第一篇熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破篇專題15幾何體與球切、接、截的問(wèn)題（練）【對(duì)點(diǎn)演練】一、單選題1．（2022秋·湖南張家界·高三慈利縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如下圖是一個(gè)正八面體，其每一個(gè)面都是正三角形，六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O與正八面體的體積之比是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由棱錐與球的體積公式求解，【詳解】由題意得正方形的中心即為外接球球心，設(shè)，則，球的體積為，而，故正八面體的體積，得，故選：A2．（2022秋·安徽六安·高三六安二中?？茧A段練習(xí)）2022年卡塔爾世界杯是第22屆世界杯足球賽，比賽于2022年11月21日至12月18日在卡塔爾境內(nèi)7座城市中的12座球場(chǎng)舉行．已知某足球的表面上有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、P滿足PA＝BC＝5，，，則該足球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把四面體外接球問(wèn)題擴(kuò)展到長(zhǎng)方體中，求出長(zhǎng)方體外接球半徑為R，進(jìn)而求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)镻A＝BC，，，所以可以把A，B，C，P四點(diǎn)放到長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，將四面體放入長(zhǎng)方體中，四面體各邊可看作長(zhǎng)方體各面的對(duì)角線，如圖所示：則該足球的表面積為四面體A-BCP外接球的表面積，即為長(zhǎng)方體外接球的表面積，設(shè)長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)為a，b，c，則有，，，設(shè)長(zhǎng)方體外接球半徑為R，則有，解得，所以外接球的表面積為：.故選：D．3．（2022秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)·商功》中描述很多特殊幾何體，例如“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，其一為鱉臑”，即如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體，沿對(duì)角面分開(kāi)（圖1），得到兩個(gè)一模一樣的塹堵（圖2），將其中一個(gè)塹堵，沿平面分開(kāi)（圖2），得到一個(gè)四棱錐稱為陽(yáng)馬（圖3），和一個(gè)三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若鱉臑的體積為4，且，則陽(yáng)馬的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合長(zhǎng)方體的性質(zhì)，由鱉臑（即三棱錐）的體積求得，進(jìn)而求得長(zhǎng)方體體對(duì)角線，即所求外接球直徑，即可求外接球表面積.【詳解】由切割過(guò)程可知，平面，，，∴，∴.為長(zhǎng)方體體對(duì)角線，即為的外接球直徑，，∴陽(yáng)馬的外接球的表面積為.故選：B4.（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）在三棱錐中，已知平面，，.若三棱錐的各頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理求出底面的外接圓半徑，將三棱錐補(bǔ)成三棱柱，過(guò)底面外接圓中心作垂線，則垂線的中點(diǎn)即為外接球球心，進(jìn)而即可求解.【詳解】在中，設(shè)其外接圓半徑為r，由正弦定理可得解得，三棱錐補(bǔ)成三棱柱，如圖設(shè)三棱錐外接球半徑為R，，所以球O的表面積為故選：D二、填空題5．（2022·四川廣安·廣安二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，.又點(diǎn)，，都在球的球面上，且點(diǎn)到平面的距離為，則球的體積為_(kāi)_____.【答案】【分析】首先求外接圓的半徑，再求球的半徑，最后求球的體積.【詳解】中，根據(jù)正弦定理，得,所以外接圓的半徑為2，又球心到平面的距離為，所以球的半徑，所以球的體積.故答案為：6．（2022秋·河南·高三安陽(yáng)一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某圓臺(tái)的上、下底面面積分別為和，高為2，上、下底面的圓周在同一球面上，則該圓臺(tái)外接球的表面積為_(kāi)_________．【答案】【分析】由題意圓臺(tái)上下底面的半徑分別為1和2，再分析兩底面在球心同側(cè)于異側(cè)時(shí)兩種情況，再設(shè)球的半徑為R，根據(jù)垂徑定理列式求解即可.【詳解】由題可知圓臺(tái)上下底面的半徑分別為1和2，外接球軸截面如圖所示，設(shè)球的半徑為R，當(dāng)兩底面在球心同側(cè)時(shí)，有，即，即，即，方程無(wú)解；當(dāng)兩底面在球心異側(cè)時(shí)，有，即，所以，即，則，．∴這個(gè)球的表面積是．故答案為：7．（2022秋·湖南株洲·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在四棱錐P－ABCD中，已知底面ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，其頂點(diǎn)P到底面ABCD的距離為4．該四棱錐的外接球O的半徑為7，若球心O在四棱錐P－ABCD內(nèi)，則頂點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)____________．【答案】【分析】畫出圖象，判斷出點(diǎn)的軌跡，結(jié)合勾股定理以及圓的周長(zhǎng)公式求得正確答案.【詳解】設(shè)正方形的中心為，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長(zhǎng)為的正方形，對(duì)角線長(zhǎng)為，所以該正方形外接圓半徑，所以球心O到底面ABCD的距離，又頂點(diǎn)P到底面ABCD的距離為4，點(diǎn)P在與底面ABCD平行的截面圓的圓周上，由球心O在四棱錐P－ABCD內(nèi)，可得截面圓的半徑，故頂點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為．故答案為：8.（2022·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考一模）已知是圓柱的一條母線，AB是圓柱下底面的直徑，C是圓柱下底面圓周上異于A，B的兩點(diǎn)，若圓柱的側(cè)面積為4π，則三棱錐—ABC外接球體積的最小值為_(kāi)__________【答案】【分析】首先根據(jù)題意建立、的關(guān)系式，再結(jié)合基本不等式即可求解最小值.【詳解】根據(jù)題意作圖如下：設(shè)底面圓半徑為，圓柱高設(shè)為，則根據(jù)圓柱的側(cè)面積為4π，可得，解得.因?yàn)橐约熬鶠橹苯侨切?，根?jù)三棱錐—ABC外接球的性質(zhì)可知，的中點(diǎn)即為球心.則，則，所以外接球的半徑.三棱錐—ABC外接球體積為，所以要外接球體積最小，只需要最小即可，又不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)成立.故三棱錐—ABC外接球體積的最小值為.故答案為：.9．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如東高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓臺(tái)的內(nèi)切球與圓臺(tái)側(cè)面相切的切點(diǎn)位于圓臺(tái)高的處，若圓臺(tái)的上底面半徑為，則球的體積為_(kāi)_____.【答案】【分析】求得圓臺(tái)的高，也即求得球的直徑，進(jìn)而求得球的半徑，從而求得球的體積.【詳解】圓臺(tái)的上底面半徑為，由于圓臺(tái)的內(nèi)切球與圓臺(tái)側(cè)面相切的切點(diǎn)位于圓臺(tái)高的處，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可知：圓臺(tái)的下底面半徑為，母線長(zhǎng)為，所以圓臺(tái)的高為，也即球的直徑為，半徑為，所以球的體積為.故答案為：10．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）棱長(zhǎng)分別為的長(zhǎng)方體的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為_(kāi)_____，體積為_(kāi)_____．【答案】

【分析】長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的交點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，利用體對(duì)角線公式求得半徑，結(jié)合球的表面積和體積公式，即得解.【詳解】由題意，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的交點(diǎn)到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即球心即為體對(duì)角線交點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線的一半，即球的半徑，則球的表面積為，球的體積為故答案為：；【沖刺提升】一、單選題1．（2022秋·江蘇淮安·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，已知三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面ABC，AC＝BC＝2，，點(diǎn)D在上底面（包括邊界）上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐D-ABC的外接球表面積的范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由條件確定球心位置，建立關(guān)于球的半徑的表達(dá)式，從而求出半徑的取值范圍即可.【詳解】如下圖所示：因?yàn)闉榈妊苯侨切?，，所以的外接球的截面圓心為的中點(diǎn)，且，連接與的中點(diǎn)，則，所以面.設(shè)球心為，由球的截面性質(zhì)可知，在上，設(shè)，，半徑為，因?yàn)?，所以，所以，又，所以解?因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，外接球表面積最小為，當(dāng)時(shí)，外接球表面積最大為.所以三棱錐D-ABC的外接球表面積的范圍為.故選：A2．（2022秋·江蘇南京·高三南京師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)面為正三角形，則其外接球體積最小值為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)二面角的大小為，由得外接圓半徑最大值，再由球的體積公式求解，【詳解】設(shè)二面角的大小為，中點(diǎn)為，正方形的中心為，則，，，則，到底面的距離為，設(shè)球心到底面的距離為，而正方形的外接圓半徑為，則，而由得，，恒成立，故最小值為，，即外接球體積最小值為，故選：C二、多選題3．（2022秋·安徽·高三石室中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正四棱臺(tái)上?下底面的面積分別為2和8，高為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．正四棱臺(tái)外接球的表面積的最小值為B．當(dāng)時(shí)，正四棱臺(tái)外接球球心在正四棱臺(tái)下底面下方C．正四棱臺(tái)外接球的半徑隨的增大而增大D．當(dāng)時(shí)，正四棱臺(tái)存在內(nèi)切球【答案】ABD【分析】首先根據(jù)題干得到正四棱臺(tái)的上下底面的半徑,再分別按照選項(xiàng)的內(nèi)容研究正四棱臺(tái)的外接球和內(nèi)切球,即可解決.【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)上?下底面的外接圓的半徑分別為，，外接球的半徑為，球心為O，因?yàn)檎睦馀_(tái)的上?下底面面積分別為2和8，所以上?下底面的邊長(zhǎng)分別為，，所以，，設(shè)球心O到上底面的距離為d，則或，所以，所以，當(dāng)時(shí)，外接球半徑最小，此時(shí)，所以外接球的表面積的最小值為，故正確.易知和時(shí)，，故不正確.當(dāng)時(shí)，所以，所以外接球球心在正四棱臺(tái)下底面下方，故正確.正四棱臺(tái)內(nèi)切球存在時(shí)，內(nèi)切球大圓是圖中梯形ABCD的內(nèi)切圓，圓心是上?下底面中心?連線的中點(diǎn)，，設(shè)圓的半徑為r，則，由可知，，同理，，故可知，在中，，所以，.故正確.故選:.4．（2022秋·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕亟牵唇厝ニ拿骟w的四個(gè)頂點(diǎn)處的小棱錐所得的多面體，如圖所示，將棱長(zhǎng)為的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面，得到所有棱長(zhǎng)均為的截角四面體，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．該截角四面體的內(nèi)切球體積 B．該截角四面體的體積為C．該截角四面體的外接球表面積為 D．外接圓的面積為【答案】BD【分析】根據(jù)內(nèi)切球的直徑等于正四面體高的可求解A項(xiàng)，利用每個(gè)截角體積等于正四面體體積的可求解B項(xiàng)，利用勾股定理求外接球的半徑可求解C項(xiàng)，利用勾股定理可確定的斜邊長(zhǎng)，進(jìn)而求解D項(xiàng).【詳解】該四面體底面正三角形的高等于，所以四面體的高，由圖可知，該截角四面體的內(nèi)切球的直徑等于，所以內(nèi)切球的體積等于，故A錯(cuò)誤；正四面體的體積，所以剪掉一個(gè)角的體積等于，所以該截角四面體的體積為,故B正確；取上下底面的中心為,外接球的球心為，連接如圖，因?yàn)榻亟撬拿骟w上下底面間的距離等于，設(shè)外接球的半徑等于，因?yàn)闉檫呴L(zhǎng)等于的正三角形，所以的高等于，所以,又因?yàn)橄碌酌鏋檎呅危?，所以即所以解得，所以，故C錯(cuò)誤；連接，則,所以，由正四面體對(duì)棱互相垂直可知，,所以在直角中，，所以外接圓的面積為，故D正確.故選:BD.5．（2022秋·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)為線段（包含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）．A．三棱錐的體積為定值B．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某個(gè)位置使得平面C．截面三角形面積的最大值為D．當(dāng)三棱錐為正三棱錐時(shí)，其內(nèi)切球半徑為【答案】AC【分析】對(duì)于A，證明平面，從而可得上所有點(diǎn)到平面的距離不變，即可判斷；對(duì)于B，假設(shè)平面BQC，從而可得，，即可判斷；對(duì)于C，要使截面三角形面積的最大，只要Q到BC的距離最大，過(guò)Q作于F，過(guò)F作于G，連接QG，求出的最大值即可；對(duì)于D，利用等體積法求解即可.【詳解】解：A.，而為定值．連接，因?yàn)榍?，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，所以上所有點(diǎn)到平面的距離不變，所以三棱錐的高不變，所以為定值，故A正確；B．若平面BQC，平面BQC，則，又，所以，不正確，故B錯(cuò)誤；C．因?yàn)锽C為定值，所以只要Q到BC的距離最長(zhǎng)，過(guò)Q作于F，過(guò)F作于G，連接QG，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面，又平面，則，要使QG最長(zhǎng)，只需QF最長(zhǎng)，即Q點(diǎn)在時(shí)，最長(zhǎng)，此時(shí)，故C正確，D．當(dāng)Q在A點(diǎn)時(shí)，為正三棱錐，設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的半徑為，由等體積法，所以，所以，故D錯(cuò)誤．故選：AC.6．（2022秋·河北邢臺(tái)·高三河北南宮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形中，為的中點(diǎn)，將沿直線翻折到的位置，連接和為的中點(diǎn)，在翻折過(guò)程中，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．面面B．線段長(zhǎng)度的取值范圍為C．直線和所成的角始終為D．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，點(diǎn)在三棱錐外接球的外部【答案】AC【分析】利用線面垂直的判定可得面，可判斷A選項(xiàng)；取中點(diǎn)，連接，，結(jié)合余弦定理，求得，并判斷B選項(xiàng)；利用幾何法將與的夾角轉(zhuǎn)化為與的夾角，判斷C選項(xiàng)；將幾何體還原為長(zhǎng)方體，求得外接球半徑，進(jìn)而判斷D選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：連接，由題意在菱形中，，為的中點(diǎn)，所以，又，由余弦定理，故，，所以，同理，又，平面，故平面，又面，故面面，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：如圖所示，取中點(diǎn)，連接，，所以，且，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，且.又由A選項(xiàng)得，，所以且，所以，，在中，由余弦定理得：，即，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：由B選項(xiàng)得，所以直線和所成角即為與所成角，又，故，故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，平面，由四邊形為菱形，且，，故，，故在的外接圓內(nèi)，又的外接圓在三棱錐外接球的內(nèi)部，故點(diǎn)在三棱錐外接球的內(nèi)部，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC三、填空題7．（2022秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知半徑為的球O的表面上有A，B，C，D四點(diǎn)，且滿足平面，，則四面體的體積最大值為_(kāi)____________；若M為的中點(diǎn)，當(dāng)D到平面的距離最大時(shí)，的面積為_(kāi)____________．【答案】

；

【分析】第一空，設(shè)，則滿足，即可列出體積函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)法求最值.第二空在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)D向作垂線，垂足為H，則D到平面的距離為，由求得，由均值不等式可得最大值，即可得的各邊長(zhǎng)，從而求得面積.【詳解】第一空，設(shè)，球心O即為的中點(diǎn)，所以．四面體的體積，所以，令，得（負(fù)值舍去），當(dāng)時(shí)，，V單調(diào)遞增：當(dāng)時(shí)，，V單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，．第二空，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)D向作垂線，垂足為H，則D到平面的距離為．∵，∴，∴,即．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以．此時(shí)，所以的面積為．故答案為：；.8．（2022秋·江蘇常州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在正四面體中，為邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作該正四面體外接球的截面，記最大的截面面積，最小的截面面積為，則__________；若記該正四面體內(nèi)切球和外接球的體積分別為和，則__________．【答案】

【分析】將正四面體放置于正方體中，則正方體的外接球就是正四面體的外接球．由外接球的直徑等于正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，求出外接球的半徑，再利用球的截面圓性質(zhì)可算出截面面積的最小值T、最大值S，可得；用等體積法求出正四面體內(nèi)切球的半徑，進(jìn)而得出其體積，再求出外接球的體積，即可得出．【詳解】將正四面體放置于正方體中，如圖所示，可得正方體的外接球就是正四面體的外接球，外接球的球心O為正方體的體對(duì)角線DF的中點(diǎn)，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則正方體的棱長(zhǎng)為，因?yàn)橥饨忧虻闹睆降扔谡襟w的對(duì)角線長(zhǎng)，所以外接球的半徑為，E為BC邊的中點(diǎn)，過(guò)E作該正四面體外接球的截面，當(dāng)截面過(guò)球心O時(shí)，截面面積最大，最大值為，當(dāng)截面到球心O的距離最大時(shí)，截面圓的面積取最小值，此時(shí)球心O到截面的距離為，可得截面圓的半徑為，從而截面面積的最小值為．所以；設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為G，半徑為，取底面BCD的中心H，連接AH，則AH為正四面體的高，G在AH上，H在DE上，正四面體的每個(gè)面的面積為，，正四面體的高，故正四面體的體積為，連接G與正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)可以得到4個(gè)的正三棱錐，每個(gè)正三棱錐體積為，則，所以，求得，故正四面體內(nèi)切球的體積，正四面體外接球的半徑為，外接球的體積為，．故答案為：；27．9．（2022·河南·統(tǒng)考一模）如圖，在梯形ABCD中，，將沿邊AC翻折，使點(diǎn)D翻折到P點(diǎn)，且，則三棱錐外接球的表面積是___________.【答案】【分析】先證明出面，作出的外心，過(guò)作，判斷出三棱錐外接球的球心必在直線上，設(shè)外接球的半徑為，利用球的性質(zhì)列方程求出，即可求出三棱錐外接球的表面積.【詳解】在梯形ABCD中，，所以梯形ABCD為等腰梯形，.因?yàn)?，所以，所以，?所以，.因?yàn)?所以，所以.又面,面,,所以面.在中，作出其外心如圖所示：所以,.過(guò)作，由球的性質(zhì)可知，三棱錐外接球的球心必在直線上.設(shè)外接球的半徑為，由球的性質(zhì)可得：，即，解得：.所以三棱錐外接球的表面積為.故答案為：.10．（2022秋·廣東深圳·高三深圳中學(xué)校考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在鱉臑中，平面ABC.已知，，，請(qǐng)寫出平面的直角：_____________；若P，A，B，C都在球O的球面上，則球O的表面積為_(kāi)___________.【答案】

（或）

【分析】證明平面得到，將放入長(zhǎng)方體中，計(jì)算，得到球的表面積.【詳解】平面，平面，故，，故，，平面，故平面，平面，故，；將放入長(zhǎng)方體中，如圖所示：外接球的半徑為，故表面積為.故答案為：；11．（2022秋·江蘇常