重難點(diǎn)培優(yōu)08導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移、拐點(diǎn)偏移問(wèn)題目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u01知識(shí)重構(gòu)?重難梳理固根基 102題型精研?技巧通法提能力 5題型一極值點(diǎn)偏移方法之對(duì)稱構(gòu)造（★★★★★） 5題型二極值點(diǎn)偏移方法之比值代換（★★★★★） 5題型三極值點(diǎn)偏移方法之對(duì)數(shù)均值不等式（★★★★★） 5題型四極值點(diǎn)偏移:加法形式（★★★★★） 6題型五極值點(diǎn)偏移:減法形式（★★★★★） 7題型六極值點(diǎn)偏移:乘積形式（★★★★★） 7題型七極值點(diǎn)偏移:商式形式（★★★★★） 9題型八極值點(diǎn)偏移:平方形式（★★★★） 10題型九極值點(diǎn)偏移:其他形式（★★★★） 10題型十拐點(diǎn)偏移問(wèn)題（★★★） 1103實(shí)戰(zhàn)檢測(cè)?分層突破驗(yàn)成效 12檢測(cè)Ⅰ組重難知識(shí)鞏固 12檢測(cè)Ⅱ組創(chuàng)新能力提升 15一、極值點(diǎn)偏移問(wèn)題1、極值點(diǎn)偏移定義極值點(diǎn)偏移是函數(shù)在極值點(diǎn)左右的增減速度不一樣，導(dǎo)致函數(shù)的圖象不具有對(duì)稱性。例如我們學(xué)過(guò)的二次函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，也有對(duì)稱軸，但是有些函數(shù)沒(méi)有對(duì)稱軸，即關(guān)于類對(duì)稱軸對(duì)稱的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之和不等于對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)兩倍，我們把這種現(xiàn)象叫做極值點(diǎn)偏移2、極值點(diǎn)偏移的原理函數(shù)自身所導(dǎo)致的在極值點(diǎn)左右兩端增速不一樣3、極值點(diǎn)偏移的圖形定義①左右對(duì)稱，無(wú)偏移，如二次函數(shù)；若，則②左陡右緩，極值點(diǎn)向左偏移；若，則③左緩右陡，極值點(diǎn)向右偏移；若，則4、極值點(diǎn)偏移的判斷根據(jù)極值點(diǎn)偏移的定義可知：當(dāng)題干中出現(xiàn)等條件而求證不等式成立的時(shí)候，即可視為極值點(diǎn)偏移考察5、答題模板（對(duì)稱構(gòu)造）若已知函數(shù)滿足，為函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性并求出的極值點(diǎn)；假設(shè)此處在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）構(gòu)造；注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成的形式.（3）通過(guò)求導(dǎo)討論的單調(diào)性，判斷出在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出與的大小關(guān)系；假設(shè)此處在上單調(diào)遞增，那么我們便可得出，從而得到：時(shí)，.（4）不妨設(shè)，通過(guò)的單調(diào)性，，與的大小關(guān)系得出結(jié)論；接上述情況，由于時(shí)，且，，故，又因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，從而得到，從而得證.（5）若要證明，還需進(jìn)一步討論與的大小，得出所在的單調(diào)區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，從而結(jié)論得證.此處只需繼續(xù)證明：因?yàn)?，故，由于在上單調(diào)遞減，故.5、其他方法①比值代換比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個(gè)極值點(diǎn)的比值作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值(一般用表示)表示兩個(gè)極值點(diǎn)，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問(wèn)題求解．②對(duì)數(shù)均值不等式兩個(gè)正數(shù)和的對(duì)數(shù)平均定義：對(duì)數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：（此式記為對(duì)數(shù)平均不等式）取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．③指數(shù)不等式在對(duì)數(shù)均值不等式中，設(shè)，，則，根據(jù)對(duì)數(shù)均值不等式有如下關(guān)系：二、拐點(diǎn)偏移1、拐點(diǎn)偏移定義若函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)且二階可導(dǎo),且,則是函數(shù)的一個(gè)拐點(diǎn)。若,有,則拐點(diǎn)不偏移;若,有,則稱拐點(diǎn)右偏;若,有,則稱拐點(diǎn)左偏.2、一般方法解決此類問(wèn)題和極值點(diǎn)偏移類似,也相當(dāng)于是對(duì)稱化構(gòu)造,而且一階導(dǎo)極值點(diǎn)右偏(左偏)對(duì)應(yīng)拐點(diǎn)右偏(左偏),偏移方向是相同的,因此一般的解題步驟如下：（1）分析單調(diào)性,也就是分析（2）求解函數(shù)拐點(diǎn),即令求出拐點(diǎn)（3）構(gòu)造,證明或恒成立（4）得出結(jié)論題型一極值點(diǎn)偏移方法之對(duì)稱構(gòu)造1．已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.2．已知函數(shù)．(1)若，求的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．題型二極值點(diǎn)偏移方法之比值代換1．若是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，求證：且．2．（23-24高三上·河南·月考）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調(diào)性．(2)已知關(guān)于的方程恰有個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．題型三極值點(diǎn)偏移方法之對(duì)數(shù)均值不等式1．已知函數(shù)和，若存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，且，使得，，證明：．2．已知.(1)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的最小值.(2)當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.3．已知函數(shù).若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.題型四極值點(diǎn)偏移:加法形式1．設(shè)函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，且，求證：．2．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知函數(shù)，.(1)若對(duì)于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.3．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，且的最大值為，求證：．4．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：．5．（2025·陜西寶雞·二模）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)若時(shí)，恒成立，求的范圍；(3)若在內(nèi)有兩個(gè)不同零點(diǎn)、，求證：.6．已知函數(shù)且曲線在處切線也是曲線的切線．(1)求的值；(2)求證：；(3)若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，，與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，，求證：題型五極值點(diǎn)偏移:減法形式1．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)若，求證：．2．已知函數(shù)，（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為、且，求證：.3．（2024·河南南陽(yáng)·一模）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.(2)若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別是，且，證明：①隨著的增大而減?。虎?題型六極值點(diǎn)偏移:乘積形式1．（24-25高三上·湖南·月考）已知函數(shù)，.(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程.(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，．（i）證明：；（ii）證明：.2．已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．3．（23-24高三上·重慶渝中·期中）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)是減函數(shù)，求的取值范圍；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：．4．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，且，求證：．5．定義：若函數(shù)與在公共定義域內(nèi)存在，使得，則稱與為“契合函數(shù)”，為“契合點(diǎn)”．(1)若與為“契合函數(shù)”，且只有一個(gè)“契合點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(2)若與為“契合函數(shù)”，且有兩個(gè)不同的“契合點(diǎn)”．①求b的取值范圍；②證明：．6．（24-25高三上·江蘇宿遷·月考）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：；(3)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：．題型七極值點(diǎn)偏移:商式形式1．已知函數(shù)．(1)若是的極值點(diǎn)，求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，求證：恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，且（其中是的極值點(diǎn)）．2．已知函數(shù)，.(1)求證：，；(2)若存在、，且當(dāng)時(shí)，使得成立，求證：.3．（2024·天津·一模）設(shè)函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)（i）當(dāng)時(shí)，取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；（ii）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.4．已知函數(shù).(1)若方程有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：，且.5．（23-24高三下·四川成都·月考）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；（i）求的取值范圍；（ii）證明．題型八極值點(diǎn)偏移：平方形式1．（2024·吉林·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，的直角頂點(diǎn)在軸上，另一個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)圖象上(1)當(dāng)頂點(diǎn)在軸上方時(shí)，求以軸為旋轉(zhuǎn)軸，邊和邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體的體積的最大值；(2)已知函數(shù)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍;（ii）證明：.2．（23-24高三上·河南·月考）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.3．已知函數(shù)．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：．題型九極值點(diǎn)偏移：其他形式1．已知函數(shù)，.(1)討論f（x）的單調(diào)性；(2)若時(shí)，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若有不相等的兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，證明：.2．已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)記兩個(gè)極值點(diǎn)為，且.若，證明：.3．（2024·湖南邵陽(yáng)·一模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別記為.①求的取值范圍；②證明.4．（23-24高三上·重慶·月考）若函數(shù)在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的數(shù)，，同時(shí)滿足，且在點(diǎn)，處的切線斜率相同，則稱為“切合函數(shù)”.(1)證明：為“切合函數(shù)”；(2)若為“切合函數(shù)”（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），并設(shè)滿足條件的兩個(gè)數(shù)為，.（ⅰ）求證：；（ⅱ）求證：.題型十拐點(diǎn)偏移問(wèn)題1．已知函數(shù)若正實(shí)數(shù)滿足證明:2．已知函數(shù).(I)若為上的增函數(shù),求的取值范圍;(II)若,且,證明:.3．已知函數(shù)，．(1)若在處取得極值，求的值；(2)設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)，滿足，求證：．檢測(cè)Ⅰ組重難知識(shí)鞏固1．（2025·青海海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性．(2)假設(shè)存在正實(shí)數(shù)，滿足．（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）證明：．2．（24-25高三上·江蘇連云港·期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.3．已知函數(shù)．(1)若只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．4．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)．(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)若存在兩個(gè)不同的正數(shù)，使得，證明：．5．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，證明：當(dāng)時(shí)，；(3)如果，且，證明：．6．（23-24高三上·河南·月考）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)和的圖象都與平行于軸的同一條直線相切，求的值；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．7．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），且，，，證明：.8．（24-25高三上·山東濰坊·期末）已知函數(shù)，.(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，求的取值范圍；(3)若有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，，證明：.9．已知函數(shù)，．（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值；(2)已知，，且滿足，求證：．10．設(shè)函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，①求a的取值范圍；②證明：．11．（2024·湖北武漢·三模）已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，（?。┣髮?shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：．12．已知函數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)分別為.①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求證：.13．（23-24高三上·江蘇南通·月考）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：.14．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，證明：.15．（24-25高三上·重慶沙坪壩·月考）已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn).(1)求的取值范圍;(2)求證：.16．已知函數(shù)，.（1）若在處取得極值，求的值；（2）設(shè)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，若存在正實(shí)數(shù)滿足，求證：.檢測(cè)Ⅱ組創(chuàng)新能力提升1．（2024·陜西安康·二模）已知函數(shù)，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）(1)當(dāng)時(shí)，恰好存在一條過(guò)原點(diǎn)的直線與，都相切，求b的值；(2)若，方程有兩個(gè)根，（），求證：．2．（24-25高三下·河北保定·月考）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)