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第一類曲線積分例題與習題第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質二、對弧長的曲線積分的計算法對弧長的曲線積分

第十一章2一、對弧長的曲線積分的概念與性質假設曲線形細長構件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”可得為計算此構件的質量,1.引例:

曲線形構件的質量采用3設

是空間中一條有限長的光滑曲線,義在

上的一個有界函數,都存在,

上對弧長的曲線積分,記作若通過對

的任意分割局部的任意取點,2.定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數，

稱為積分弧段.曲線形構件的質量和對4如果L是xOy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則記為則定義對弧長的曲線積分為思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例?否!對弧長的曲線積分要求ds0,但定積分中dx

可能為負.53.性質（

,

為常數)(

由組成)(l為曲線弧

的長度)6二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路:計算定積分轉化定理:且上的連續(xù)函數,是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分7說明:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計算公式相當于“換元法”.8大家有疑問的，可以詢問和交流可以互相討論下，但要小聲點9如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標形式:則推廣:

設空間曲線弧的參數方程為則10例1.

計算其中L是拋物線與點

B(1,1)之間的一段弧.解:上點O(0,0)11例2.計算半徑為R,中心角為的圓弧L對于它的對稱軸的轉動慣量I(設線密度

=1).解:

建立坐標系如圖,則12例3.計算其中L為雙紐線解:

在極坐標系下它在第一象限部分為利用對稱性,得13例4.計算曲線積分其中

為螺旋的一段弧.解:

線14例5.

計算其中

為球面被平面所截的圓周.解:由對稱性可知15例6.計算其中

為球面解:化為參數方程則16例7.有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對原點處單位質量質點的引力.17內容小結1.定義2.性質(l

曲線弧

的長度)183.計算?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧192.

設均勻螺旋形彈簧L的方程為(1)求它關于

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