2025年數(shù)學(xué)科學(xué)專升本概率論試卷（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)事件A與B互斥，且P(A)>0,P(B)>0，則下列結(jié)論正確的是（）。（A）A與B獨(dú)立（B）A與B不獨(dú)立（C）A與B互為對立事件（D）A與B可能獨(dú)立2.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=c(k+1)/2^k,k=1,2,3,4，則常數(shù)c=（）。（A）1/8（B）1/4（C）1/2（D）13.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={aexp(-|x|),x∈R;0,其他}，則a的值為（）。（A）1（B）1/2（C）1/√2π（D）1/π4.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X～N(μ1,σ1^2)，Y～N(μ2,σ2^2)，則X+Y的分布是（）。（A）N(μ1+μ2,σ1^2+σ2^2)（B）N(μ1+μ2,σ1σ2)（C）N(μ1μ2,σ1^2σ2^2)（D）N(μ1μ2,σ1+σ2)5.設(shè)X是只取兩個值的隨機(jī)變量，且E(X)=1/3，D(X)=5/9，則X的分布律為（）。（A）P(X=1)=1/3,P(X=2)=2/3（B）P(X=1)=1/2,P(X=2)=1/2（C）P(X=1)=1/4,P(X=2)=3/4（D）P(X=1)=2/3,P(X=2)=1/3二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分。6.設(shè)P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(A∪B)=0.7，則P(A|B)=_______。7.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)=c/k(k+1),k=1,2,3，則P(X≤2)=_______。8.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)={1/π(1+x^2),x∈(-∞,∞);0,其他}，則P(X>0)=_______。9.設(shè)隨機(jī)變量X～N(0,1)，Y=X^2，則E(Y)=_______。10.設(shè)X與Y相互獨(dú)立，且E(X)=2,E(Y)=3,D(X)=1,D(Y)=4，則E(3X-2Y+5)=_______。三、計算題：本大題共4小題，共40分。11.（本題滿分10分）甲乙兩人約定在下午1點(diǎn)到2點(diǎn)之間在某地會面。他們約定先到者等待另一人15分鐘，過時就離開。設(shè)兩人在下午1點(diǎn)到2點(diǎn)之間到達(dá)該地的時刻是相互獨(dú)立的，且都是均勻分布在[0,60]分鐘上。求兩人能會面的概率。12.（本題滿分10分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x)={kx^2,0<x<3;0,其他}。（1）求常數(shù)k；（2）求P(1<X<2)。13.（本題滿分10分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～B(10,0.3)，Y～N(0,4)。（1）求E(XY)；（2）求D(X-2Y)。14.（本題滿分10分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=-1)=0.2,P(X=0)=0.3,P(X=1)=0.5，求E(X),E(X^2),D(X)。四、綜合應(yīng)用題：本大題共2小題，共30分。15.（本題滿分15分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且都服從N(0,1)分布。令U=X+Y，V=X-Y。（1）求隨機(jī)變量U的密度函數(shù)f_U(u)；（2）求隨機(jī)變量V的密度函數(shù)f_V(v)；（3）求U和V的相關(guān)系數(shù)ρ_{UV}。16.（本題滿分15分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律如下表所示（只給出部分，其余為0）：||Y=0|Y=1||-------|--------|--------||X=0|0.1|a||X=1|0.2|0.3|已知E(XY)=0.5，求：（1）常數(shù)a的值；（2）X和Y是否相互獨(dú)立？請說明理由；（3）求E(X|Y=1)。---試卷答案一、選擇題1.B2.C3.D4.A5.C二、填空題6.1/37.1/38.1/29.1/π10.1三、計算題11.解：設(shè)X,Y分別為甲乙兩人到達(dá)時刻（單位：分鐘），則X,Y～U(0,60)。兩人能會面，當(dāng)且僅當(dāng)|X-Y|≤15。P(會面)=P(|X-Y|≤15)=∫_0^60∫_max(0,x-15)^(x+15)(1/3600)dydx=∫_0^15∫_0^(x+15)(1/3600)dydx+∫_15^45∫_(x-15)^(x+15)(1/3600)dydx+∫_45^60∫_(x-15)^(60)(1/3600)dydx=(15/60)(15/60)+(45-15)(30/60)(1/60)+(60-45)(15/60)(1/60)=1/4+1/2+1/8=7/8答：兩人能會面的概率為7/8。12.解：（1）∫_0^3kx^2dx=1=>k(3^3)/3=1=>k=1/9。但題目給定f(x)=kx^2,0<x<3,其他為0。此密度函數(shù)形式不標(biāo)準(zhǔn)，通常指x^2而非x^2。若按x^2形式，k=1/9。若按x形式，需歸一化常數(shù)。根據(jù)常見題型，應(yīng)理解為x^2形式。若f(x)=kx^2,0<x<3,則∫_0^3kx^2dx=k(3^3)/3=27k=1=>k=1/27。P(1<X<2)=∫_1^2(1/27)x^2dx=(1/27)*(x^3/3)|_1^2=(1/27)*(8/3-1/3)=7/81。（修正：題目寫法模糊，標(biāo)準(zhǔn)寫法應(yīng)為f(x)=kx,0<x<3。若按f(x)=kx，∫_0^3kxdx=k(3^2)/2=9k/2=1=>k=2/9。P(1<X<2)=∫_1^2(2/9)xdx=(2/9)*(x^2/2)|_1^2=(1/9)*(4-1)=1/3。）（再修正：題目寫法應(yīng)為f(x)=kx^2。）若f(x)=kx^2,0<x<3,則∫_0^3kx^2dx=k(3^3)/3=27k=1=>k=1/27。P(1<X<2)=∫_1^2(1/27)x^2dx=(1/27)*(x^3/3)|_1^2=(1/27)*(8/3-1/3)=7/81。13.解：（1）E(XY)=E(X)E(Y)（因X,Y獨(dú)立）E(X)=np=10*0.3=3E(Y)=0所以E(XY)=3*0=0。（2）D(X-2Y)=D(X)+4D(Y)（因X,Y獨(dú)立，D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)）D(X)=np(1-p)=10*0.3*(1-0.3)=10*0.3*0.7=2.1D(Y)=σ^2=4所以D(X-2Y)=2.1+4*4=2.1+16=18.1。14.解：E(X)=(-1)*0.2+0*0.3+1*0.5=-0.2+0+0.5=0.3。E(X^2)=(-1)^2*0.2+0^2*0.3+1^2*0.5=0.2+0+0.5=0.7。D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=0.7-(0.3)^2=0.7-0.09=0.61。四、綜合應(yīng)用題15.解：（1）U=X+Y。因X,Y獨(dú)立同N(0,1)，X+Y～N(0+0,1+1)=N(0,2)。f_U(u)=(1/√(2π*2))*exp(-(u-0)^2/(2*2))=(1/√4π)*exp(-u^2/4)=√(1/π)*exp(-u^2/4)。（2）V=X-Y。因X,Y獨(dú)立同N(0,1)，X-Y～N(0-0,1+1)=N(0,2)。f_V(v)=(1/√(2π*2))*exp(-(v-0)^2/(2*2))=(1/√4π)*exp(-v^2/4)=√(1/π)*exp(-v^2/4)。（3）ρ_{UV}=Cov(U,V)/(σ_Uσ_V)。Cov(U,V)=Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(Y,X)-Cov(Y,Y)=D(X)-0+0-D(Y)=1-1=0。σ_U=√Var(U)=√2，σ_V=√Var(V)=√2。所以ρ_{UV}=0/(√2*√2)=0。答：f_U(u)=√(1/π)*exp(-u^2/4)，f_V(v)=√(1/π)*exp(-v^2/4)，ρ_{UV}=0。16.解：（1）由聯(lián)合分布律性質(zhì)，∑∑P(X=x,Y=y)=1。P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=1。0.1+a+0.2+0.3=1=>a+0.6=1=>a=0.4。（2）X和Y相互獨(dú)立，當(dāng)且僅當(dāng)P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)對所有x,y成立。計算邊緣分布律：P(X=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0.1+0.4=0.5。P(X=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.2+0.3=0.5。P(Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=0)=0.1+0.2=0.3。P(Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=1)=0.4+0.3=0.7。檢查獨(dú)立性：P(X=0,Y=0)=0.1,P(X=0)P(Y=0)=0.5*0.3=0.15≠0.1。由于一個例子不獨(dú)立，則X和Y不相互獨(dú)立。（3）E(XY)=(-1)*0*0.1+(-1)*1*0.4+1*0*0.2+1*1*0.3=0-0.4+0+0.3=-0.1。E(X)=(-1)*0.5+1*0.5=-0.5+0.5=0。E(Y)=0*0.3+1*0.7=0+0.7=0.7。E(X|Y=1)=Σ_xP(X=x|Y=1)*x。P(X=-1|Y=1)=P(X