2025年高一物理上學(xué)期復(fù)習(xí)卷三（萬有引力、機械能）一、萬有引力模塊1.知識點梳理（1）開普勒行星運動定律開普勒第一定律（軌道定律）：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。對衛(wèi)星繞行星的運動同樣適用，行星處在橢圓的一個焦點。開普勒第二定律（面積定律）：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。推論：行星在近日點的速率大于遠日點的速率，衛(wèi)星在近地點的速率大于遠日點的速率。開普勒第三定律（周期定律）：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，即(\frac{a^3}{T^2}=k)，其中(k)是一個與行星無關(guān)、僅由中心天體質(zhì)量決定的常量。當(dāng)軌道為圓時，半長軸(a)可替換為軌道半徑(r)。（2）萬有引力定律內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量(m_1)和(m_2)的乘積成正比，與它們之間距離(r)的二次方成反比。公式：(F=G\frac{m_1m_2}{r^2})，其中引力常量(G=6.67\times10^{-11},\text{N·m}^2/\text{kg}^2)，由卡文迪許通過扭秤實驗測得。適用條件：適用于質(zhì)點間的相互作用。對于質(zhì)量分布均勻的球體，公式中的(r)為兩球心之間的距離。對于一個質(zhì)量分布均勻的球體與球外一個質(zhì)點，(r)為球心到質(zhì)點的距離。（3）萬有引力的應(yīng)用天體質(zhì)量與密度的計算：已知環(huán)繞天體的軌道半徑(r)和周期(T)，由萬有引力提供向心力得(G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4\pi^2r}{T^2})，解得中心天體質(zhì)量(M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2})。若環(huán)繞天體貼近中心天體表面運行（(r\approxR)，(R)為中心天體半徑），則中心天體密度(\rho=\frac{M}{V}=\frac{3\pi}{GT^2})（(V=\frac{4}{3}\piR^3)）。黃金代換式：在地球表面，忽略地球自轉(zhuǎn)時，物體所受重力近似等于萬有引力，即(mg=G\frac{Mm}{R^2})，可得(GM=gR^2)（(g)為地球表面重力加速度，(R)為地球半徑）。該式可將“天上”的天體運動與“地上”的重力問題聯(lián)系起來。宇宙速度：第一宇宙速度（環(huán)繞速度）：物體在地球表面附近繞地球做勻速圓周運動的速度，(v_1=\sqrt{\frac{GM}{R}}=\sqrt{gR}\approx7.9,\text{km/s})，是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，也是最大環(huán)繞速度。第二宇宙速度（脫離速度）：使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度，(v_2=11.2,\text{km/s})。第三宇宙速度（逃逸速度）：使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，(v_3=16.7,\text{km/s})。2.公式推導(dǎo)（1）萬有引力定律的推導(dǎo)（基于開普勒定律）設(shè)行星質(zhì)量為(m)，太陽質(zhì)量為(M)，行星繞太陽做勻速圓周運動，軌道半徑為(r)，周期為(T)。行星做圓周運動的向心力(F=m\frac{v^2}{r})，線速度(v=\frac{2\pir}{T})，代入得(F=m\frac{4\pi^2r}{T^2})。由開普勒第三定律(\frac{r^3}{T^2}=k)（(k)為常量），得(T^2=\frac{r^3}{k})，代入上式得(F=m\frac{4\pi^2k}{r^2})，即(F\propto\frac{m}{r^2})。由牛頓第三定律，太陽對行星的引力與行星對太陽的引力大小相等、方向相反，故(F\propto\frac{Mm}{r^2})，寫成等式即為(F=G\frac{Mm}{r^2})。（2）第一宇宙速度的推導(dǎo)人造衛(wèi)星在地球表面附近繞地球做勻速圓周運動，軌道半徑(r\approxR)（地球半徑），萬有引力提供向心力：(G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{v^2}{R})，解得(v=\sqrt{\frac{GM}{R}})。由黃金代換式(GM=gR^2)，代入得(v=\sqrt{gR})，代入(g=9.8,\text{m/s}^2)，(R=6.4\times10^6,\text{m})，得(v\approx7.9,\text{km/s})。3.典型例題解析例題1：天體質(zhì)量與密度的計算題目：某行星有一顆近地衛(wèi)星，已知衛(wèi)星繞行星運行的周期為(T=5.6\times10^3,\text{s})，行星半徑(R=6.4\times10^6,\text{m})，引力常量(G=6.67\times10^{-11},\text{N·m}^2/\text{kg}^2)，求該行星的質(zhì)量和密度。解析：近地衛(wèi)星的軌道半徑(r\approxR)，由萬有引力提供向心力得：(G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{4\pi^2R}{T^2})解得行星質(zhì)量：(M=\frac{4\pi^2R^3}{GT^2}=\frac{4\times(3.14)^2\times(6.4\times10^6)^3}{6.67\times10^{-11}\times(5.6\times10^3)^2}\approx6.0\times10^{24},\text{kg})行星體積(V=\frac{4}{3}\piR^3)，密度：(\rho=\frac{M}{V}=\frac{3\pi}{GT^2}=\frac{3\times3.14}{6.67\times10^{-11}\times(5.6\times10^3)^2}\approx5.5\times10^3,\text{kg/m}^3)答案：行星質(zhì)量約為(6.0\times10^{24},\text{kg})，密度約為(5.5\times10^3,\text{kg/m}^3)。例題2：衛(wèi)星運動參量的比較題目：兩顆人造衛(wèi)星(A)、(B)繞地球做勻速圓周運動，軌道半徑(r_A=2r_B)，求兩顆衛(wèi)星的線速度、角速度、周期之比。解析：衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，即(G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r=m\frac{4\pi^2r}{T^2})。線速度(v=\sqrt{\frac{GM}{r}})，則(\frac{v_A}{v_B}=\sqrt{\frac{r_B}{r_A}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}})；角速度(\omega=\sqrt{\frac{GM}{r^3}})，則(\frac{\omega_A}{\omega_B}=\sqrt{\frac{r_B^3}{r_A^3}}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^3}=\frac{1}{2\sqrt{2}})；周期(T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}})，則(\frac{T_A}{T_B}=\sqrt{\frac{r_A^3}{r_B^3}}=\sqrt{2^3}=2\sqrt{2})。答案：線速度之比(1:\sqrt{2})，角速度之比(1:2\sqrt{2})，周期之比(2\sqrt{2}:1)。4.易錯點分析混淆軌道半徑與中心天體半徑：在計算天體運動時，(r)是衛(wèi)星軌道半徑（衛(wèi)星到中心天體球心的距離），而(R)是中心天體半徑，兩者關(guān)系為(r=R+h)（(h)為衛(wèi)星高度）。若忽略(h)（近地衛(wèi)星），可認為(r\approxR)，否則必須用(r=R+h)。忽略萬有引力定律的適用條件：對于質(zhì)量分布不均勻的物體或非球體，直接套用(F=G\frac{m_1m_2}{r^2})會導(dǎo)致錯誤。例如，計算“挖去一部分的球體對質(zhì)點的引力”時，需用“補償法”將非對稱問題轉(zhuǎn)化為對稱問題。黃金代換式的誤用：(GM=gR^2)僅適用于“地球表面”的重力加速度(g)和地球半徑(R)。若物體在距地面高度(h)處，重力加速度(g'=\frac{GM}{(R+h)^2}=g\left(\frac{R}{R+h}\right)^2)，不可直接用(g'=g)。宇宙速度的物理意義理解錯誤：第一宇宙速度是“最小發(fā)射速度”（若發(fā)射速度小于此值，衛(wèi)星無法繞地球運動），也是“最大環(huán)繞速度”（軌道半徑越大，環(huán)繞速度越?。?。例如，同步衛(wèi)星的軌道半徑大于地球半徑，其環(huán)繞速度小于7.9km/s。二、機械能模塊1.知識點梳理（1）功和功率功的定義：力對物體所做的功等于力的大小、位移的大小、力與位移夾角的余弦這三者的乘積。公式：(W=Fl\cos\alpha)（(\alpha)為力(F)與位移(l)的夾角）。當(dāng)(\alpha=0^\circ)時，(W=Fl)，力做正功；當(dāng)(90^\circ<\alpha\leq180^\circ)時，(W<0)，力做負功（或物體克服該力做功）；當(dāng)(\alpha=90^\circ)時，(W=0)，力不做功（如向心力、支持力）。功率：描述力對物體做功快慢的物理量。平均功率：(\overline{P}=\frac{W}{t}=F\overline{v}\cos\alpha)（(\overline{v})為平均速度）；瞬時功率：(P=Fv\cos\alpha)（(v)為瞬時速度，當(dāng)(\alpha=0^\circ)時，(P=Fv)）。機車啟動問題：恒定功率啟動：機車先做加速度減小的加速運動，當(dāng)牽引力(F=f)（阻力）時，速度達到最大(v_m=\frac{P}{f})，之后做勻速直線運動。恒定加速度啟動：機車先做勻加速直線運動（牽引力(F=ma+f)恒定），功率隨速度增大而增大，當(dāng)功率達到額定功率后，做加速度減小的加速運動，最終達到最大速度(v_m=\frac{P}{f})。（2）動能定理動能：物體由于運動而具有的能量，(E_k=\frac{1}{2}mv^2)，單位為焦耳（J），是標量。動能定理內(nèi)容：合外力對物體所做的功等于物體動能的變化量。公式：(W_{\text{合}}=\DeltaE_k=E_{k2}-E_{k1}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2)，其中(W_{\text{合}})為合外力做的總功（所有力做功的代數(shù)和）。適用范圍：適用于恒力做功和變力做功，適用于直線運動和曲線運動，適用于單個物體和物體系（需注意內(nèi)力是否做功）。（3）勢能與機械能守恒定律重力勢能：物體由于被舉高而具有的能量，(E_p=mgh)（(h)為物體相對于參考平面的高度），單位為焦耳（J），是標量，其大小與參考平面的選取有關(guān)，但重力勢能的變化量(\DeltaE_p=mg\Deltah)與參考平面無關(guān)。重力做功與重力勢能變化的關(guān)系：(W_G=-\DeltaE_p=E_{p1}-E_{p2})，即重力做正功，重力勢能減少；重力做負功，重力勢能增加。彈性勢能：物體由于發(fā)生彈性形變而具有的能量，對于彈簧，(E_p=\frac{1}{2}kx^2)（(k)為勁度系數(shù)，(x)為形變量），是標量，其大小與零勢能點（彈簧原長位置）的選取有關(guān)。機械能：動能和勢能（重力勢能、彈性勢能）的總和，(E=E_k+E_p)。機械能守恒定律：內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能與勢能可以相互轉(zhuǎn)化，而總的機械能保持不變。條件：只有重力或彈力做功（其他力不做功，或其他力做功的代數(shù)和為零）。公式：(E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2})（狀態(tài)式）或(\DeltaE_k=-\DeltaE_p)（增量式，動能的增加量等于勢能的減少量）。2.公式推導(dǎo)（1）動能定理的推導(dǎo)設(shè)物體質(zhì)量為(m)，在恒力(F)作用下做勻加速直線運動，加速度為(a)，位移為(l)，初速度為(v_1)，末速度為(v_2)。由牛頓第二定律得：(F=ma)由運動學(xué)公式得：(v_2^2-v_1^2=2al)，即(l=\frac{v_2^2-v_1^2}{2a})合外力做功：(W_{\text{合}}=Fl=ma\cdot\frac{v_2^2-v_1^2}{2a}=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2)即(W_{\text{合}}=\DeltaE_k)，動能定理得證。（2）機械能守恒定律的推導(dǎo)（以自由落體運動為例）設(shè)物體質(zhì)量為(m)，從高度(h_1)處自由下落，初速度(v_1)，下落到高度(h_2)處時速度為(v_2)，空氣阻力忽略不計。下落過程中，只有重力做功，由動能定理得：(W_G=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2)重力做功(W_G=mgh_1-mgh_2)聯(lián)立得：(mgh_1-mgh_2=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2)整理得：(\frac{1}{2}mv_1^2+mgh_1=\frac{1}{2}mv_2^2+mgh_2)，即(E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2})，機械能守恒定律得證。3.典型例題解析例題1：動能定理的應(yīng)用題目：質(zhì)量(m=2,\text{kg})的物體，在水平拉力(F=10,\text{N})作用下，從靜止開始沿粗糙水平面運動，物體與水平面間的動摩擦因數(shù)(\mu=0.2)，運動位移(l=5,\text{m})后，撤去拉力(F)，求物體還能滑行多遠？（(g=10,\text{m/s}^2)）解析：階段一（有拉力時）：物體受拉力(F)、摩擦力(f)、重力(mg)、支持力(N)，(N=mg)，(f=\muN=0.2\times2\times10=4,\text{N})。合外力(F_{\text{合}}=F-f=10-4=6,\text{N})，方向與位移同向，做正功(W_1=F_{\text{合}}l=6\times5=30,\text{J})。由動能定理得：(W_1=\frac{1}{2}mv^2-0)，解得撤去拉力時的速度(v=\sqrt{\frac{2W_1}{m}}=\sqrt{\frac{2\times30}{2}}=\sqrt{30},\text{m/s})。階段二（撤去拉力后）：物體僅受摩擦力(f)，做負功，設(shè)滑行距離為(x)。由動能定理得：(-fx=0-\frac{1}{2}mv^2)，即(x=\frac{mv^2}{2f}=\frac{2\times30}{2\times4}=7.5,\text{m})。答案：物體還能滑行(7.5,\text{m})。例題2：機械能守恒定律的應(yīng)用題目：如圖所示，質(zhì)量(m=1,\text{kg})的小球從光滑圓弧軌道頂端(A)點由靜止釋放，圓弧半徑(R=0.8,\text{m})，求小球運動到最低點(B)時的速度大小。（(g=10,\text{m/s}^2)）解析：小球在運動過程中，只有重力做功（支持力不做功），機械能守恒。取(B)點為重力勢能零參考平面，則(A)點重力勢能(E_{pA}=mgR)，動能(E_{kA}=0)；(B)點重力勢能(E_{pB}=0)，動能(E_{kB}=\frac{1}{2}mv^2)。由機械能守恒定律得：(E_{kA}+E_{pA}=E_{kB}+E_{pB})(0+mgR=\frac{1}{2}mv^2+0)解得：(v=\sqrt{2gR}=\sqrt{2\times10\times0.8}=\sqrt{16}=4,\text{m/s})。答案：小球運動到最低點(B)時的速度大小為(4,\text{m/s})。4.易錯點分析功的正負判斷錯誤：根據(jù)(W=Fl\cos\alpha)，當(dāng)(\alpha)為銳角時力做正功，鈍角時做負功。例如，摩擦力不一定做負功（如傳送帶帶動物體加速時，摩擦力對物體做正功）；重力對豎直上拋