算參數(shù)估值：d?=[d??,d??,d??]?=[(-60.6638...)π,(180.6654...)π,(120.668...)π]?11.計(jì)算角度平差值：x??=x???+d??x??=60°00′00″+(-60.6638...)π≈60°00′00″-190.0000″=59°59′20″x??=59°40′15″+(180.6654...)π≈59°40′15″+565.9999″=60°05′14″x??=60°00′00″+(120.668...)π≈60°00′00″+377.9989″=97°37′58″12.計(jì)算單位權(quán)中誤差：σ?=sqrt[∑(v_i2)/(r-1)]v_i=L_i-x??=L_i-(x???+d??)=L_i-x???-d??v?=(60.3344...)π-(60+20/60+30/3600)π-(-60.6638...)π=(-60.6638...)π+60.6638π=0″(計(jì)算中可能因π值精度引入微小舍入誤差，此處假設(shè)完全消除)v?=(59.6672...)π-(59+40/60+15/3600)π-(180.6654...)π=(-180.6654...)π+180.6654π=0″v?=(60.0042...)π-(60+0/60+15/3600)π-(120.668...)π=(-120.668...)π+120.668π=0″∑v_i2=02+02+02=0σ?=sqrt[0/(3-1)]=0（理論上此題因誤差方程線性相關(guān)，自由度r-1=0，導(dǎo)致單位權(quán)中誤差無法按此法定義，通常需檢查誤差方程或引入虛擬誤差）（更合理的做法是檢查原始觀測(cè)值與平差值的差，或假設(shè)存在微小殘差）假設(shè)因計(jì)算或模型誤差存在微小非零殘差，如v?≈±1″，v?≈±1″，v?≈±1″，則：σ?=sqrt[∑(v_i2)/(r-1)]=sqrt[(12+12+12)/(3-1)]=sqrt[3/2]≈1.2247*σ_ε(其中σ_ε為角度觀測(cè)中誤差)σ_ε=5″，則σ?≈1.2247*5″≈6.12″這里按理想情況計(jì)算結(jié)果為0，但實(shí)際應(yīng)用中需檢查。13.計(jì)算角度平差值中誤差：σ_??=σ?/sqrt[c?]（此處c?為參數(shù)d?對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值方程中常數(shù)項(xiàng)的平方和的倒數(shù)，即權(quán)倒數(shù)）c?=12+12=2,c?=12+(-1)2=2,c?=(-1)2+12=2σ_??=σ?/sqrt[1/2]=σ?*sqrt[2]σ_??=σ?/sqrt[1/2]=σ?*sqrt[2]σ_??=σ?/sqrt[1/2]=σ?*sqrt[2]若按理想情況σ?=0，則無法計(jì)算；若按上述假設(shè)σ?≈6.12″，則：σ_??≈6.12*sqrt[2]≈8.66″,σ_??≈6.12*sqrt[2]≈8.66″,σ_??≈6.12*sqrt[2]≈8.66″答：角度平差值x??≈59°59′20″,x??≈60°05′14″,x??≈97°37′58″。精度分析因計(jì)算結(jié)果為零而需檢核，若假設(shè)微小殘差，則平差值中誤差約為8.66″。三、綜合應(yīng)用題（共20分）解：1.建立誤差方程：設(shè)A,B,C,D'四點(diǎn)坐標(biāo)平差值為X??=(x?,y?),X??=(x?,y?),X??=(x?,y?),X??=(x?,y?)。已知A點(diǎn)坐標(biāo)X_A=(100.00,200.00)。設(shè)坐標(biāo)觀測(cè)值為L_i，觀測(cè)方程為L_i=X??+a_i*X+b_i*Y+H_i(i=1,2,3,4)。由于僅給角度觀測(cè)，可設(shè)X??=(x??,y??)?，誤差方程為V=AX+L。L=[L_∠A,L_∠B,L_∠C,L_∠D]?=[90°00′00″,60°30′15″,120°00′00″,90°30′00″]?A=[[a?,b?],[a?,b?],[a?,b?],[a?,b?]]?X=[x??,y??,x??,y??,x??,y??,x??,y??]?H=[H?,H?,H?,H?]?=[100.00,200.00,80.00,70.00,60.00,90.00]?(距離觀測(cè)值)a_i,b_i為坐標(biāo)觀測(cè)方程的系數(shù)，需根據(jù)角度觀測(cè)值與坐標(biāo)方位角關(guān)系推導(dǎo)。以∠A=90°00′00″為例，即∠BAD=90°，即坐標(biāo)方位角α_B-α_A=90°。α_A=arctan((y_A-y?)/(x_A-x?))=arctan((200-0)/(100-0))=arctan(2)。α_B=arctan((y_B-y?)/(x_B-x?))=arctan((y?-0)/(x?-0))。所以a?=cos(α_A),b?=sin(α_A)=1/√5,a?=cos(α_B),b?=sin(α_B)。α_C=α_B+∠B=α_B+60°30′15″。α_D=α_C+∠C=α_C+120°00′00″。以此類推，a?,b?,a?,b?需根據(jù)α_C,α_D計(jì)算。a?=cos(arctan(2))=1/√5,b?=sin(arctan(2))=2/√5a?=cos(arctan(2)+90°30′00″)=cos(90°+30′+0″)=-sin(30′)=-1/2*cos(30′)≈-0.8660*0.9848≈-0.8578b?=sin(arctan(2)+90°30′00″)=sin(90°+30′+0″)=cos(30′)≈0.9848*0.9848≈0.9704a?=cos(arctan(2)+90°30′+120°00′)=cos(210°30′)=cos(210.5°)≈-0.8660b?=sin(arctan(2)+90°30′+120°00′)=sin(210°30′)=sin(210.5°)≈-0.5000a?=cos(arctan(2)+90°30′+120°00′+90°00′)=cos(300°30′)=cos(300.5°)≈0.5000b?=sin(arctan(2)+90°30′+120°00′+90°00′)=sin(300°30′)=sin(300.5°)≈-0.8660A=[[1/√5,2/√5],[-0.8578,0.9704],[-0.8660,-0.5000],[0.5000,-0.8660]]L=[0,60.5042...π,120.0000π,90.5000π]?(π取值同前)H=[100.00,200.00,80.00,70.00,60.00,90.00]?V=A[X]-L2.計(jì)算參數(shù)協(xié)方差陣：C_XX=σ?2*(A?PA)?1=σ?2*[(A?PA)?1]。需計(jì)算A?PA。由于題目未給角度觀測(cè)中誤差m_∠，假設(shè)其與距離觀測(cè)中誤差m_D相關(guān)，如m_∠=k*m_D。假設(shè)m_D=0.01m，k=500（即角度中誤差約等于5″）。則權(quán)矩陣P=diag[1/m_∠2]=diag[1/(k*m_D)2]=diag[1/(500*0.01)2]=diag[1/0.25]=[4,4,4,4,4,4,4,4]??。則A?PA=A?P2A。A?P2A=[[1/√5,2/√5],[-0.8578,0.9704],[-0.8660,-0.5000],[0.5000,-0.8660]]?*diag[4,4,4,4,4,4,4,4]*[[1/√5,2/√5],[-0.8578,0.9704],[-0.8660,-0.5000],[0.5000,-0.8660]]計(jì)算過程略（涉及大量矩陣乘法），最終得到(A?P2A)?1。C_XX=σ?2*(A?P2A)?13.計(jì)算單位權(quán)中誤差：σ?=sqrt[∑(v_i2)/(r-1)]，其中v_i=L_i-x??+a_i*d，d=[d?,d?,...,d?]?為參數(shù)估值。r=tr(A?P2A)=∑(a?2*p?)=8*m_∠2/(k*m_D)2=8*(500*0.01)2/(500*0.01)2=8。r-1=7。需要計(jì)算參數(shù)估值d?=(A?P2A)?1*A?PL。L=AL?+H。L?為常數(shù)項(xiàng)向量，H為已知距離觀測(cè)值向量。最終計(jì)算σ?=sqrt[∑(v_i2)/7]=sqrt[∑(L_i-x??+a_i*d?)2/7]。4.計(jì)算坐標(biāo)平差值：x??=X?+H+[d?]?。X?為坐標(biāo)觀測(cè)值向量，H為已知距離觀測(cè)值向量，d?為參數(shù)估值向量。計(jì)算得到B,C,D'三點(diǎn)坐標(biāo)平差值分別