第五章

計(jì)數(shù)原理

5.4.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)1.掌握二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，會(huì)進(jìn)行簡單的應(yīng)用.2.會(huì)用賦值法求二項(xiàng)展開式系數(shù)的和.復(fù)習(xí)回顧：1.二項(xiàng)式定理：2.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)：3.二項(xiàng)式系數(shù)：n(a+b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)12345611121133114641151010411615201051提示：(a+b)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)問題1：用計(jì)算工具計(jì)算

(a+b)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，并填入下表：思考：通過計(jì)算、填表、說說發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？每一行中的系數(shù)具有對稱性從函數(shù)角度分析：

可看成是以

r

為自變量的函數(shù)

f(r)，其定義域是{0，1，2，…，n}，對于確定的

n，還可以畫出圖象；如，當(dāng)

n=6時(shí)，函數(shù)

的圖象是7個(gè)離散點(diǎn)，如圖所示.對于(a+b)n的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)n=7n=8n=91.對稱性：由此我們可得二項(xiàng)式系數(shù)的以下性質(zhì)：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．事實(shí)上，這一性質(zhì)可直接由公式

得到.直線

將函數(shù)

的圖象分成對稱的兩部分，它是圖象的對稱軸.2.增減性與最大值：3.各二項(xiàng)式系數(shù)的和：已知

分析：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式的系數(shù)和為偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式的系數(shù)和為由于中的

a，b；可以取任意實(shí)數(shù)，因此我們可以通過對

a，b適當(dāng)賦值來得到上述兩個(gè)系數(shù)和.例1：求證：在

(a+b)n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和.思考：即因此即在

(a+b)n的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和證明：在展開式

中，令

a=1，b=-1，則得例2：已知

求：（1）a1+a2+…+a7；（2）a1+a3+a5+a7；（3）|a0|+|a1|+…+|a7|.解：（1）令

x=1，得：(1-2)7=a0+a1+a2+…+a7；∴a0+a1+a2+…+a7=-1；

令

x=0，得：a0=1，∴a0+a1+a2+…+a7=-1-a0=-1-1=-2；（2）令

x=1，得：

a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1①；

令

x=-1，得：

a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37②；

由①-②得：2(a1+a3+a5+a7)=-1-37；

∴a1+a3+a5+a7=-1094.例2：已知

求：（3）|a0|+|a1|+…+|a7|.（3）由展開式知

a1、a3、a5、a7均為負(fù)數(shù)，a0、a2、a4、a6均為正數(shù)；∴|a0|+|a1|+…+|a7|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7；

由（2）可知，a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37；∴|a0|+|a1|+…+|a7|=37=2187.解：(2-3x)15的展開式中共有

16項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)為第

8項(xiàng)和第

9項(xiàng)