專(zhuān)題01認(rèn)識(shí)實(shí)數(shù)重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)+12大題型+3拓展訓(xùn)練+自我檢測(cè)）題型一無(wú)理數(shù)題型二無(wú)理數(shù)的大小估算題型三實(shí)數(shù)概念理解題型四實(shí)數(shù)的分類(lèi)題型五實(shí)數(shù)的性質(zhì)題型六實(shí)數(shù)與數(shù)軸題型七實(shí)數(shù)的大小比較題型八實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算題型九程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算題型十新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算題型十一實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際運(yùn)用題型十二與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題拓展訓(xùn)練一勾股定理與無(wú)理數(shù)拓展訓(xùn)練二無(wú)理數(shù)估算的幾何問(wèn)題拓展訓(xùn)練三實(shí)數(shù)的規(guī)律探究問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一、無(wú)理數(shù)1.無(wú)理數(shù)：無(wú)線(xiàn)不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)，但無(wú)限小數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)，只有無(wú)限不循環(huán)小數(shù)才是無(wú)理數(shù).2.常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)三種形式（1）開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)的方根，如等；（2）及化簡(jiǎn)后含的數(shù)，如，等；（3）看似循環(huán)實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如（兩個(gè)1之間一次多一個(gè)0）.3.任何一個(gè)有理數(shù)都能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式（整數(shù)可以看成分母是1的分?jǐn)?shù)），無(wú)理數(shù)不能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式.4.任何一個(gè)有理數(shù)都可以寫(xiě)成有限小數(shù)（把整數(shù)看成小數(shù)點(diǎn)后是0的小數(shù)）或無(wú)限循環(huán)小數(shù)的形式，無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù).【即時(shí)訓(xùn)練】1．（24-25七年級(jí)下·重慶豐都·階段練習(xí)）下列各數(shù)為無(wú)理數(shù)的是（

）A． B．0.1212212221 C． D．【答案】D【分析】此題考查無(wú)理數(shù)，化簡(jiǎn)算術(shù)平方根，根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．【詳解】解：下列各數(shù)為無(wú)理數(shù)的是（）是整數(shù)，屬于有理數(shù)，0.1212212221是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，是無(wú)理數(shù)，故選：D．2．（24-25七年級(jí)下·湖北咸寧·期末）數(shù)據(jù)，，，，，（從前往后每相鄰兩個(gè)2間增加一個(gè)0）中，這6個(gè)實(shí)數(shù)中無(wú)理數(shù)有個(gè)．【答案】2【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)，無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，注意帶根號(hào)的數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)．理解無(wú)理數(shù)的概念，一定要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱(chēng)．即有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)．【詳解】解：，，是整數(shù)，是有限小數(shù)，是分?jǐn)?shù)，它們屬于有理數(shù)；無(wú)理數(shù)有，(從前往后每相鄰兩個(gè)2間增加一個(gè)0)，共2個(gè)．故答案為：2．知識(shí)點(diǎn)二、實(shí)數(shù)及分類(lèi)1.有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù).2.實(shí)數(shù)的分類(lèi)（1）按定義分類(lèi)：（2）按性質(zhì)分類(lèi)：PS：0既不是正實(shí)數(shù)，也不是負(fù)實(shí)數(shù).【即時(shí)訓(xùn)練】3．（24-25七年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）已知數(shù)：，，，（每?jī)蓚€(gè)1之間依次增加一個(gè)0），，π，0；其中有理數(shù)有個(gè)．【答案】5【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)分類(lèi)，根據(jù)有理數(shù)的定義“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)”，進(jìn)行解答即可．【詳解】解：，，在，，，（每?jī)蓚€(gè)1之間依次增加一個(gè)0），，π，0中有理數(shù)有，，，，0共5個(gè)．故答案為：5．4．（24-25七年級(jí)下·河南商丘·期末）在下列說(shuō)法中：①無(wú)理數(shù)都是開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；②無(wú)理數(shù)都是實(shí)數(shù)；③兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和仍是無(wú)理數(shù)；④循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)；錯(cuò)誤的序號(hào)是．【答案】①③/③①【分析】本題考查實(shí)數(shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)，根據(jù)實(shí)數(shù)的分類(lèi)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：無(wú)理數(shù)包括開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)、無(wú)限不循環(huán)小數(shù)、含的數(shù)等，故①錯(cuò)誤；實(shí)數(shù)包括無(wú)理數(shù)、有理數(shù)，因此無(wú)理數(shù)都是實(shí)數(shù)，故②正確；兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和不一定是無(wú)理數(shù)，如，故③錯(cuò)誤；循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故④正確；綜上可知，錯(cuò)誤的序號(hào)是①③，故答案為：①③．知識(shí)點(diǎn)三、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的關(guān)系…有理數(shù)集合……有理數(shù)集合…無(wú)理數(shù)集合2.畫(huà)表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)：要想在數(shù)軸上畫(huà)出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)，需先得到長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的絕對(duì)值的線(xiàn)段，一般地，依據(jù)勾股定理，通過(guò)構(gòu)造直角三角形來(lái)得到長(zhǎng)度為無(wú)理數(shù)的絕對(duì)值的線(xiàn)段，以原點(diǎn)為圓心，以上述線(xiàn)段長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)，便是表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn).正無(wú)理數(shù)以原點(diǎn)為圓心，向數(shù)軸正方向畫(huà)弧，負(fù)無(wú)理數(shù)以原點(diǎn)為圓心，向數(shù)軸負(fù)方向畫(huà)弧.【即時(shí)訓(xùn)練】5．（24-25八年級(jí)下·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上A點(diǎn)表示的數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，由勾股定理求出，結(jié)合數(shù)軸即可得解，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖：，由題意可得，，，∴，∴，∴數(shù)軸上A點(diǎn)表示的數(shù)是，故答案為：．6．（24-25八年級(jí)下·江西贛州·階段練習(xí)）實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)數(shù)軸可推出，據(jù)此化簡(jiǎn)絕對(duì)值和計(jì)算算術(shù)平方根，進(jìn)而合并同類(lèi)項(xiàng)即可得到答案．【詳解】解：由數(shù)軸可得，且，∴，∴，故答案為：．知識(shí)點(diǎn)四、實(shí)數(shù)的有關(guān)概念在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)的意義完全一樣.【即時(shí)訓(xùn)練】7．（24-25七年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的有．①實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無(wú)理數(shù)；②是有理數(shù)；③不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù)；④是有理數(shù)；⑤數(shù)軸上任一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)有理數(shù)；⑥的相反數(shù)是．【答案】①⑥/⑥①【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的概念與分類(lèi)，無(wú)理數(shù)，有理數(shù)的概念，相反數(shù)的含義逐一分析即可得到答案．【詳解】解：實(shí)數(shù)不是有理數(shù)就是無(wú)理數(shù)，描述正確，故①符合題意；是無(wú)理數(shù)，故②不符合題意；不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù)，描述錯(cuò)誤，如，故③不符合題意；是無(wú)理數(shù)；故④不符合題意；數(shù)軸上任一點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，故⑤不符合題意；的相反數(shù)是，故⑥符合題意；故答案為：①⑥．【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的概念，實(shí)數(shù)的分類(lèi)，無(wú)理數(shù)的含義，相反數(shù)的含義，熟記基本概念是解本題的關(guān)鍵．8．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）下列說(shuō)法正確的是（

）A．正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)實(shí)數(shù) B．正數(shù)、和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)有理數(shù)C．帶根號(hào)的數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)實(shí)數(shù) D．無(wú)理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)實(shí)數(shù)【答案】D【分析】此題主要考查實(shí)數(shù)的定義和分類(lèi)，解題的關(guān)鍵是熟知實(shí)數(shù)的定義．根據(jù)實(shí)數(shù)的定義判斷即可．【詳解】解：A、正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)實(shí)數(shù)，錯(cuò)誤，0也是實(shí)數(shù)，故不符合題意；B、正數(shù)、0和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)有理數(shù)，錯(cuò)誤，正數(shù)、0和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)實(shí)數(shù)，故不符合題意；C、帶根號(hào)的數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)實(shí)數(shù)，錯(cuò)誤，故不符合題意；D、無(wú)理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)實(shí)數(shù)，正確，故符合題意；故選：D．知識(shí)點(diǎn)五、比較實(shí)數(shù)的大小有理數(shù)的大小比較方法在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.1.在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.2.正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，絕對(duì)值大的反而小.3.比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的常用方法：（1）比較被開(kāi)方數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的根指數(shù)相同，我們可以通過(guò)比較被開(kāi)方數(shù)的大小來(lái)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小；（2）數(shù)軸比較法：根據(jù)在數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù)，結(jié)合圖形比較，這個(gè)方法適用于多個(gè)實(shí)數(shù)比較大?。唬?）法則比較法：根據(jù)“正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而小”進(jìn)行比較；（4）作差比較法：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（5）作商比較法：a、b為正數(shù)，若，則；若，則；若，則（6）倒數(shù)比較法：a、b為正數(shù)，若，則；（7）平方比較法：a、b為正數(shù)，若，則.【即時(shí)訓(xùn)練】9．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）比較下列各數(shù)的大?。ㄌ睢啊薄啊被颉啊保海?）2；

（2）；

（3）．【答案】【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，實(shí)數(shù)的大小比較，先估算得出，，從而可得，再根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較方法即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，，即，，∴，（1），故答案為：；（2）；故答案為：；（3），故答案為：．10．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）比較下列各組數(shù)的大?。?1)2，3與；(2)與2.3．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的比較能力，題目比較好，難度適中．（1）根據(jù)立方根的計(jì)算，然后利用實(shí)數(shù)大小的比較方法求解即可；（2）根據(jù)立方根的計(jì)算，然后利用實(shí)數(shù)大小的比較方法求解即可．【詳解】（1），∵，．（2），∵．．【經(jīng)典例題一無(wú)理數(shù)】【例1】（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．有理數(shù)是有限小數(shù) B．無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)C．無(wú)理數(shù)可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式 D．無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)【答案】D【分析】本題主要考查了無(wú)理數(shù)．根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義解答即可．【詳解】A、有理數(shù)是整數(shù)和分?jǐn)?shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、無(wú)理數(shù)不可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，故本選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D1．（24-25九年級(jí)下·廣東深圳·階段練習(xí)）下列數(shù)：，2，0，，中是無(wú)理數(shù)的有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是理解無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，能區(qū)分有理數(shù)（整數(shù)和分?jǐn)?shù)）與無(wú)理數(shù)．根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義（無(wú)限不循環(huán)小數(shù)），判斷各數(shù)類(lèi)型；、2、0、是有理數(shù)；是無(wú)理數(shù)，進(jìn)而確定無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)．【詳解】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義：無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)．是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)；2是整數(shù)，屬于有理數(shù)；0是整數(shù)，屬于有理數(shù)；中，是無(wú)理數(shù)，故是無(wú)理數(shù)；是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)．因此，無(wú)理數(shù)有1個(gè)．故選：A．2．（24-25七年級(jí)下·安徽銅陵·期中）在實(shí)數(shù)，，，，…，，，中，無(wú)理數(shù)有個(gè)．【答案】【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握無(wú)理數(shù)的定義．根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義，結(jié)合所給數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】解：，，，在實(shí)數(shù)，，，，…，，，中，有理數(shù)有個(gè)，無(wú)理數(shù)有（個(gè)），故答案為：．3．（24-25七年級(jí)下·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）【閱讀理解】定義：可以表示為兩個(gè)互質(zhì)整數(shù)的商的形式的數(shù)稱(chēng)為有理數(shù)，整數(shù)可以看作分母為1的有理數(shù)；反之為無(wú)理數(shù)．如不能表示為兩個(gè)互質(zhì)（沒(méi)有相同的因數(shù)）的整數(shù)的商，所以是無(wú)理數(shù)．可以這樣證明：解：設(shè)，a與b是互質(zhì)的兩個(gè)整數(shù)，且，則，即_________①．∵是整數(shù)且不為，∴是的倍數(shù)．設(shè)（是整數(shù)，且），則．∴_________②．∴也是的倍數(shù)，與，是互質(zhì)的整數(shù)矛盾．∴是無(wú)理數(shù)．【解決問(wèn)題】(1)寫(xiě)出①，②表示的代數(shù)式，使證明過(guò)程完整；①__________________；②__________________(2)證明：是無(wú)理數(shù)．【答案】(1)①；②(2)證明見(jiàn)解析【分析】考查了無(wú)理數(shù)的概念，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給事例模仿去做，做到舉一反三．（1）根據(jù)等式性質(zhì)得出結(jié)論即可；（2）類(lèi)比是無(wú)理數(shù)的證明進(jìn)行證明即可．【詳解】（1）解：設(shè)，與是互質(zhì)的兩個(gè)整數(shù)，且，則即．因?yàn)槭钦麛?shù)且不為，所以是不為的偶數(shù)．設(shè)（是整數(shù)，且），則．所以．所以也是偶數(shù)，與，是互質(zhì)的整數(shù)矛盾．所以是無(wú)理數(shù)．故答案為：，．（2）設(shè)，與是互質(zhì)的兩個(gè)整數(shù)，且，則，所以，，是整數(shù)且不為，為的倍數(shù)．設(shè)（是整數(shù)），，也是的倍數(shù)，與與是互質(zhì)的整數(shù)矛盾，是無(wú)理數(shù)．【經(jīng)典例題二無(wú)理數(shù)的大小估算】【例2】（24-25八年級(jí)下·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知，，，．若為整數(shù)且，則的值為（

）A．43 B．44 C．45 D．46【答案】B【分析】本題主要考查無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握無(wú)理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵；先根據(jù)題干中的數(shù)據(jù)估算的大小，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【詳解】解：由題意可知：∴，∴；故選B．1．（24-25八年級(jí)下·遼寧大連·期末）已知（其中、為最接近的正整數(shù)），則的值為（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【分析】本題主要考查估算無(wú)理數(shù)的大小，代數(shù)式求值，根據(jù)計(jì)算m、n的值是解決本題的關(guān)鍵．估算無(wú)理數(shù)的大小，求得m、n的值即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∵，、為最接近的正整數(shù)，∴，，∴故選：C．2．（24-25七年級(jí)下·四川德陽(yáng)·期末）已知為整數(shù)，當(dāng)最小時(shí)，．【答案】【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，估算的大小，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵，∴，即更接近∴∴故答案為：．3．（24-25七年級(jí)下·廣西崇左·階段練習(xí)）數(shù)感和量感都是“數(shù)”的表達(dá)，二者密切相關(guān)，相互依存．問(wèn)題情境：有多大呢？教材中用兩個(gè)面積為1的小正方形分別沿對(duì)角線(xiàn)剪開(kāi)，拼成一個(gè)面積為2的大正方形，如圖②，可以求出大正方形的邊長(zhǎng)為；(1)探究過(guò)程：因?yàn)椋裕O(shè)，將邊長(zhǎng)為的正方形分成如圖①所示的四部分．由面積公式，可得，因?yàn)閤值很小，所以更小，略去，解得（保留到0.001），即≈_________．(2)黃金分割數(shù)是一個(gè)很奇妙的數(shù)，大量應(yīng)用于藝術(shù)、建筑和統(tǒng)計(jì)決策等方面，現(xiàn)在仿照上面探究“有多大呢？”的過(guò)程，請(qǐng)你寫(xiě)出探究“有多大”的過(guò)程，然后計(jì)算出黃金分割數(shù)的近似值．（結(jié)果均保留到0.001）(3)怎樣畫(huà)出？現(xiàn)有5個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形，排列形式如圖③，類(lèi)比圖①的方法，請(qǐng)你在圖③中用實(shí)線(xiàn)把它們分割，然后在圖④中拼接成一個(gè)新的大正方形．要求：在圖③中畫(huà)出分割線(xiàn)，并在正方形網(wǎng)格圖④中直接用實(shí)線(xiàn)畫(huà)出拼接成的新的大正方形，且大正方形的邊長(zhǎng)為．【答案】(1)1.414(2)見(jiàn)解析，(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，算術(shù)平方根等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．（1）根據(jù)題意由正方形的面積可得出答案；（2）由（1）的方法可得出答案；（3）由題意畫(huà)出圖形即可．【詳解】（1）解：．解方程得（保留到0.001），即．故答案為：1.414；（2）解：∵，∴，設(shè)，畫(huà)出示意圖，由面積公式，可得．因?yàn)閤值很小，所以更小，略去，解方程得（保留到0.001），即．∴黃金分割數(shù)．（3）解：如圖，即為所求【經(jīng)典例題三實(shí)數(shù)概念理解】【例3】（24-25八年級(jí)上·安徽·開(kāi)學(xué)考試）下列說(shuō)法正確的是（

）A．兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和一定是無(wú)理數(shù) B．無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)C．實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示 D．分?jǐn)?shù)可能是無(wú)理數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的有關(guān)概念、實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系對(duì)各項(xiàng)逐一分析判斷即可．【詳解】A.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和可能是無(wú)理數(shù)，也可能是有理數(shù)，如互為相反數(shù)的一對(duì)無(wú)理數(shù)和，它們的和是0，是有理數(shù)，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B.無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，無(wú)限小數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；C.實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，說(shuō)法正確，符合題意；D.分?jǐn)?shù)是有理數(shù)，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，熟練掌握實(shí)數(shù)的基本概念是解題的關(guān)鍵．1．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）下列命題：①無(wú)理數(shù)都是實(shí)數(shù)；②實(shí)數(shù)都是無(wú)理數(shù)；③無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)：④帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)；⑤不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù)，其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義，即無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，結(jié)合各選項(xiàng)說(shuō)法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①無(wú)理數(shù)都是實(shí)數(shù)，正確；②錯(cuò)誤，實(shí)數(shù)包括無(wú)理數(shù)和有理數(shù)；③錯(cuò)誤，無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)；④錯(cuò)誤，帶根號(hào)的數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)，如；⑤錯(cuò)誤，不帶根號(hào)的數(shù)不一定是有理數(shù)，如π等無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，錯(cuò)誤；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)，熟練掌握無(wú)理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（24-25七年級(jí)下·黑龍江綏化·期中）已知下列結(jié)論：①在數(shù)軸上只能表示無(wú)理數(shù)；②任何一個(gè)無(wú)理數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；③實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；④有理數(shù)有無(wú)限個(gè)，無(wú)理數(shù)有有限個(gè)．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)．熟練掌握實(shí)數(shù)的概念，有理數(shù)的概念和性質(zhì)，無(wú)理數(shù)的概念和性質(zhì)，數(shù)軸的概念和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，實(shí)數(shù)的概念，有理數(shù)的概念和性質(zhì)，無(wú)理數(shù)的概念和性質(zhì)，數(shù)軸的概念和性質(zhì)，逐一判斷，即得．【詳解】解：數(shù)軸上除了還能表示有理數(shù)與其它無(wú)理數(shù)，故①錯(cuò)誤；任何一個(gè)無(wú)理數(shù)都能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，故②正確；實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，故③正確；整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)有理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)為無(wú)理數(shù)，∴有理數(shù)有無(wú)限個(gè)，無(wú)理數(shù)也有無(wú)限個(gè)，故④錯(cuò)誤．∴正確的是②③共2個(gè)．故選：B．3．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）下列敘述：①是一個(gè)負(fù)數(shù)；②0的相反數(shù)和倒數(shù)都是0；③全體實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)；④一個(gè)數(shù)的平方根等于它本身，這個(gè)數(shù)是0和1；⑤實(shí)數(shù)包括無(wú)理數(shù)和有理數(shù)；⑥兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和可能是無(wú)理數(shù)正確的序號(hào)是．【答案】③⑤⑥【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件、相反數(shù)和倒數(shù)的定義、實(shí)數(shù)與數(shù)軸一一對(duì)應(yīng)關(guān)系、平方根的性質(zhì)、實(shí)數(shù)的分類(lèi)和無(wú)理數(shù)的運(yùn)算逐一判斷即可．【詳解】解：無(wú)意義，故①錯(cuò)誤；0的相反數(shù)是0，0沒(méi)有倒數(shù)，故②錯(cuò)誤；全體實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，故③正確；一個(gè)數(shù)的平方根等于它本身，這個(gè)數(shù)是0，故④錯(cuò)誤；實(shí)數(shù)包括無(wú)理數(shù)和有理數(shù)，故⑤正確；兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和可能是無(wú)理數(shù)或有理數(shù)，故⑥正確．故答案為：③⑤⑥．【點(diǎn)睛】此題考查的是實(shí)數(shù)的分類(lèi)、相關(guān)概念及運(yùn)算，掌握二次根式有意義的條件、相反數(shù)和倒數(shù)的定義、實(shí)數(shù)與數(shù)軸一一對(duì)應(yīng)關(guān)系、平方根的性質(zhì)、實(shí)數(shù)的分類(lèi)和無(wú)理數(shù)的運(yùn)算是解決此題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四實(shí)數(shù)的分類(lèi)】【例4】（24-25七年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合中：，，，，，，，，(1)有理數(shù)集合：{

??}；(2)無(wú)理數(shù)集合：{

??}；(3)負(fù)實(shí)數(shù)集合：{

??}．【答案】(1)，，，，，(2)，，(3)，，【分析】本題考查實(shí)數(shù)的分類(lèi)，根據(jù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的定義分類(lèi)即可得．（1）整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)，包含有限小數(shù)，無(wú)限循環(huán)小數(shù)，據(jù)此求解即可；（2）無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，常見(jiàn)形式：開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，含的式子等，據(jù)此求解即可；（3）小于的實(shí)數(shù)為負(fù)實(shí)數(shù)，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：，故是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)；，故是整數(shù)，是有理數(shù)；是整數(shù)，是有理數(shù)；是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)；是有限小數(shù)，是有理數(shù)；是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，是有理數(shù)；故有理數(shù)集合：{，，，，，}．（2）解：是開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，是無(wú)理數(shù)；中是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，故是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，是無(wú)理數(shù)；，是開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，故是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，是無(wú)理數(shù)；故無(wú)理數(shù)集合：{，，}．（3）解：∵，故是負(fù)實(shí)數(shù)；∵，故是負(fù)實(shí)數(shù)；∵，故是負(fù)實(shí)數(shù)；故負(fù)實(shí)數(shù)集合：{，，}．1．（24-25七年級(jí)下·山東德州·階段練習(xí)）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合中：0，，，3.1415926，，，，0．（相鄰兩個(gè)3之間的0逐次加1），0.15，，，1016．(1)整數(shù)集合：{_____…}；(2)正分?jǐn)?shù)集合：{_____…}；(3)負(fù)有理數(shù)集合：{_____…}；(4)無(wú)理數(shù)集合：{_____…}；(5)非負(fù)整數(shù)集合：{_____…}．【答案】(1)0，，，，1016．(2)3.1415926，0.15，(3)，，，(4)，，，0．（相鄰兩個(gè)3之間的0逐次加1），(5)0，，1016．【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的分類(lèi)．化簡(jiǎn)需要化簡(jiǎn)的各數(shù)后，根據(jù)實(shí)數(shù)的分類(lèi)進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：，，整數(shù)集合：{0，，，，1016，…}；（2）正分?jǐn)?shù)集合：{3.1415926，0.15，…}；（3）負(fù)有理數(shù)集合：{，，…}；（4）無(wú)理數(shù)集合：{，，，0，…}；（5）非負(fù)整數(shù)集合：{0，，1016，…}2．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·期中）把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)：，，，，0，，，（每?jī)蓚€(gè)1之間依次增加一個(gè)0）．(1)整數(shù)：{

…}；(2)分?jǐn)?shù)：{

…}；(3)無(wú)理數(shù)：{

…}．【答案】(1)、、0(2)、、(3)、、（每?jī)蓚€(gè)1之間依次多一個(gè)0）【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的分類(lèi)、無(wú)理數(shù)、有理數(shù)之間的關(guān)系，立方根，有理數(shù)都可以化為小數(shù)，其中整數(shù)可以看作小數(shù)點(diǎn)后面是零的小數(shù)，分?jǐn)?shù)都可以化為有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)；無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，其中有開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)．（1）根據(jù)整數(shù)的定義進(jìn)行填空即可；（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義進(jìn)行填空即可；（3）根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義進(jìn)行填空即可．【詳解】（1）解：，，∴整數(shù)有：、、0；（2）解：分?jǐn)?shù)有：、、；（3）解：無(wú)理數(shù)有：、、（每?jī)蓚€(gè)1之間依次多一個(gè)0）．3．（24-25七年級(jí)下·江蘇蘇州·期末）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的橫線(xiàn)上：，，，0，，，，（每?jī)蓚€(gè)3之間依次多一個(gè)0）．有理數(shù)：；

無(wú)理數(shù)：；正實(shí)數(shù)：；

負(fù)實(shí)數(shù)：．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的分類(lèi)，立方根，根據(jù)實(shí)數(shù)的分類(lèi)方法分別求出每個(gè)數(shù)屬于什么數(shù)即可得到答案．【詳解】解：是有理數(shù)，是正實(shí)數(shù)；是有理數(shù)，是負(fù)實(shí)數(shù)；是無(wú)理數(shù)，是正實(shí)數(shù)；0是有理數(shù)；是無(wú)理數(shù)，是負(fù)實(shí)數(shù)；是無(wú)理數(shù)，是正實(shí)數(shù)；是有理數(shù)，是負(fù)實(shí)數(shù)；（每?jī)蓚€(gè)3之間依次多一個(gè)0）是無(wú)理數(shù)，是負(fù)實(shí)數(shù)；∴有理數(shù)：，，0，；無(wú)理數(shù)：，，，（每?jī)蓚€(gè)3之間依次多一個(gè)0）；正實(shí)數(shù)：，，；負(fù)實(shí)數(shù)：，，，（每?jī)蓚€(gè)3之間依次多一個(gè)0）．【經(jīng)典例題五實(shí)數(shù)的性質(zhì)】【例5】（24-25八年級(jí)上·廣東梅州·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，化簡(jiǎn)絕對(duì)值；先判斷與1的大小，再化簡(jiǎn)絕對(duì)值，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴故選：B．1．（24-25七年級(jí)下·廣西南寧·階段練習(xí)）下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，立方根，絕對(duì)值，根據(jù)算術(shù)平方根，立方根的定義及絕對(duì)值的意義逐項(xiàng)分析即可．【詳解】解：A、，正確，本選項(xiàng)不符合題意；B、，正確，本選項(xiàng)不符合題意；C、，原計(jì)算錯(cuò)誤，本選項(xiàng)符合題意；D、，正確，本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2．（24-25七年級(jí)下·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖，實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A．a(chǎn) B．b C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，實(shí)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)和絕對(duì)值的性質(zhì)．先根據(jù)數(shù)軸推出，進(jìn)而得到，據(jù)此可得，化簡(jiǎn)絕對(duì)值和求算術(shù)平方根，然后合并同類(lèi)項(xiàng)即可得到答案．【詳解】解：由數(shù)軸可知，，，．故答案為：B．3．（24-25七年級(jí)下·四川南充·期中）設(shè)、是有理數(shù)，且滿(mǎn)足等式則．【答案】1或【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)、利用平方根解方程，熟練掌握實(shí)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．對(duì)等式整理得，結(jié)合、是有理數(shù)得出，，解出的值即可解答．【詳解】解：，，、是有理數(shù)，，，解得：或，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，或故答案為：1或．【經(jīng)典例題六實(shí)數(shù)與數(shù)軸】【例6】（24-25八年級(jí)下·遼寧撫順·期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)是，過(guò)點(diǎn)作，且，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出線(xiàn)段的長(zhǎng)度，然后根據(jù)即可求出的長(zhǎng)度，接著可以求出數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)．【詳解】解：∵，，，∴，∴，∴到原點(diǎn)的距離是．∴點(diǎn)所表示的數(shù)是．故選：C．1．（24-25八年級(jí)下·遼寧鐵嶺·期末）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別為0，2，于點(diǎn)B，且，連接，在上截取，以A為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交線(xiàn)段于點(diǎn)E，則點(diǎn)E表示的實(shí)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，勾股定理，熟練掌握勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，根據(jù)勾股定理可求得的長(zhǎng)，再根據(jù)題意得到，從而得到答案．【詳解】解：由題可得：，，，∴由勾股定理得：，∵，∴，∵，∴，∴點(diǎn)E表示的實(shí)數(shù)是，故選：A．2．（24-25八年級(jí)下·廣東中山·階段練習(xí)）如圖，矩形中，，在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的數(shù)為．【答案】/【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，再結(jié)合數(shù)軸即可解答．【詳解】解：如圖：，則，∵A點(diǎn)表示，∴M點(diǎn)表示的數(shù)為：．故答案為：．3．（24-25八年級(jí)下·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）如圖1，直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周，圓上的一點(diǎn)由原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)．(1)那么點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是________．(2)從上述的事實(shí)不難看出：當(dāng)數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的．有理數(shù)中的相關(guān)概念，運(yùn)算法則，運(yùn)算律同樣適合于實(shí)數(shù)．解決下列問(wèn)題：①如圖2，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是，，，若以點(diǎn)A為圓心、的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與數(shù)軸交于點(diǎn)（點(diǎn)位于點(diǎn)A右側(cè)），則點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_______．②圖3中畫(huà)出表示的點(diǎn)M．（保留作圖痕跡）③若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，求的值．【答案】(1)(2)①；②見(jiàn)解析；③【分析】本題考查了圓的周長(zhǎng)公式，實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系，勾股定理解三角形，無(wú)理數(shù)的估算以及代數(shù)式的求值．無(wú)理數(shù)在數(shù)軸上表示的內(nèi)容，體現(xiàn)了實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，熟練掌握勾股定理求解三角形邊長(zhǎng)并正確估算無(wú)理數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式，即（d為直徑）計(jì)算即可；（2）①先由勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)，再由勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)，由圓的半徑可得的長(zhǎng)，由此可解；②通過(guò)構(gòu)造直角三角形，作出長(zhǎng)度為1和長(zhǎng)度為2的直角三角形，利用勾股定理求出長(zhǎng)度為的線(xiàn)段，即可確定位置；③先估算的大小，從而確定的整數(shù)部分和小數(shù)部分，再代入式子求解即可．【詳解】（1）解：∵圓的直徑為1，∴圓的周長(zhǎng)為，∵向右滾動(dòng)一周，圓上的一點(diǎn)由原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，∴點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，故答案為：；（2）解：①∵，，∴由勾股定理可得，∵，，，∴由勾股定理可得，∵以點(diǎn)A為圓心、的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與數(shù)軸交于點(diǎn)，∴，∵在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是，則點(diǎn)表示的數(shù)為；故答案為：；②在數(shù)軸上取點(diǎn)Q，表示的數(shù)為1，取點(diǎn)N，表示的數(shù)為2，過(guò)點(diǎn)N作軸，且滿(mǎn)足，∴，在中，，以點(diǎn)Q為圓心、的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與數(shù)軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，即點(diǎn)M表示，如圖：③∵，∴，∴，∴，即，∴的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，∴【經(jīng)典例題七實(shí)數(shù)的大小比較】【例7】（24-25七年級(jí)下·山東德州·期中）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，先利用夾逼法估算a，b的值，再比較大小即可．【詳解】解：∵，，∴，，即，，∴，，又，∴，故選：C．1．（24-25八年級(jí)下·江蘇南京·期末）比較大小：（填“”“”或“”）．【答案】【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，根據(jù)平方大的正實(shí)數(shù)也大解答即可．【詳解】解：，，∵，∴，∴，故答案為：．2．（2025·安徽蕪湖·三模）為了比較與的大小，我們可以構(gòu)造如圖所示的圖形進(jìn)行推算，其中，，點(diǎn)在上且，．通過(guò)計(jì)算可得．（填“>”“<”或“=”）【答案】【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，勾股定理的應(yīng)用，以及三角形的三邊的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在一個(gè)三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．首先根據(jù)，在上且，求出的值，然后在中，求出的值，在中，求出的值，在根據(jù)三角形的三邊的關(guān)系，判斷出與的大小即可．【詳解】解：，，在中，，，，在中，，，在上且，，在中，，．故答案為：．3．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）閱讀材料：對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)和比較大小，若，則；若，則；若，則．上面的規(guī)律反過(guò)來(lái)也成立．參考材料，解決問(wèn)題：(1)比較大?。篲_______；（填“”“”或“”）(2)已知，且，若，試比較和的大?。敬鸢浮?1)(2)【分析】本題考查了實(shí)數(shù)以及整式比較大小，解題的關(guān)鍵是掌握作差法比較大小的方法和依據(jù)．（1）運(yùn)用作差法進(jìn)行比較大小即可，即計(jì)算，再比較和的大?。唬?）運(yùn)用作差法進(jìn)行比較大小即可，計(jì)算，然后發(fā)現(xiàn)的符號(hào)即可．【詳解】（1）解：，，，故答案為：<（2），，，，，，．【經(jīng)典例題八實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算】【例8】（24-25七年級(jí)下·湖南郴州·階段練習(xí)）計(jì)算：【答案】【分析】本題考查了乘方運(yùn)算，立方根，算術(shù)平方根和絕對(duì)值．先乘方、開(kāi)方，再乘除，最后加減，有括號(hào)或絕對(duì)值先算括號(hào)或絕對(duì)值內(nèi)的）進(jìn)行計(jì)算．本題主要考查了乘方運(yùn)算，立方根的計(jì)算，算術(shù)平方根的計(jì)算以及絕對(duì)值的運(yùn)算，熟練掌握這些基本運(yùn)算規(guī)則和運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：1．（24-25七年級(jí)下·廣東江門(mén)·階段練習(xí)）計(jì)算：【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、有理數(shù)的乘方、化簡(jiǎn)絕對(duì)值、立方根、算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算理數(shù)的乘方、化簡(jiǎn)絕對(duì)值、立方根、算術(shù)平方根，再計(jì)算加減．【詳解】解：．2．（24-25七年級(jí)下·福建廈門(mén)·期中）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）利用算術(shù)平方根及立方根的定義，絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算后再算加減即可；（2）先去括號(hào)，再算加減即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．3．（24-25七年級(jí)下·山東臨沂·階段練習(xí)）計(jì)算(1)．(2)．【答案】(1)(2)【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．（1）首先計(jì)算開(kāi)平方、開(kāi)立方和絕對(duì)值，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可；（2）首先計(jì)算開(kāi)平方、開(kāi)立方和絕對(duì)值，然后計(jì)算除法，再?gòu)淖笙蛴乙来斡?jì)算，求出算式的值即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【經(jīng)典例題九程序設(shè)計(jì)與實(shí)數(shù)運(yùn)算】【例9】（24-25七年級(jí)下·湖北恩施·階段練習(xí)）小明是一個(gè)電腦愛(ài)好者，設(shè)計(jì)了一個(gè)程序如圖，當(dāng)輸入x的值是有理數(shù)64時(shí)，輸出的y的值是（

）．A．8 B． C．2 D．【答案】D【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的判斷和求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根和立方根，正確按照流程圖順序計(jì)算是解題的關(guān)鍵．根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義按照流程圖順序計(jì)算即可．【詳解】解：64的算術(shù)平方根是8，是有理數(shù)，故將8取立方根為2，是有理數(shù)，將2取算術(shù)平方根得，是無(wú)理數(shù)，故選：D．1．（24-25七年級(jí)下·山東日照·期中）在如圖所示的運(yùn)算程序中，當(dāng)輸入x的值是64時(shí)，輸出的y值是（

）A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】本題考查流程圖與實(shí)數(shù)的計(jì)算，理解流程圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)流程圖，列出算式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)輸入的值是64時(shí)，取算術(shù)平方根得，8是有理數(shù)，再取立方根得，2是有理數(shù)，再取算術(shù)平方根得，由于是無(wú)理數(shù)，所以輸出的值是．故選：A．2．（24-25七年級(jí)下·山東濱州·階段練習(xí)）在如圖所示的運(yùn)算程序中，輸入的值是64時(shí)，輸出的值是．【答案】【分析】本題考查算術(shù)平方根、立方根、無(wú)理數(shù)，代數(shù)式求值，根據(jù)程序框圖計(jì)算，直至結(jié)果是無(wú)理數(shù)即可．【詳解】解：輸入x的值是64時(shí)，則，那么，因此2的算術(shù)平方根為是無(wú)理數(shù)，輸出y的值，故答案為：．3．（24-25七年級(jí)上·浙江杭州·開(kāi)學(xué)考試）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器原理如圖．(1)當(dāng)時(shí)，y是多少？(2)輸入的x能是任何實(shí)數(shù)嗎？為什么？(3)是否存在這樣的x的值，輸入計(jì)算后始終在進(jìn)行循環(huán)計(jì)算而輸不出y的值？如果存在，請(qǐng)寫(xiě)出所有x的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)若輸出的y是，試判斷輸入的x值是否唯一？若不唯一，請(qǐng)寫(xiě)出其中的兩個(gè)．【答案】(1)(2)輸入的x不能是任何實(shí)數(shù)，理由見(jiàn)解析(3)或時(shí)始終在進(jìn)行循環(huán)計(jì)算而輸不出y的值(4)若輸出的y是，則輸入的x值不唯一；如：、．【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根、代數(shù)式求值、無(wú)理數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，掌握無(wú)理數(shù)的定義成為解題的關(guān)鍵．（1）把代入程序中計(jì)算即可確定出y的值；（2）根據(jù)算術(shù)平方根的有意義的條件即可解答；（3）根據(jù)程序確定出x的值即可；（4）舉反例即可解答；【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，4不是無(wú)理數(shù)不能輸出，2不是無(wú)理數(shù)不能輸出是無(wú)理數(shù)，輸出．所以輸出y是．（2）解：輸入的x不能是任何實(shí)數(shù)，理由如下：當(dāng)x是正數(shù)時(shí)，x與的乘積為負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，所以輸入的x不能是任何實(shí)數(shù)．（3）解：存在x的值輸入計(jì)算后始終在進(jìn)行循環(huán)計(jì)算而輸不出y的值；∵0和1的算術(shù)平方根是0和1∴當(dāng)或，即或時(shí)始終在進(jìn)行循環(huán)計(jì)算而輸不出y的值．（4）解：若輸出的y是，則輸入的x值不唯一；如：，，3再次輸出為；，，，3再次輸出為；所以輸入x值不唯一．【經(jīng)典例題十新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算】【例10】（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）對(duì)實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算，已知，則的值為（

）A．4 B． C． D．5或【答案】C【分析】此題考查實(shí)數(shù)運(yùn)算，根據(jù)新定義分別列式計(jì)算求出m的值，再判斷即可得到答案【詳解】由題意可分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，有，解得，不符合，此種情況不符合題意；②當(dāng)時(shí)，有，解得．，舍去，即．故選：C．1．（24-25八年級(jí)上·福建泉州·期中）現(xiàn)對(duì)實(shí)數(shù)定義一種運(yùn)算：．則等于（

）A． B． C．2 D．6【答案】B【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，先計(jì)算，，再依據(jù)新定義規(guī)定的運(yùn)算計(jì)算可得．【詳解】解：，故選：B．2．（24-25八年級(jí)上·湖南邵陽(yáng)·期末）規(guī)定：表示不超過(guò)的最大整數(shù)，表示的小數(shù)部分，，其中為實(shí)數(shù)．例如，，．計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，無(wú)理數(shù)的估算，理解新定義是解題的關(guān)鍵．分別估計(jì)和在哪兩個(gè)整數(shù)之間，再根據(jù)新定義得出，，兩者相減即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，，∴．故答案為：．3．（24-25七年級(jí)下·湖北恩施·期中）本學(xué)期我們?cè)凇秾?shí)數(shù)》中，學(xué)習(xí)了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分內(nèi)容．平方根立方根定義一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于，即，，那么這個(gè)數(shù)叫做的平方根或二次方根．一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于，即，，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根或三次方根．運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方．開(kāi)平方與平方互為逆運(yùn)算．求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)立方．開(kāi)立方與立方互為逆運(yùn)算．性質(zhì)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根．正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)．表示方法正數(shù)的平方根可以用“”表示，讀作“正負(fù)根號(hào)”．一個(gè)數(shù)的立方根可以用“”表示，讀作“三次根號(hào)”．我們類(lèi)比平方根和立方根的學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)四次方根．(1)探究定義：類(lèi)比平方根和立方根的定義，給四次方根下定義：________；(2)探究性質(zhì)：①81的四次方根是______；0的四次方根是_________；_______（填“有”或“沒(méi)有”）四次方根；②類(lèi)比平方根和立方根的性質(zhì)，歸納四次方根的性質(zhì)：_______．(3)鞏固與應(yīng)用①計(jì)算：；②比較大?。汉停敬鸢浮?1)一般地，如果一個(gè)數(shù)x的四次方等于a，即，，那么這個(gè)數(shù)x叫做a的四次方根(2)①；0；沒(méi)有；②正數(shù)有兩個(gè)四次方根，它們互為相反數(shù)：0的四次方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有四次方根(3)①；②【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，平方根和立方根的意義．（1）類(lèi)比平方根的定義解答即可；（2）根據(jù)四次方根的定義求解即可；（3）根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較方法比較即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：類(lèi)比平方根和立方根的定義，給四次方根下定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)的四次方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的四次方根．故答案為：一般地，如果一個(gè)數(shù)的四次方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的四次方根．（2）①根據(jù)題意：的四次方根是：，的四次方根是，沒(méi)有四次方根．故答案為：，，沒(méi)有；②四次方根的性質(zhì)：正數(shù)有兩個(gè)四次方根，它們互為相反數(shù)，的四次方根是，負(fù)數(shù)沒(méi)有四次方根，故答案為：正數(shù)有兩個(gè)四次方根，它們互為相反數(shù)，的四次方根是，負(fù)數(shù)沒(méi)有四次方根．（3）①；②∵，∴，∴．【經(jīng)典例題十一實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際運(yùn)用】【例11】（24-25七年級(jí)下·江西贛州·期末）如圖，在長(zhǎng)方形內(nèi)，兩個(gè)正方形的面積分別為，．(1)求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)；(2)圖中兩塊陰影部分的面積之和為_(kāi)________．【答案】(1)(2)【分析】本題考查實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意．（1）根據(jù)正方形的面積求其邊長(zhǎng)，然后求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)即可；（2）利用長(zhǎng)方形的面積減去兩個(gè)正方形的面積，即為陰影部分的面積；解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握算術(shù)平方根的意義及相應(yīng)的運(yùn)算法則．【詳解】（1）解：∵兩個(gè)正方形的面積分別為，，∴小正方形的邊長(zhǎng)為，大正方形的邊長(zhǎng)為，∴長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為；（2）∵，∴兩塊陰影部分的面積和為．故答案為：．1．（24-25七年級(jí)下·福建南平·期末）小李同學(xué)探索的近似值的過(guò)程如下：∵面積為83的正方形的邊長(zhǎng)是，且，∴設(shè)，其中；通過(guò)數(shù)形結(jié)合，可畫(huà)出正方形的面積示意圖：又∵，∴當(dāng)時(shí)，假設(shè)忽略不計(jì)，得，解得，即．(1)填空：的整數(shù)部分的值為；(2)類(lèi)比上述方法，探究的近似值．（結(jié)果精確到0.01）（要求：畫(huà)出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫(xiě)出求解過(guò)程）【答案】(1)11(2)【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算和實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，正確理解題意、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵；（1）利用夾逼法求解即可；（2）仿照題干中的解題思路解答即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴的整數(shù)部分的值為11；故答案為：11；（2）解：∵面積為127的正方形的邊長(zhǎng)是，且，∴設(shè)，其中；通過(guò)數(shù)形結(jié)合，可畫(huà)出正方形的面積示意圖：又∵，∴當(dāng)時(shí)，假設(shè)忽略不計(jì)，得，解得，即．2．（24-25七年級(jí)下·青海海東·期中）我們知道，任意一個(gè)有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的和為無(wú)理數(shù)，任意一個(gè)不為零的有理數(shù)與一個(gè)無(wú)理數(shù)的積為無(wú)理數(shù)，而零與無(wú)理數(shù)的積為零．由此可得：如果，其中、為有理數(shù)，為無(wú)理數(shù)；那么必然有，且，據(jù)此，解決下列問(wèn)題．(1)如果，其中、為有理數(shù)，則___________，___________；(2)如果，其中、為有理數(shù)，求的平方根．【答案】(1)3，2(2)【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，平方根，本題是閱讀型題目，正確理解題干中的信息并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，為有理數(shù)，由已知等式求出與的值即可；（2）已知等式右邊化為0，根據(jù)，為有理數(shù)，求出與的值，即可確定出的值，再求平方根即可．【詳解】（1）解：，其中，為有理數(shù)，為無(wú)理數(shù)，∴，∴；（2）解：∵，，為有理數(shù)，為無(wú)理數(shù)，∴，解之，得．則．∴的平方根是．3．（24-25八年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）數(shù)學(xué)閱讀是學(xué)生個(gè)體根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)閱讀數(shù)學(xué)材料建構(gòu)數(shù)學(xué)意義和方法的學(xué)習(xí)活動(dòng)，是學(xué)生主動(dòng)獲取信息，汲取知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的途徑之一．請(qǐng)你先閱讀下面的材料，然后再根據(jù)要求解答提出的問(wèn)題：?jiǎn)栴}情境：設(shè)a，b是有理數(shù)，且滿(mǎn)足，求的值．解：由題意得，∵a，b都是有理數(shù)，∴也是有理數(shù)，∵是無(wú)理數(shù)，∴，∴，∴解決問(wèn)題：設(shè)x，y都是有理數(shù)，且滿(mǎn)足，求的值．【答案】8或0【分析】根據(jù)題目中例題的方法，對(duì)所求式子進(jìn)行變形，求出x、y的值，從而可以求得x+y的值．【詳解】解：∵，∴（x2-2y-8）+（y-4）=0，∴x2-2y-8=0，y-4=0，解得，x=±4，y=4，當(dāng)x=4，y=4時(shí)，x+y=4+4=8，當(dāng)x=-4，y=4時(shí)，x+y=（-4）+4=0，即x+y的值是8或0．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是明確題目中例題的解答方法，然后運(yùn)用類(lèi)比的思想解答所求式子的值．【經(jīng)典例題十二與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題】【例12】（24-25七年級(jí)下·山東德州·階段練習(xí)）規(guī)律探究設(shè)，，，…，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是算術(shù)平方根及算式的變化規(guī)律，觀察式子的結(jié)果，得出一般規(guī)律．【詳解】解：由題意得：，，，，，，，故選：C．1．（24-25八年級(jí)下·云南大理·期末）觀察并分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律：，，，，，，，，那么第9個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了數(shù)字類(lèi)規(guī)律變化，二次根式的化簡(jiǎn)．根據(jù)數(shù)據(jù)可得第個(gè)數(shù)為，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由數(shù)據(jù)可得，第個(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，第個(gè)數(shù)為，，∴第個(gè)數(shù)為，∴第9個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是，故選：C．2．（24-25七年級(jí)下·湖南婁底·期末）請(qǐng)認(rèn)真觀察下列等式：；；；；……利用上述等式的規(guī)律，計(jì)算．【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的計(jì)算的規(guī)律探究，，熟練掌握規(guī)律探索是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知等式的規(guī)律，將目標(biāo)式子化為，即可求解．【詳解】解：原式故答案為：．3．（24-25七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）將一組數(shù)，，3，，，…按如圖所示的方法進(jìn)行排列，若的位置記為，的位置記為，則這組數(shù)中最大的有理數(shù)的位置記為．【答案】【分析】本題考查規(guī)律型：實(shí)數(shù)運(yùn)算．根據(jù)題意可以得到每行五個(gè)數(shù)，且根號(hào)里面的數(shù)都是3的倍數(shù)，從而可以得出最大的有理數(shù)所在的位置，即可得出答案．【詳解】解：由題意可得，每五個(gè)數(shù)為一行，且被開(kāi)方數(shù)是3的倍數(shù)，的被開(kāi)方數(shù)是的被開(kāi)方數(shù)3的30倍，，所以位于第六行第五個(gè)數(shù)，記為．故最大的有理數(shù)位于第6行第2個(gè)數(shù)，記為．故答案為：．【拓展訓(xùn)練一勾股定理與無(wú)理數(shù)】1．（24-25八年級(jí)下·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是．【答案】/【分析】本題考查了勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，根據(jù)勾股定理求出斜邊的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．在直角三角形中，求得斜邊的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜邊長(zhǎng)，∴點(diǎn)A表示的實(shí)數(shù)是，故答案為：．2．（24-25八年級(jí)下·福建龍巖·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，在數(shù)軸上，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為1，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)，則點(diǎn)表示的數(shù)是【答案】/【分析】本題考查的是勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，正確運(yùn)用勾股定理求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵，要理解數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系．根據(jù)題意運(yùn)用勾股定理求出的長(zhǎng)，即可得到答案．【詳解】解：在中，，，，由勾股定理得，，則點(diǎn)表示的數(shù)為．故答案為：．3．（24-25八年級(jí)上·陜西渭南·期末）如圖，點(diǎn)O為數(shù)軸上的原點(diǎn)，的兩條直角邊長(zhǎng)分別為，，且點(diǎn)A在數(shù)軸上，請(qǐng)你在數(shù)軸的負(fù)半軸上畫(huà)出點(diǎn)C，使得點(diǎn)C表示的數(shù)為．（保留畫(huà)圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法）

【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，先根據(jù)勾股定理求出，再以原點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，進(jìn)而確定點(diǎn)C所表示的數(shù)即可．【詳解】解：的兩條直角邊長(zhǎng)分別為，，則，如圖，點(diǎn)即為所求作．

4．（24-25八年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）觀察圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1．(1)【理解】圖中陰影部分（正方形）的面積是______，邊長(zhǎng)是______．(2)【作圖】請(qǐng)你在數(shù)軸上，利用尺規(guī)作圖的方法表示出點(diǎn)的位置．(3)【識(shí)圖】過(guò)數(shù)軸的原點(diǎn)O作垂線(xiàn)l，以點(diǎn)A為圓心，為半徑畫(huà)弧，交l于點(diǎn)C，以O(shè)為圓心，為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)D，則點(diǎn)D表示的數(shù)為_(kāi)_____．【答案】(1)(2)作圖見(jiàn)詳解(3)【分析】本題主要考查數(shù)軸由實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，勾股定理的運(yùn)用，（1）根據(jù)格點(diǎn)的特點(diǎn)計(jì)算面積，根據(jù)求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根計(jì)算正方形的邊長(zhǎng)；（2）運(yùn)用勾股定理，即可求解；（3）根據(jù)題意可的，由勾股定理可得，由此即可求解．【詳解】（1）解：，∴陰影部分的邊長(zhǎng)為，故答案為：；（2）解：∵，∴作圖如下，，，∴，以點(diǎn)O為圓心，為半徑畫(huà)弧交數(shù)軸于點(diǎn)，∴點(diǎn)表示的數(shù)是；（3）解：點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，∴，∴，∴點(diǎn)D表示的數(shù)為，故答案為：．【拓展訓(xùn)練二無(wú)理數(shù)估算的幾何問(wèn)題】1．（24-25七年級(jí)下·陜西榆林·期末）小星同學(xué)探索的近似值的過(guò)程如下：由面積為2的正方形的邊長(zhǎng)是，可設(shè)，畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形如圖1所示，則大正方形的面積．再由大正方形的面積為2，得到，當(dāng)時(shí)，可忽略不計(jì)，則，解得，．請(qǐng)你仿照小星的探索過(guò)程，求出的近似值．（在圖2中畫(huà)出示意圖，標(biāo)注數(shù)據(jù)）【答案】【分析】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，仿照小星同學(xué)的探索過(guò)程解答即可．【詳解】解：面積為7的正方形的邊長(zhǎng)是，且，設(shè)，畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為的大正方形（如圖），圖中大正方形的面積．又，，當(dāng)時(shí)，可忽略不計(jì)，得方程，解得，．2．（24-25七年級(jí)下·湖北武漢·期中）如圖1，把一個(gè)面積為大正方形紙片沿對(duì)角線(xiàn)裁成四個(gè)三角形，然后再把這四個(gè)三角形拼成如圖2所示的兩個(gè)相同的小正方形．(1)直接寫(xiě)出小正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)__________；(2)小明要在一個(gè)小正方形中沿邊的方向裁出一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形，使它的長(zhǎng)寬之比為，問(wèn)能否成功，試說(shuō)明理由．【答案】(1)10；(2)能成功，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根，正方形的性質(zhì)，長(zhǎng)方形的性質(zhì)，熟練掌握算術(shù)平方根的意義是解題的關(guān)鍵．(1)利用正方形的性質(zhì)和算術(shù)平方根的意義解答即可；(2)設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬分別為，，長(zhǎng)方形的面積公式和算術(shù)平方根的意義求得長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，再與小正方形的邊長(zhǎng)作比較即可．【詳解】（1）解∶面積為大正方形拼成如圖2所示的兩個(gè)相同的小正方形，每個(gè)小正方形的面積為，小正方形的邊長(zhǎng)為．故答案為∶10；（2）解：在一個(gè)小正方形中沿邊的方向裁出一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形，使它的長(zhǎng)寬之比為，能成功．理由∶依題意設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為，，則，即，解得（不符合題意，舍去），，則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為，，即，小明可以剪出這樣的長(zhǎng)方形．3．（24-25七年級(jí)下·北京·期中）小李同學(xué)探索的近似值的過(guò)程如下：∵面積為150的正方形邊長(zhǎng)為，且，∴設(shè)，其中，畫(huà)出示意圖，如圖所示．根據(jù)示意圖，可得圖中正方形的面積為又∵，∴，當(dāng)時(shí)，可忽略，得：，解得：，∴．(1)的整數(shù)部分為_(kāi)_______；(2)仿照小李的探索過(guò)程，求的近似值．（畫(huà)出示意圖，標(biāo)注數(shù)據(jù)，并寫(xiě)出求解過(guò)程）【答案】(1)13(2)示意圖見(jiàn)解析，【分析】本題考查了估計(jì)無(wú)理數(shù)的大小，理解示例并合理解答是解題關(guān)鍵．（1）判斷出，即可解答；（2）仿造示例畫(huà)出圖形，可得，即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∴的整數(shù)部分為13，故答案為：13；（2）解：示意圖如圖所示：∵面積為176的正方形邊長(zhǎng)為，且，∴設(shè)，其中，根據(jù)示意圖，可得圖中正方形面積為，∵，∴，當(dāng)時(shí)，可忽略，得：，解得：，即．4．（24-25七年級(jí)下·北京·期中）（1）下面是小李探索的近似值的過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：我們知道面積是2的正方形的邊長(zhǎng)是，且．設(shè)，可畫(huà)出如下示意圖．結(jié)合圖形，可以得到_____．由題意可知，所以平方后變小，由此略去，得方程_____．解得_____．即_____．

（2）仿照上述方法，利用（1）的結(jié)論，再探究一次，使求得的的近似值更加準(zhǔn)確．（畫(huà)出示意圖，標(biāo)明數(shù)據(jù)，并寫(xiě)出求解過(guò)程，最后結(jié)果取到小數(shù)點(diǎn)后3位）．【答案】（1），，0.5，1.5；（2）見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖形面積公式即可得到答案；（2）仿照題意畫(huà)出示意圖進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）結(jié)合圖形，可以得到，得方程解得．即．故答案為：，，0.5，1.5；（2）如圖，由（1）可得，設(shè)，由圖形的面積可得以得，由題意可知，所以平方后變小，由此略去，得方程，解得，即．【拓展訓(xùn)練三實(shí)數(shù)的規(guī)律探究問(wèn)題】1．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）觀察下列兩組算式，解答下列問(wèn)題第一組：．第二組：．(1)由第一組可得結(jié)論：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，有______；(2)由第二組可得結(jié)論：當(dāng)時(shí)，______；(3)利用（1）（2）的結(jié)論計(jì)算：______；______．(4)當(dāng)時(shí)，計(jì)算的值．【答案】(1)(2)a(3)；(4)【分析】此題主要考查了算術(shù)平方根的計(jì)算以及與實(shí)數(shù)有關(guān)的規(guī)律問(wèn)題，根據(jù)已知能準(zhǔn)確歸納探究結(jié)果并能運(yùn)用其正確化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵，此題重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的歸納應(yīng)用能力．（1）根據(jù)題干數(shù)據(jù)規(guī)律即可求解；（2）根據(jù)題干數(shù)據(jù)規(guī)律即可求解；（3）由（1）的結(jié)論計(jì)算即可；（4）由（1）的結(jié)論計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴可得，故答案為：；（2）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，故答案為：；（3）解：；，故答案為：；；（4）解：∵∴．2．（24-25七年級(jí)下·貴州黔東南·階段練習(xí)）閱讀下列解題過(guò)程，解答問(wèn)題．；；；…(1)，；(2)觀察上面的解題過(guò)程，求（為自然數(shù)）；(3)計(jì)算：．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本題考查了數(shù)字的規(guī)律探索，算術(shù)平方根，熟練掌握運(yùn)算法則，正確得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意結(jié)合算術(shù)平方根的運(yùn)算法則計(jì)算即可得解；（2）根據(jù)題干所給例子得出結(jié)論即可；（3）根據(jù)（2）中得出的規(guī)律計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：由題意可得：，；（2）解：由題意可得：（為自然數(shù)）；（3）解：．3．（24-25七年級(jí)下·江蘇南通·期中）觀察下列式子：①；②；③；④．根據(jù)上述等式反映的規(guī)律，回答如下問(wèn)題：(1)根據(jù)上述等式的規(guī)律，寫(xiě)出一個(gè)類(lèi)似的等式：__________；(2)由等式①，②，③，④所反映的規(guī)律，可歸納出一個(gè)這樣的結(jié)論：對(duì)于任意兩個(gè)不相等的有理數(shù)a，b，若__________，則，反之也成立；(3)根據(jù)（2）中的結(jié)論，解答問(wèn)題：若與的值互為相反數(shù)，求x的值；(4)若與的值互為相反數(shù)，且，求a的值．【答案】(1)（答案不唯一）；(2)；(3)；(4)．【分析】本題考探索數(shù)字規(guī)律及立方根的含義，利用平方根的含義解方程，解題的關(guān)鍵是觀察閱讀材料得到規(guī)律，掌握立方根的定義．（1）觀察規(guī)律，寫(xiě)出一個(gè)類(lèi)似的等式即可；（2）用含、的式子表達(dá)規(guī)律即可得答案；（3）根據(jù)相反數(shù)的定義列方程求出的值．（4）根據(jù)相反數(shù)的定義可得，結(jié)合，再進(jìn)一步可得答案．【詳解】（1）解：（答案不唯一）；（2）解：當(dāng)時(shí)，則，反之也成立；（3）解：∵與的值互為相反數(shù)，則，解得．（4）解：與的值互為相反數(shù)，，，，，，．4．（24-25七年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）閱讀下列材料，解決問(wèn)題：材料一：設(shè)表示不大于x的最大整數(shù)，如，．材料二：求的值：∵，∴，∴，∴．材料三：2025數(shù)字構(gòu)成的巧合：；．2025年是僅有的平方年、立方年，不能不珍惜這神奇的一年．(1)；；．(2)已知n為整數(shù)，化簡(jiǎn)：（結(jié)果用含n的代數(shù)式表示）．(3)已知，，令，求．【答案】(1)，6，2(2)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，(3)【分析】本題主要考查了無(wú)理數(shù)關(guān)于整數(shù)部分的計(jì)算，估計(jì)無(wú)理數(shù)大小是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)定義：表示不大于x的最大整數(shù)，即可解答；（2）根據(jù)可得，再分和兩種情況求解；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論可得，由此求出a，b．代入求值即可．【詳解】（1）解：∵，∴∵，即：，∴；∵，，∴．故答案為：，6，2（2）∵n為整數(shù)，，∴，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（3）由（2）得，，∴∴．1．（24-25八年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）屬于無(wú)理數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫無(wú)理數(shù)，初中范圍內(nèi)常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有三類(lèi)：①類(lèi)；②開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)；③雖有規(guī)律但卻是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，根據(jù)無(wú)理數(shù)的特征即可解答．【詳解】A．是負(fù)整數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B．是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C．是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；D．，非完全平方數(shù)的平方根，無(wú)法化簡(jiǎn)為整數(shù)或分?jǐn)?shù)，是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，仍然是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，屬于無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．（24-25七年級(jí)下·安徽滁州·階段練習(xí)）若，則整數(shù)a的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本題主要考查無(wú)理數(shù)的估算；先估算的取值范圍，進(jìn)而可得結(jié)論即可．【詳解】解：∵，∴，即，∴，∴，故選：C．3．（24-25八年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）秦兵馬俑的發(fā)現(xiàn)被譽(yù)為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比約為，其中的范圍正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，無(wú)理數(shù)的估算常用夾逼法，用有理數(shù)夾逼無(wú)理數(shù)是解題的關(guān)鍵．用夾逼法估算無(wú)理數(shù)即可得出答案．【詳解】解：∵，∴即；故選：C．4．（24-25八年級(jí)下·福建福州·階段練習(xí)）如圖，已知于點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，那么數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，勾股定理，利用勾股定理求出，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)的位置即可求解，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)是，故選：．5．（24-25七年級(jí)下·山東德州·階段練習(xí)）下列說(shuō)法：①在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一個(gè)數(shù)如果不是有理數(shù)，則一定是無(wú)理數(shù)；②無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)；③無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)；④最小的實(shí)數(shù)是0；⑤帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)．其中錯(cuò)誤的共有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)，熟練掌握無(wú)理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)的定義來(lái)判斷正誤即可．【詳解】解：①在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一個(gè)數(shù)如果不是有理數(shù)，則一定是無(wú)理數(shù)，該選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；②無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)，該選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；③無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù)，該選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；④沒(méi)有最小的實(shí)數(shù)，該選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；⑤帶根號(hào)的數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)，比如，該選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；錯(cuò)誤選項(xiàng)有：②④⑤，故選：C．6．（24-25八年級(jí)下·河北唐山·期末）如圖是甲、乙兩張不同的紙片，將它們分別沿著虛線(xiàn)剪開(kāi)后，各自要拼一個(gè)與原來(lái)面積相等的正方形，則（

）A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以C．甲不可以，乙可以 D．甲可以，乙不可以【答案】A【分析】本題主要考查了圖形剪拼的相關(guān)知識(shí)，熟練掌握勾股定理與無(wú)理數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.首先根據(jù)圖形可得甲可以拼一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形；再根據(jù)圖形可得圖乙可以拼一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，據(jù)此進(jìn)行解答即可.【詳解】解：所作圖形如圖所示，甲乙都可以拼一個(gè)與原來(lái)面積相等的正方形．故選A．7．（24-25八年級(jí)下·浙江杭州·期中）如圖數(shù)陣是按一定規(guī)律排成的．規(guī)定：從上往下第a行，同時(shí)在該行，從左往右第b個(gè)數(shù)所在的位置用數(shù)對(duì)表示，如：數(shù)所在的位置可表示為，則數(shù)45所在的位置可表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了數(shù)字類(lèi)的規(guī)律探索，由題意得，第n行有n個(gè)數(shù)，且第k個(gè)數(shù)為，則可求出前n行一共有個(gè)數(shù)，數(shù)45是第2025個(gè)數(shù)，再確定數(shù)45在第64行，而偶數(shù)行是從左到右按照從小到大的順序排列，據(jù)此可確定數(shù)45的位置，則可得到答案．【詳解】解：由題意得，第n行有n個(gè)數(shù)，且第k個(gè)數(shù)為，∴前n行一共有個(gè)數(shù)，∵，∴數(shù)45是第2025個(gè)數(shù)，∵，∴數(shù)45在第64行，∵奇數(shù)行從左到右是按照從大到小的順序排列，偶數(shù)行是從左到右按照從小到大的順序排列，∴45在第64行第個(gè)數(shù)，∴數(shù)45所在的位置可表示為，故選：D．8．（24-25七年級(jí)下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）4．（填“>”、“<”或“=”）【答案】<【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較；根據(jù)可得，問(wèn)題得解．【詳解】解：∵，∴，即，故答案為：．9．（24-25七年級(jí)下·貴州黔東南·階段練習(xí)）數(shù)軸上到表示的點(diǎn)距離為的點(diǎn)表示的數(shù)是．【答案】0或【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、實(shí)數(shù)與數(shù)軸等知識(shí)點(diǎn)，掌握分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵．當(dāng)這個(gè)點(diǎn)在左邊和右邊兩種情況，分別列式即可．【詳解】解：當(dāng)這個(gè)點(diǎn)在左邊時(shí)，這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為：；當(dāng)這個(gè)點(diǎn)在右邊時(shí)，這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為：．故答案為：0或．10．（24-25七年級(jí)下·湖北黃石·階段練習(xí)）在，，，，，，（