高考不等式試題題型及解法分析案例概述目錄TOC\o"1-3"\h\u27180高考不等式試題題型及解法分析案例概述 1152661.1不等式的性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題 187731.1.1判斷命題是否成立 1300131.1.2利用不等式的性質(zhì)比較大小 2245481.2解不等式問(wèn)題 2196331.2.1直接解不等式問(wèn)題 2147691.2.2間接考察解不等式 3274971.3線性規(guī)劃問(wèn)題 5295121.3.1基本的線性規(guī)劃問(wèn)題 5120371.3.2線性規(guī)劃問(wèn)題模型的應(yīng)用問(wèn)題 6170111.4不等式的證明問(wèn)題 7128371.1.1導(dǎo)數(shù)與不等式的證明 7110831.1.2圓錐曲線與不等式的證明 81.1不等式的性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題1.1.1判斷命題是否成立這種題型一般需要熟練掌握實(shí)數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等知識(shí)及不等式的性質(zhì)的知識(shí)。并且命題中常與充要條件的判斷相結(jié)合。例5.1（2022年高考全國(guó)II卷理數(shù)6）若a>b，則 .A.ln（a?b）>0B.分析：取a=2,b=l，滿足a>b,ln(a?b)=0，知A錯(cuò)，排除A；因?yàn)?=3a>3b=3，知B錯(cuò)，排除B；取a=1,b=—2，滿足a〉b，1=|a|<|b|=2，知D錯(cuò)，排除D，因?yàn)槔?.2（2021年高考天津卷理數(shù)）設(shè)x∈R，則｜x?A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件分析：由絕對(duì)值不等式｜x?12|<12解得由x3<1，得x<1據(jù)此可知｜x?121.1.2利用不等式的性質(zhì)比較大小例5.3（2022年高考全國(guó)I卷理數(shù)3）已知a=log20.2,b=20.2,c=A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a分析：這道題運(yùn)用中間量0比較a,c的大小，運(yùn)用中間量1比較b和c的大小.a=log20.2<log21=0,b=20.2>2°=1,0<O.20.3<0.2°=1，則0<c<l,a<c<b.例5.4（2021年高考全國(guó)III卷理數(shù)12）設(shè)a=log0.20.3,b=log20.3，則A.a+b<ab<0 B.ab<a+b<0 C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b分析：這道題解題過(guò)程需要借助對(duì)數(shù)的換底公式1a=log0.30.2,1b=log0.30.2對(duì)數(shù)運(yùn)算得到0<1a-+1b<1，即0<a+bab<1，又a>0,b<0，所以ab1.2解不等式問(wèn)題1.2.1直接解不等式問(wèn)題直接考查解不等式知識(shí)的試題，另一類為以不等式為解題工具的綜合問(wèn)題。常與集合、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、幾何等知識(shí)進(jìn)行綜合考查。(1）直接解不等式問(wèn)題例5.5(2022年高考全國(guó)I卷理數(shù)）已知集合M={x|?4<x<2},N={x|x2?x?6<0}A.{x|?4<x<3} B.{x|?4<x<?2}C.{x|?2<x<2}D.{x|2<x<3}分析：本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。采取數(shù)軸表示法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題。詳解：由題意得，={x|-4<x<2},N=k|T<x<3，則MfW=kl_2<x<2.例5.6(2022年高考江蘇卷4）函數(shù)y=7+6x?x2分析：本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了一元二次不等式的解法。依據(jù)根式下的實(shí)數(shù)大于等于0解一元二次不等式，得出答案.詳解：由7+6x?x2x2—6x—7<0，解的：?1≤x≤例5.7(2021年高考浙江卷15）已知λ∈R，函數(shù)f(x)=時(shí)，不等式f(x)<0的解集是 .分析：本題考查了分段函數(shù)不等式?？梢愿鶕?jù)分段函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集得出結(jié)果。本題先討論一次函數(shù)零點(diǎn)的取法，再對(duì)應(yīng)確定二次函數(shù)零點(diǎn)的取法，即得參數(shù)入的取值范圍。詳解：由題意的x≥2x?4<0，x<2x2?4x+3<0所以2≤x<4或1<x<2例5.8(2021年高考全國(guó)I卷理數(shù)23）已知f(x)=|x+l|-|ax-l|，當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；分析：本題考查了解絕對(duì)值不等式，需借助函數(shù)的圖像及分類討論思想進(jìn)行求解。當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=|x+l|-|ax-l|，即f(x)=?2，x故不等式f(x)>1的解集借助圖像，或分類討論法可得不等式的解集為x1.2.2間接考察解不等式在一些不等式與其他問(wèn)題的綜合問(wèn)題中，解不等式是此類問(wèn)題的關(guān)鍵一環(huán)。通過(guò)不等關(guān)系解不等式，并從解不等的結(jié)果中篩選出所需的值，或者解不等式的結(jié)果作為下一步運(yùn)算或分析問(wèn)題的依據(jù)。以不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合問(wèn)題為例，通過(guò)解不等式的結(jié)果為下一步判斷函數(shù)的單調(diào)性服務(wù)。例5.9(2020年高考全國(guó)III卷理數(shù)20(1)）已知函數(shù)f(x)=x?\?a\nx.(1）若/(x)>0，求a的值；分析：本題是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題與不等式結(jié)合的問(wèn)題，考查了解不等式的內(nèi)容。解題過(guò)程為f(x）的定義域?yàn)椋?，+∞).①若a≤0因?yàn)閒(12②若a>0，由f(x)=l?ax=x?ax知，當(dāng)x∈e(0,a）時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x∈e(a,+∞）時(shí)，f(x)>0，所以f(x）在（0,a）單調(diào)遞減，在（0，∞）單調(diào)遞增，故x=a是f(x）在x∈(0,+∞）上的唯一最小值點(diǎn).由于f(1)=0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，例5.10(2020年高考全國(guó)III卷理數(shù)6）設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+π3是（)A.f(x）的一個(gè)周期為-2πB.y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=8πC.f(x+π)的一個(gè)零點(diǎn)為X=π6D.f(x)在(π2分析：當(dāng)要判定三角函數(shù)的單一性時(shí)，這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是要在解決了不等式之后，獲得了一個(gè)函數(shù)的單一間隔，然后用不等式的解決方法來(lái)與D選項(xiàng)進(jìn)行對(duì)比,令2kπ≤x+π3≤2kπ所以2kπ-π3≤x+2kπ+2π3.可知函數(shù)y2kπ?π所以當(dāng)k=0時(shí)，y=cos(x+π3)的單減區(qū)間為?π3,2π31.3線性規(guī)劃問(wèn)題1.3.1基本的線性規(guī)劃問(wèn)題例5.11（2022年高考天津卷理數(shù)2）設(shè)變量MV滿足約束條件:x+y?2標(biāo)函數(shù)z=?4x+y圖1分析：由不等式組所代表的一個(gè)平面范圍，就像是在圖中的一個(gè)影子，而它的幾何含義就是，它所代表的一條直線y=4x+z在y軸上的截距離，并且當(dāng)它達(dá)到最大時(shí)，Z會(huì)有一個(gè)最大的數(shù)值，所以它的目的就是要在點(diǎn)A上獲得最大的結(jié)果x?y+2=0的A(-1,1)，所以z1.3.2線性規(guī)劃問(wèn)題模型的應(yīng)用問(wèn)題在二元不等式中，線性優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模是一種將數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模相融合的工具，它能將數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模相融合，從而在數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)上，將數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)建模相融合，從而在數(shù)學(xué)建模中得到應(yīng)用。例5.12（2022年高考北京卷理數(shù)5）若x,y滿足｜x|≤1?y，且y≥l，則3x+yA.-7B.1C.5D.7分析題目中的線形指標(biāo)與一般同學(xué)們常見(jiàn)的指標(biāo)有些不同，所以要取其絕對(duì)數(shù)值，執(zhí)行等效的變型。由題意?1≤yy?1≤x≤圖2設(shè)z=3x+y,y=z-3x，當(dāng)直線l0:y=z~3x經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,-1）時(shí)，z取最大值5.例5.13（2021年高考北京卷理數(shù)8）設(shè)集合A={(A.對(duì)任意實(shí)數(shù)a，(2,1)∈A B.對(duì)任意實(shí)數(shù)a，（2,1）∈AC.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí)，（2,1）∈A D.當(dāng)且僅當(dāng)a≤32時(shí)，分析：此問(wèn)題與一般的線性規(guī)劃問(wèn)題在命題方式上有所區(qū)別，對(duì)同學(xué)們的知識(shí)點(diǎn)要求很高。1.4不等式的證明問(wèn)題1.1.1導(dǎo)數(shù)與不等式的證明例5.14(2021年高考全國(guó)III卷理數(shù)21）已知函數(shù)f（1）若a=0，證明：當(dāng)?l<x<0時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>0時(shí)，f分析：這道題是函數(shù)不等式的例子，首先需要借助導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。（2）當(dāng)1=0時(shí)f(X)=(2+x)ln(l+x)-2x,f設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)=ln(l+x）一x1+x，則g'(x)=x((1+x)2當(dāng)-1x>0時(shí)，g'(x)>0.故當(dāng)x>-l時(shí)，g(x)≥g(0)=0,且僅當(dāng)x=0時(shí)，g(x)=0,從而f'(x)≥0,且僅當(dāng)x=0時(shí)，f'(x)=o.所以f(X)在(-1,+∞)單調(diào)遞增.又f(0)=0,故當(dāng)-1<x<0時(shí)，f(X)<0；當(dāng)X>0時(shí)，f(x)>0.1.1.2圓錐曲線與不等式的證明例5.15(2021年高考全國(guó)III卷理數(shù)20)已知斜率為上的直線，與橢圓C：x24+y23=1交于A,B兩點(diǎn)。線段(1)證明：k<-1分析：(1)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)則x124+y123=1,x22得x1+x24+y1+y23.k=0.由題可知x1+x22=1，y1+y22=m，于是k=?31.1.3重要不等式定理與不等式的證明例5.16(2022年高考全國(guó)I卷理數(shù)23)已知a,b,c為正數(shù)，且滿足abc=1.證明：（1）1a-+1b-+1c-<a2+b2+c2（2）