2025年上學(xué)期高一數(shù)學(xué)向量與復(fù)數(shù)綜合壓軸題專練一、向量與復(fù)數(shù)基礎(chǔ)綜合題型（一）向量線性運(yùn)算與復(fù)數(shù)幾何意義的結(jié)合在平面直角坐標(biāo)系中，已知復(fù)數(shù)(z=a+bi)（(a,b\in\mathbb{R})）對(duì)應(yīng)的向量為(\overrightarrow{OZ}=(a,b))，這一對(duì)應(yīng)關(guān)系是解決綜合題的重要橋梁。例如，若復(fù)數(shù)(z_1=3+4i)，(z_2=-1+2i)，則向量(\overrightarrow{OZ_1}+\overrightarrow{OZ_2})對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(z_1+z_2=2+6i)，其模長(zhǎng)為(\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10})。此類問題常結(jié)合向量的線性運(yùn)算考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，需注意向量坐標(biāo)與復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的對(duì)應(yīng)關(guān)系。（二）向量數(shù)量積與復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的綜合應(yīng)用已知向量(\vec{a}=(x_1,y_1))，(\vec=(x_2,y_2))，其數(shù)量積(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2)，而復(fù)數(shù)(z=x+yi)的模長(zhǎng)(|z|=\sqrt{x^2+y^2})，兩者在形式上具有相似性。例如，若向量(\vec{a})對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)(z_1)，向量(\vec)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)(z_2)，則(\vec{a}\cdot\vec=\text{Re}(z_1\cdot\overline{z_2}))，其中(\overline{z_2})為(z_2)的共軛復(fù)數(shù)。利用這一關(guān)系可解決以下問題：已知(z_1=1+i)，(z_2=2-3i)，求向量(\overrightarrow{OZ_1})與(\overrightarrow{OZ_2})的夾角余弦值。先計(jì)算(z_1\cdot\overline{z_2}=(1+i)(2+3i)=-1+5i)，其實(shí)部為(-1)，則(\cos\theta=\frac{-1}{|z_1||z_2|}=\frac{-1}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{13}}=-\frac{\sqrt{26}}{26})。二、向量與復(fù)數(shù)的幾何綜合題型（一）三角形四心與向量的結(jié)合三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心的向量表達(dá)式是高考?？純?nèi)容。設(shè)(O)為(\triangleABC)所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\vec{0})，則(O)為重心；若(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OA})，則(O)為垂心。例如，在邊長(zhǎng)為2的正三角形(ABC)中，(D)為(BC)中點(diǎn)，(G)為重心，求(|\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}|)。以(D)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，(B(-1,0))，(C(1,0))，(A(0,\sqrt{3}))，則(G(0,\frac{\sqrt{3}}{3}))，(\overrightarrow{AG}=(0,-\frac{2\sqrt{3}}{3}))，(\overrightarrow{BG}=(1,\frac{\sqrt{3}}{3}))，(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}=(1,-\frac{\sqrt{3}}{3}))，模長(zhǎng)為(\sqrt{1+\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3})。（二）復(fù)數(shù)的軌跡問題復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡可轉(zhuǎn)化為解析幾何問題。例如，滿足(|z-(1+i)|=2)的復(fù)數(shù)(z)的軌跡是以((1,1))為圓心，2為半徑的圓。結(jié)合向量知識(shí)可進(jìn)一步拓展：已知復(fù)數(shù)(z)對(duì)應(yīng)點(diǎn)(Z)，向量(\overrightarrow{OZ})與向量((1,2))的數(shù)量積為5，求(|z|)的最小值。設(shè)(z=x+yi)，則(x+2y=5)，(|z|=\sqrt{x^2+y^2})，即求直線(x+2y=5)上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得(|z|_{\text{min}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5})。三、向量與復(fù)數(shù)的動(dòng)態(tài)綜合題型（一）運(yùn)動(dòng)軌跡中的向量運(yùn)算在動(dòng)態(tài)問題中，向量的線性運(yùn)算與復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)最值結(jié)合緊密。例如，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(P)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)(Q)滿足(\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+(1,0))，求復(fù)數(shù)(z_Q)（對(duì)應(yīng)點(diǎn)(Q)）的模長(zhǎng)取值范圍。設(shè)(z_P=\cos\theta+i\sin\theta)，則(z_Q=z_P+1=(\cos\theta+1)+i\sin\theta)，(|z_Q|=\sqrt{(\cos\theta+1)^2+\sin^2\theta}=\sqrt{2+2\cos\theta})，取值范圍為([0,2])。（二）復(fù)數(shù)的旋轉(zhuǎn)與向量的旋轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)的乘法幾何意義為模長(zhǎng)相乘、輻角相加，對(duì)應(yīng)向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮。例如，將向量(\overrightarrow{OA})（對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)(z=1+\sqrt{3}i)）繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(60^\circ)，得到向量(\overrightarrow{OB})，求(B)點(diǎn)坐標(biāo)。(z)的輻角為(60^\circ)，模長(zhǎng)為2，旋轉(zhuǎn)后復(fù)數(shù)為(z\cdot(\cos60^\circ+i\sin60^\circ)=2(\cos120^\circ+i\sin120^\circ)=-1+\sqrt{3}i)，故(B(-1,\sqrt{3}))。四、綜合壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練（一）綜合題1：三角形中的向量與復(fù)數(shù)綜合題目：在(\triangleABC)中，(AB=2)，(AC=3)，(\angleBAC=60^\circ)，點(diǎn)(D)在(BC)邊上，且(BD=2DC)。以(A)為原點(diǎn)，(AB)所在直線為實(shí)軸建立復(fù)平面，求：（1）向量(\overrightarrow{AD})對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；（2）(|\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}|)；（3）若復(fù)數(shù)(z)滿足(|z-\overrightarrow{AD}|=1)，求(|z|)的最大值。解答：（1）由余弦定理得(BC^2=2^2+3^2-2\times2\times3\times\cos60^\circ=7)，(BC=\sqrt{7})。以(A)為原點(diǎn)，(AB)為(x)軸，(A(0,0))，(B(2,0))，(C(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}))。(D)分(BC)為(BD:DC=2:1)，則(D(\frac{2\times\frac{3}{2}+1\times2}{3},\frac{2\times\frac{3\sqrt{3}}{2}+1\times0}{3})=(\frac{5}{3},\sqrt{3}))，故(\overrightarrow{AD})對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)(\frac{5}{3}+\sqrt{3}i)。（2）(\overrightarrow{AB}=(2,0))，(\overrightarrow{AC}=(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}))，(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}=(5,3\sqrt{3}))，模長(zhǎng)為(\sqrt{25+27}=\sqrt{52}=2\sqrt{13})。（3）(|z-(\frac{5}{3}+\sqrt{3}i)|=1)表示以((\frac{5}{3},\sqrt{3}))為圓心，1為半徑的圓，(|z|)最大值為圓心到原點(diǎn)距離加半徑，即(\sqrt{(\frac{5}{3})^2+(\sqrt{3})^2}+1=\sqrt{\frac{25}{9}+3}+1=\frac{\sqrt{52}}{3}+1=\frac{2\sqrt{13}}{3}+1)。（二）綜合題2：復(fù)數(shù)與向量的最值問題題目：已知復(fù)數(shù)(z_1=1+i)，(z_2=3-i)，點(diǎn)(P)滿足(|z-z_1|+|z-z_2|=6)，復(fù)數(shù)(z)對(duì)應(yīng)向量(\overrightarrow{OP})，求(\overrightarrow{OP}\cdot(1,1))的最大值。解答：由橢圓定義知，點(diǎn)(P)的軌跡是以(Z_1(1,1))，(Z_2(3,-1))為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)6的橢圓。橢圓方程為(\frac{(x-2)^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1)（計(jì)算過程：(2a=6)，(a=3)，(c=\sqrt{(3-1)^2+(-1-1)^2}=2\sqrt{2})，(b^2=a^2-c^2=1)，此處原計(jì)算有誤，修正后(c=\sqrt{(3-1)^2+(-1-1)^2}=2\sqrt{2})，(b^2=9-8=1)，中心為((2,0))）。設(shè)(P(x,y))，(\overrightarrow{OP}\cdot(1,1)=x+y)，令(x+y=t)，當(dāng)直線(x+y=t)與橢圓相切時(shí)，(t)取最值。聯(lián)立方程得(17x^2-(36+2t)x+t^2+8=0)，由(\Delta=0)解得(t=2\pm3\sqrt{2})，故最大值為(2+3\sqrt{2})。（三）綜合題3：新定義下的向量與復(fù)數(shù)題目：定義復(fù)數(shù)的“向量積”：對(duì)于復(fù)數(shù)(z_1=a+bi)，(z_2=c+di)，定義(z_1\otimesz_2=(ac-bd)+(ad+bc)i)（即對(duì)應(yīng)向量的數(shù)量積與向量積的組合）。若(z_1=1+i)，(z_2=x+yi)，且(z_1\otimesz_2=4+2i)，求(|z_2|)的最小值。解答：根據(jù)定義得((x-y)+(x+y)i=4+2i)，故(\begin{cases}x-y=4\x+y=2\end{cases})，解得(x=3)，(y=-1)，此時(shí)(z_2=3-i)，(|z_2|=\sqrt{10})。（注：此處題目條件是否為“向量積”需確認(rèn)，若為新定義運(yùn)算，則按給定規(guī)則計(jì)算）五、解題方法總結(jié)與拓展（一）坐標(biāo)法的應(yīng)用建立坐標(biāo)系將向量與復(fù)數(shù)問題代數(shù)化，適用于幾何圖形規(guī)則的題目。例如，涉及矩形、正方形、正三角形等背景時(shí)，優(yōu)先考慮坐標(biāo)法，可簡(jiǎn)化向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積計(jì)算。（二）幾何意義的轉(zhuǎn)化利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)表示距離、輻角表示方向，將代數(shù)問題幾何化。例如，求(|z-1|+|z+2i|)的最小值，轉(zhuǎn)化為復(fù)平面上點(diǎn)(Z)到點(diǎn)((1,0))和((0,-2))的距離之和，最小值為兩點(diǎn)間距離(\sqrt{5})。（三）參數(shù)方程的引入對(duì)于動(dòng)態(tài)問題，引入?yún)?shù)（如