人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)同學(xué)們，七年級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是整個(gè)初中階段的基礎(chǔ)，它不僅承接了小學(xué)的知識(shí)，更開啟了抽象思維和邏輯推理能力培養(yǎng)的大門。這份總結(jié)旨在幫助大家系統(tǒng)梳理本學(xué)期所學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，鞏固基礎(chǔ)，查漏補(bǔ)缺，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的根基。一、有理數(shù)有理數(shù)是我們進(jìn)入初中后接觸的第一個(gè)重要概念，它將我們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從小學(xué)的非負(fù)有理數(shù)擴(kuò)展到了包含負(fù)數(shù)的完整體系。1.1正數(shù)和負(fù)數(shù)*正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。正數(shù)前面可以加上“+”號(hào)，通?？墒÷圆粚憽?負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上“-”號(hào)的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)表示與正數(shù)相反意義的量。*0：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正數(shù)與負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)。1.2有理數(shù)*有理數(shù)的定義：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。*整數(shù)：包括正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)。*分?jǐn)?shù)：包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)，因此它們也是有理數(shù)。*有理數(shù)的分類：*按定義分：整數(shù)、分?jǐn)?shù)。*按性質(zhì)分：正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)。1.3數(shù)軸*數(shù)軸的定義：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸。*數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長度，缺一不可。*數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系：任何一個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；但數(shù)軸上的點(diǎn)不一定都表示有理數(shù)（以后會(huì)學(xué)到無理數(shù)）。*利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。涸跀?shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大。正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。1.4相反數(shù)*相反數(shù)的定義：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。特別地，0的相反數(shù)是0。*相反數(shù)的幾何意義：在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的兩側(cè)，并且與原點(diǎn)的距離相等。*相反數(shù)的性質(zhì)：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0，即若a與b互為相反數(shù)，則a+b=0。1.5絕對(duì)值*絕對(duì)值的定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，記作|a|。*絕對(duì)值的性質(zhì)：*正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；*負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；*0的絕對(duì)值是0。*即：|a|=a(a>0)；|a|=0(a=0)；|a|=-a(a<0)。*任何數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，即|a|≥0。1.6有理數(shù)的加減法*有理數(shù)的加法法則：*同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加。*絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值?；橄喾磾?shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0。*一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。*有理數(shù)加法的運(yùn)算律：*加法交換律：a+b=b+a*加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)*有理數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。即a-b=a+(-b)。*有理數(shù)的加減混合運(yùn)算：可以統(tǒng)一成加法運(yùn)算，然后運(yùn)用加法運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算。1.7有理數(shù)的乘除法*有理數(shù)的乘法法則：*兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。*任何數(shù)同0相乘，都得0。*幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，積是負(fù)數(shù)。*有理數(shù)乘法的運(yùn)算律：*乘法交換律：a×b=b×a*乘法結(jié)合律：(a×b)×c=a×(b×c)*乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c*有理數(shù)的除法法則：*除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。*兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。*倒數(shù)：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。0沒有倒數(shù)。1.8有理數(shù)的乘方*乘方的定義：求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在a?中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，a?讀作“a的n次方”或“a的n次冪”。*乘方運(yùn)算的符號(hào)法則：*正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；*負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；*0的任何正整數(shù)次冪都是0。*有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：1.先乘方，再乘除，最后加減；2.同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；3.如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行。1.9科學(xué)記數(shù)法*科學(xué)記數(shù)法的定義：把一個(gè)大于10的數(shù)表示成a×10?的形式（其中1≤a<10，n是正整數(shù)），這種記數(shù)方法叫做科學(xué)記數(shù)法。*注意：a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)。1.10近似數(shù)*近似數(shù)的定義：接近實(shí)際數(shù)目，但與實(shí)際數(shù)目還有差別的數(shù)叫做近似數(shù)。*精確度：一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位。學(xué)習(xí)提示：有理數(shù)的運(yùn)算貫穿整個(gè)初中階段，務(wù)必熟練掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序，特別注意符號(hào)問題。多做練習(xí)，提高計(jì)算的準(zhǔn)確性和速度。二、整式的加減整式是代數(shù)式中最基本的式子，整式的加減是代數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)。2.1整式*單項(xiàng)式：由數(shù)與字母的積組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也叫做單項(xiàng)式。*系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。*次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。*多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。*項(xiàng)：在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)。不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。*次數(shù)：多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。*整式：單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。2.2整式的加減*同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)。*合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)。*合并同類項(xiàng)法則：合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變。*去括號(hào)法則：*如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相同；*如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的符號(hào)相反。*整式加減的運(yùn)算法則：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)。學(xué)習(xí)提示：判斷同類項(xiàng)是整式加減的前提，去括號(hào)和合并同類項(xiàng)是整式加減的核心步驟，要牢記法則，細(xì)心運(yùn)算。三、一元一次方程方程是解決實(shí)際問題的重要工具，一元一次方程是最基礎(chǔ)也是應(yīng)用最廣泛的方程。3.1從算式到方程*方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程。*一元一次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程。*方程的解：使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。求方程的解的過程叫做解方程。*等式的性質(zhì)：*等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。如果a=b，那么a±c=b±c。*等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么a/c=b/c。3.2解一元一次方程（一）——合并同類項(xiàng)與移項(xiàng)*合并同類項(xiàng)：解方程時(shí)，將等號(hào)左邊含有未知數(shù)的項(xiàng)合并，常數(shù)項(xiàng)合并，使方程化為ax=b(a≠0)的形式。*移項(xiàng)：把等式一邊的某項(xiàng)變號(hào)后移到另一邊，叫做移項(xiàng)。移項(xiàng)的依據(jù)是等式的性質(zhì)1。*移項(xiàng)法則：移項(xiàng)要變號(hào)。3.3解一元一次方程（二）——去括號(hào)與去分母*去括號(hào)：當(dāng)方程中含有括號(hào)時(shí)，可利用去括號(hào)法則先去括號(hào)，再進(jìn)行后續(xù)求解。去括號(hào)時(shí)要注意符號(hào)和分配律的應(yīng)用。*去分母：當(dāng)方程的分母中含有未知數(shù)時(shí)，為了簡化計(jì)算，通常先在方程兩邊都乘各分母的最小公倍數(shù)，去掉分母。去分母的依據(jù)是等式的性質(zhì)2。*注意：去分母時(shí)，方程兩邊的每一項(xiàng)都要乘最小公倍數(shù)，不要漏乘不含分母的項(xiàng)；分?jǐn)?shù)線本身具有括號(hào)的作用，去分母后，如果分子是多項(xiàng)式，要注意給分子加上括號(hào)。3.4實(shí)際問題與一元一次方程*列一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟：1.審：審題，理解題意，找出題目中的等量關(guān)系。2.設(shè)：設(shè)未知數(shù)，根據(jù)題意選擇合適的未知量設(shè)為x。3.列：根據(jù)找出的等量關(guān)系列出方程。4.解：解方程，求出未知數(shù)的值。5.驗(yàn)：檢驗(yàn)所求的解是否符合題意（包括是否為方程的解和是否符合實(shí)際意義）。6.答：寫出答案。*常見的實(shí)際問題類型：行程問題（相遇、追及）、工程問題、利潤問題、利息問題、數(shù)字問題、和差倍分問題等。關(guān)鍵在于分析題意，找出等量關(guān)系。學(xué)習(xí)提示：解一元一次方程的步驟并非一成不變，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用。列方程解應(yīng)用題是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，要多思考，多總結(jié)不同類型問題的等量關(guān)系。四、圖形的初步認(rèn)識(shí)這部分內(nèi)容將帶領(lǐng)我們從具體物體抽象出幾何圖形，是平面幾何的入門。4.1多姿多彩的圖形*幾何圖形：從實(shí)物中抽象出的各種圖形統(tǒng)稱為幾何圖形。*立體圖形：各部分不都在同一平面內(nèi)的幾何圖形叫做立體圖形（如：正方體、長方體、圓柱、圓錐、球等）。*平面圖形：各部分都在同一平面內(nèi)的幾何圖形叫做平面圖形（如：點(diǎn)、線、角、三角形、四邊形、圓等）。*展開圖：有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖。*點(diǎn)、線、面、體：*體：幾何體也簡稱體。*面：包圍著體的是面。面有平面和曲面兩種。*線：面與面相交的地方形成線。線有直線和曲線兩種。*點(diǎn)：線與線相交的地方是點(diǎn)。*關(guān)系：點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。4.2直線、射線、線段*直線：*定義：經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線。簡述為：兩點(diǎn)確定一條直線。*表示方法：可以用一個(gè)小寫字母表示，如直線l；也可以用這條直線上的兩個(gè)點(diǎn)來表示，如直線AB（或直線BA）。*性質(zhì)：直線沒有端點(diǎn)，可以向兩方無限延伸，不可度量。*射線：*定義：直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線。這個(gè)點(diǎn)叫做射線的端點(diǎn)。*表示方法：可以用端點(diǎn)和射線上另一點(diǎn)來表示，端點(diǎn)字母寫在前面，如射線OA。*性質(zhì)：射線有一個(gè)端點(diǎn)，可以向一方無限延伸，不可度量。*線段：*定義：直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段。這兩個(gè)點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn)。*表示方法：可以用一個(gè)小寫字母表示，如線段a；也可以用它的兩個(gè)端點(diǎn)來表示，如線段AB（或線段BA）。*性質(zhì)：線段有兩個(gè)端點(diǎn)，不能延伸，可以度量長度。*線段的中點(diǎn)：點(diǎn)M把線段AB分成相等的兩條線段AM與MB，點(diǎn)M叫做線段AB的中點(diǎn)。這時(shí)AM=MB=1/2AB。*線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短。簡述為：兩點(diǎn)之間，線段最短。*兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離。4.3角*角的定義：*有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角。這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊。*角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。*角的表示方法：*用三個(gè)大寫字母表示，頂點(diǎn)字母寫在中間，如∠AOB。*用一個(gè)大寫字母表示（頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)），如∠O。*用一個(gè)數(shù)字表示，如∠1。*用一個(gè)希臘字母表示，如∠α。*角的度量：*角的度量單位：度、分、秒。把一個(gè)周角360等分，每一份就是1度的角，記作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，記作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，記作1″。*換算關(guān)系：1°=60′，1′=60″。*角的比較與運(yùn)算：*角的比較方法：疊合法、度量法。*角的和與差：如圖，∠AOB是∠AOC和∠COB的和，記作∠AOB=∠AOC+∠COB；∠AOC是∠AOB和∠COB的差，記作∠AOC=∠AOB-∠COB。*角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線。*余角和補(bǔ)角：*余角：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角。*