2025年物理學專升本量子力學（含答案）考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題2分，共10分。請將正確選項的字母填在題后的括號內(nèi)。）1.下列哪個不是量子力學的基本假設？（）A.系統(tǒng)的狀態(tài)可以用波函數(shù)描述B.測量一個可觀測量時，系統(tǒng)的狀態(tài)會發(fā)生坍縮C.一個粒子可以同時處于多個狀態(tài)D.不確定性關(guān)系適用于任何粒子2.一維無限深勢阱中，粒子處于基態(tài)時，其概率密度在勢阱中部為零，這體現(xiàn)了（）。A.波函數(shù)的連續(xù)性B.波函數(shù)的歸一化C.粒子的概率分布均勻D.粒子的概率密度在阱中部的值為零3.在量子力學中，算符的平均值與經(jīng)典力學中的平均值在意義上有何不同？（）A.量子力學中的平均值是概率意義上的平均值，經(jīng)典力學中的平均值是瞬時值B.量子力學中的平均值是瞬時值，經(jīng)典力學中的平均值是概率意義上的平均值C.兩者沒有本質(zhì)區(qū)別D.量子力學中的平均值沒有意義，經(jīng)典力學中的平均值才有意義4.氫原子中，電子從n=3能級躍遷到n=2能級，輻射光子的波長屬于（）。A.紫外線B.可見光C.紅外線D.X射線5.下列哪個物理量不是守恒量？（）A.哈密頓量B.角動量C.能量D.動量二、填空題（每題2分，共10分。請將答案填在題后的橫線上。）1.波函數(shù)ψ滿足的歸一化條件是。2.一維自由粒子（不受力）的波函數(shù)ψ(x,t)可以表示為。3.海森堡不確定性關(guān)系可以表示為。4.氫原子中，電子處于2p態(tài)時，其主量子數(shù)n=，角量子數(shù)l=。5.算符ā作用于波函數(shù)ψ得到。三、計算題（每題10分，共50分。請寫出詳細的解題過程。）1.一維無限深勢阱中，勢阱寬度為a，粒子處于基態(tài)，求粒子在x=a/2處的概率密度。2.一維線性諧振子，勢能函數(shù)為V(x)=1/2mw^2x^2，求諧振子的能級表達式。3.氫原子中，電子從n=4能級躍遷到n=2能級，求輻射光子的頻率。4.一粒子在無限長方體勢阱中運動，勢阱邊長分別為a、b、c，求粒子能量表達式。5.證明：對于一個量子態(tài)|ψ>，算符ā的期望值〈ā〉=∫ψ*(x)āψ(x)dx。四、證明題（每題15分，共30分。請寫出詳細的證明過程。）1.證明：如果波函數(shù)ψ(x)是定態(tài)薛定諤方程的解，那么其共軛復數(shù)ψ*(x)也是該方程的解。2.證明：對于一維定態(tài)問題，如果勢能函數(shù)V(x)關(guān)于x=0對稱，那么波函數(shù)可以取形式ψ(x)=Aei(kx+φ)+Be-i(kx+φ)。結(jié)束試卷答案一、選擇題（每題2分，共10分。）1.C2.D3.A4.B5.D二、填空題（每題2分，共10分。）1.∫|ψ(x)|^2dx=12.ψ(x,t)=Aei(kx-ωt)3.ΔxΔp≥?/24.2,15.āψ三、計算題（每題10分，共50分。）1.解：粒子在基態(tài)時，波函數(shù)ψ(x)=√(2/a)sin(πx/a)。概率密度|ψ(x)|^2=(2/a)sin^2(πx/a)。在x=a/2處，sin(πx/a)=sin(π/2)=1。因此，粒子在x=a/2處的概率密度為(2/a)。2.解：諧振子的定態(tài)薛定諤方程為-?^2/(2m)?^2ψ+1/2mw^2r^2ψ=Eψ。在一維情況下，方程為-?^2/(2m)d^2ψ/dx^2+1/2mw^2x^2ψ=Eψ。令E=?ω(n+1/2)，其中n=0,1,2,...，則能級表達式為E_n=?ω(n+1/2)。3.解：氫原子中，能級表達式為E_n=-13.6/(n^2)eV。從n=4能級躍遷到n=2能級，輻射光子的能量為ΔE=E_4-E_2=-13.6/(4^2)-(-13.6/(2^2))=-13.6/16+13.6/4=13.6(1/4-1/4)=13.6(1/4-4/4)=13.6(-3/4)=-10.2eV。光子的頻率為ν=ΔE/h=10.2eV/(4.136x10^-15eV·s)≈2.47x10^15Hz。4.解：無限長方體勢阱中，粒子的能量表達式為E=E_k+E_p=?^2(k_x^2+k_y^2+k_z^2)/(2m)，其中k_x=π/x，k_y=π/y，k_z=π/z。因此，E=?^2π^2(1/a^2+1/b^2+1/c^2)/(2m)。5.解：算符ā的期望值〈ā〉=∫ψ*(x)āψ(x)dx。由定態(tài)薛定諤方程āψ(x)=Eψ(x)，則〈ā〉=∫ψ*(x)Eψ(x)dx=E∫ψ*(x)ψ(x)dx=E∫|ψ(x)|^2dx。由于波函數(shù)ψ(x)是歸一化的，∫|ψ(x)|^2dx=1。因此，〈ā〉=E。四、證明題（每題15分，共30分。）1.證明：定態(tài)薛定諤方程為-?^2/(2m)d^2ψ(x)/dx^2+V(x)ψ(x)=Eψ(x)。對ψ*(x)求導得dψ*(x)/dx和d^2ψ*(x)/dx^2。將ψ*(x)代入方程得-?^2/(2m)d^2ψ*(x)/dx^2+V(x)ψ*(x)=Eψ*(x)。兩邊取復共軛得?^2/(2m)d^2ψ*(x)/dx^2-V(x)ψ*(x)=?ψ*(x)。由于V(x)是實數(shù)，-V(x)=V*(x)。因此，?^2/(2m)d^2ψ*(x)/dx^2+V*(x)ψ*(x)=?ψ*(x)。即-?^2/(2m)d^2ψ*(x)/dx^2+V(x)ψ*(x)=?ψ*(x)。這與定態(tài)薛定諤方程相同，因此ψ*(x)也是該方程的解。2.證明：勢能函數(shù)V(x)關(guān)于x=0對稱，即V(x)=V(-x)。定態(tài)薛定諤方程為-?^2/(2m)d^2ψ(x)/dx^2+V(x)ψ(x)=Eψ(x)。令ψ_1(x)=Aei(kx+φ)+Be-i(kx+φ)。則ψ_1(-x)=Aei(-kx+φ)+Beikx+φ=Aei(kx+φ)+Be-i(kx+φ)=ψ_1(x)。因此，ψ_1(x)是偶函數(shù)。令ψ_2(x)=Aei(kx+φ)-Be-i(kx+φ)。則ψ_2(-x)=Aei(-kx+φ)-Beikx+φ=-Aei(kx+φ)+Be-i(kx+φ)=-ψ_2(x)。因此，ψ_2(x)是奇函數(shù)。由于